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浙江省杭州市余杭、临平区2024-2025学年第二学期八年级期中考试数学卷
1．（2025八下·临平期中）下列属于一元二次方程的是（　　）
A．x+1=0 B．x2-4x C．x2+2x-3=0 D．x-2y=3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x+1=0是等式，但最高次数为1，则不是一元二次方程；
B、x2-4x不是等式（缺少“=0”），无法构成方程，则不是一元二次方程；
C、x2+2x-3=0是等式，最高次数为2，则是一元二次方程；
D、x-2y=3是等式，但含有两个未知数x和y，则不是一元二次方程；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此逐项分析即可求解.
2．（2025八下·临平期中）使二次根式有意义的条件是（　　）
A．x=1 B．x+1 C．x>1 D．x≥1
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴
解得：，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义，则根号内的表达式必须大于等于0，据此得到不等式解不等式即可求解.
3．（2025八下·临平期中）某地一周每一天的平均气温与天数如下表，则表示这周每一天平均气温的数据中，众数（单位：℃）是（　　）
平均气温（℃） 26 27 28 30
天数 1 2 1 3
A．26 B．27 C．28 D．30
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵ 表格中平均气温对应的天数为：
26℃：1天
27℃：2天
28℃：1天
30℃：3天，
∴众数为30，
故答案为：D.
【分析】根据众数是指一组数据中出现次数最多的数值，据此即可求解.
4．（2025八下·临平期中） 下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法直接相减，则本项不符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项符合题意；
D、则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式减法法则和乘法法则计算即可.
5．（2025八下·临平期中）用配方法解方程x2+6x=7，应在方程两边同时加上（　　）
A．9 B．6 C．36 D．3
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程中的一次项系数为6，
∴需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，
故答案为：A.
【分析】配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为完全平方形式，题目中方程为，二次项系数已为1，常数项已移至右边，只需通过配方将左边配成完全平方式，这需要在两边同时加上一次项系数一半的平方即可.
6．（2025八下·临平期中）如图，在□ABCD中，下列结论一定成立的是（　　）
A．AD=BD B．OA=OC C．AB⊥BD D．∠BAC=∠DAC
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形中，AD是边，BD是对角线，边长与对角线长度无必然相等关系，则本项不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，即AC和BD的交点O满足AO=OC且BO=OD，则本项符合题意；
C、只有当平行四边形为菱形时，对角线才与边垂直，则本项不符合题意；
D、只有当对角线AC平分∠BAD时才成立，则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，对边相等，对角相等，但邻边不一定相等，对角线也不一定垂直或相等，据此逐项分析即可.
7．（2025八下·临平期中） 当1A．1 B．-1 C．2a-3 D．3-2a
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴
原式，
∴代数式为：
故答案为：A.
【分析】根据题意得到进而根据二次根数的性质化简即可.
8．（2025八下·临平期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多，据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．15（1+2x）=46 B．15（1+x）2=46
C．46（1-x）2=15 D．15（1+x）+15（1+x）2=46
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，
∴
故答案为：B.
【分析】设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，根据"2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次"，据此列出方程即可.
9．（2025八下·临平期中）如图，欧几里得的《原本》中记载了形如x2+ax=b2（其中a>0，b>0）的方程的图解法：作出Rt△ABC，使两条直角边 AC和 BC的长分别为b和，再在斜边 AB上截取 BD=，则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长 B．AD 的长 C．BC的长 D．CD 的长
【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
用求根公式得：，
∴ 方程的正根为：
对比AD的表达式可知，AD的长度恰好等于方程的正根。
故答案为：B.
【分析】根据题目条件构造直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度，再通过截取线段找到与方程正根对应的几何量.
10．（2025八下·临平期中）如图数阵是按一定规律排成的，规定：从上往下第ａ行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对（a，b）表示，如：数2所在的位置可表示为（4，2），则数 45所在的位置可表示为（　　）
A．（63，54） B．（63，10） C．（64，55） D．（64，9）
【答案】D
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由图形可知：第n行有n个数，且每个数都是其所在行数的平方根，
∵
∴45位于第64行第9列，
∴数45所在的位置可表示为
故答案为：D.
【分析】由图形可知：第n行有n个数，且每个数都是其所在行数的平方根，根据则可知45位于第64行第9列，进而即可求解.
11．（2025八下·临平期中）若的值为零，则x的值是　 　.·
【答案】-3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵的值为零，
∴
∴
故答案为：-3.
【分析】根据二次根式的结果为0时，其被开方数必须等于0，则得到解此方程即可.
12．（2025八下·临平期中）已知一个四边形，它的外角和的度数是　 　.
【答案】360°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：一个四边形，它的外角和的度数是：
故答案为：360°.
【分析】根据多边形外角和公式计算即可.
13．（2025八下·临平期中） 一组数据 2，3，5，a的平均数为4，则a的值是　 　.
【答案】6
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵一组数据 2，3，5，a的平均数为4，
∴
∴
故答案为：6.
【分析】根据平均数的计算法则计算即可.
14．（2025八下·临平期中）如图，一个正三角形路标ABC的边长为4个单位，则这个路标的面积是　 　平方单位.
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：这个路标的面积是
故答案为：.
【分析】根据正三角形的面积公式为，据此代入计算即可.
15．（2025八下·临平期中） 定义新运算：例如：，．若，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
16．（2025八下·临平期中）如图，□ABCD 的对角线AC，BD交于点O，且，AE平分∠BAD，交 BC边于点E，连接OE，若，则n为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；比例线段；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵□ABCD 的对角线AC，BD交于点O，
∴
∴
∵
∴
∵AE平分∠BAD，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
设点A到BC距离为ｈ，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质得到由平行线的性质得到结合平角平分线的定义得到：则结合题目条件推出设点A到BC距离为ｈ，根据三角形面积计算公式得到则进而代入计算即可．
17．（2025八下·临平期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2×2-+2
=
=.
（2）解：原式=
=
=10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“”和合并同类二次根式的法则计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式的法则和二次根式的乘法法则即可即可求解.
18．（2025八下·临平期中）解方程：
（1）x（x-3）=0；
（2）x2+6x+5=0.
【答案】（1）解：，
x＝0或x－3＝0
解得x1＝0，x2＝3
（2）解：
因式分解，得(x＋1)(x＋5)＝0，
x＋1＝0或x＋5＝0
解得x1＝－1，x2＝－5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据乘积为0的性质，分别令两个因式等于0，从而得到方程的解；
（2）利用配方法，即将方程的左边转化为一个完全平方的形式，然后利用平方等于某个值的性质，对方程进行求解.
19．（2025八下·临平期中）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，请解答下列问题。
（1）画一个面积为12的□ABCD，使它的顶点都在格点上；
（2）求该平行四边形的周长，
【答案】（1）解：如图为所作平行四边形．
（2）解：AB＝CD＝＝，
AD＝BC＝4，
∴C ABCD＝2＋8
【知识点】平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）平行四边形的面积为12，可选底为4，高为3（因为4×3=12），或底为6，高为2等，进而作图即可；
（2）根据平行四边形对边相等，因此需计算两组邻边的长度，再相加得到周长.
20．（2025八下·临平期中）某校八年级为了丰富学生课外生活，举办了文学知识竞赛（10分制，学生得分均为整数）、在这场竞赛中，甲、乙两位同学10次的成绩如下：
甲：7，8，8，7，8，8，10，8，8，8：
乙： 7，8，7，8，7，8，9，8，8，10.
请根据信息回答问题：
级别 平均数 众数 中位数 方差
甲 a 8 c d
乙 8 b 8 0.8
（1）求a、b、c、d的值；
（2）现要从甲、乙两位同学中选出一位参加集团学校的文学知识竞赛，你认为应该选哪一位？请说明理由，
【答案】（1）解：
乙的成绩为：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10
出现次数最多的数是7和8，各出现3次和4次，故众数b=8
将甲的成绩排序后为：7，7，8，8，8，8，8，8，8，8
中间两个数为第5和第6个数，均为8，中位数
＝0.6
（2）解：选择甲参加市里比赛．
理由如下：∵甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等
∵0.6<0.8方差越小，成绩越平稳，
∴选择甲．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数、众数、中位数和方差计算方法直接计算即可求解；
（2）由数据可知甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等，进比较方差即可求解.
21．（2025八下·临平期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，AE，CF 分别平分 ∠DAO与 ∠BCO.
（1）求证：∠DAE=∠BCF；
（2）猜想AE与 CF的关系，并证明你的猜想.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴＝。
∵AE，CF分别平分与
∴，
∴＝．
（2）解：AE与CF平行且相等．
由(1)知＝＝＝
∴AE∥CF．
∵对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC．
∵＝
∴△AOE≌△COF
∴AE＝CF
即AE与CF平行且相等．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质和平行线性质得到＝，结合角平分线定义即可求证；
（2）由(1)知＝＝＝，则利用"ASA"证明，进而即可求解.
22．（2025八下·临平期中）某市为了落实惠农工程，提高人民生活水平，准备建造一个养殖厂，地点选定在郊区的土坡附近，为保障安全，防止滑坡，现决定对该土坡进行改造，相关人员对地形进行勘测后，得到如图所示部分地形图，其中BC//AD，斜坡AB的坡比为3：1，坡AB长米.
（1）求该斜坡的竖直高度；
（2）为确保养殖厂安全，现计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到E处，且保证坡脚A处到E点的仰角不得低于60°，问BE最多削进多少米？
【答案】（1）解：过点B作BF⊥AD，
∵i＝3∶1，AB＝米
∴设AF＝x，则BF＝3x
由勾股定理得：
解得x2＝4，∵x>0，∴x＝2
则BF＝6，即该斜坡的竖直高度为6米
（2）解：连接AE，过点E作EM AD，
由(1)可知，EM＝BF＝6米，AF＝2米，
∵坡脚A处到E点的仰角不得低于60°
∴最大削进时，∠EAM＝60°
∴AM＝＝2米
∴BE＝MF＝AM－AF＝(2－2)米．
即BE最大削进(2－2)米
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）过点B作BF⊥AD，根据题意设AF＝x，则BF＝3x，进而利用勾股定理列出方程，解此方程即可求解；
（2）连接AE，过点E作EM AD，由(1)可知，EM＝BF＝6米，AF＝2米，结合恶意得到最大削进时，∠EAM＝60°，进而解直角三角形即可.
23．（2025八下·临平期中）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（k-1）x+k2-2k=0的两个实数根，第三边BC的长为10.
（1）求证：无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长；
（3）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】（1）证明：b2－4ac＝4(k－1)2－4(k2－2k)＝4＞0
无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：由(1)知方程总有两个不相等的实数根，则当△ABC是等腰三角形时
x＝10必定是方程的一个根
当x＝10时，102－20(k－1)＋k2－2k＝0
解得k＝10或12
①当k＝10时，方程变为x2－18x＋80＝0
得x＝10或8
△ABC的周长为10＋10＋8＝28
②当k＝12时，方程变为x2－22x＋120＝0
得x＝10或12
△ABC的周长为10＋10＋12＝32
（3）解：解一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－2k＝0
x＝，
x1＝k，x2＝k－2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形
∴k2＋(k－2)2＝102
解得k＝8或－6
当k＝－6时，AB，AC即x1，x2＜0(舍去)
∴k＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）计算放方程根的判别式Δ并证明其恒为正即可；
（2）由(1)知方程总有两个不相等的实数根，则当△ABC是等腰三角形时，x＝10必定是方程的一个根，进而求出k＝10或12，进而分两种情况讨论，①当k＝10时，方程变为x2－18x＋80＝0；②当k＝12时，方程变为x2－22x＋120＝0，分别解方程即可；
（3）解方程得到x1＝k，x2＝k－2，利用勾股定理逆定理列出方程k2＋(k－2)2＝102，解此方程即可求解.
24．（2025八下·临平期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是直线l：y=在第一象限内的一个动点，点B在x轴正半轴上.以OA，OB（OA为Q，连接AQ，BQ，线段AQ与x轴的交点为C.
（1）求证：AC=BC；
（2）当AC⊥OB时，求
（3）若 B 点坐标为（4，0），直接写出当△BCO是等腰三角形时P点的坐标.
【答案】（1）证明：∵四边形AOBP是平行四边形，
∴AP//OB，
∴∠BAP＝∠ABO，
∵点P关于直线AB的对称点为Q，
∴∠BAP＝∠QAB，
∴∠QAB＝∠ABO，
∴AC＝BC
（2）解：过点P作PM⊥x轴于点M，
易得△AOC≌△PBM，
∵四边形AOBP是平行四边形，AC⊥OB，
∴OB＝AP，AC⊥AP，
设A点坐标(3a，4a)，
∴OC＝3a，AC＝4a，
∵AC＝BC，
∴BC＝AC＝4a，AP＝AQ＝7a，OM＝10a，PM＝4a，CQ＝3a，
∴OP＝
OQ＝，
∴
（3）解：过点A作AN垂直x轴于点N，
设AN＝4m，ON＝3m，
则OA＝BP＝BQ＝5m，
当点A在第一象限时
①当BC＝BQ时，
BC＝5m，OC＝4－5m，CN＝4－8m，
∵AC＝BC，
∴AC＝5m，
∴在Rt△ACN中，AN2＋CN2＝AC2
即(4m)2＋(4－8m)2＝(5m)2
解得m1＝，m2＝(舍去)，
∴P()
②当BC＝CQ时，
∵OB＝AQ，AC＝BC，
∴OB－BC＝AQ－AC，
即CQ＝OC，
∴OC＝BC＝BC＝AC＝2，
∴CN＝2－3m，
∴在Rt△ACN中，
AN2＋CN2＝AC2
即(4m)2＋(2－3m)2＝22
解得m＝，
∴P()
③当CQ＝BQ时，
OC＝CQ＝BQ＝5m，
∴CN＝2m，AC＝BC＝4－5m，
∴在Rt△ACN中，
AN2＋CN2＝AC2
即(2m)2＋(4m)2＝(4－5m)2
解得m3＝(舍去)，m4＝
∴P()
综上，P点坐标()，()，()
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAP＝∠ABO，根据对称性得到∠BAP＝∠QAB，进而即可求证；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质得到过点P作PM⊥x轴于点M，进而设A点坐标(3a，4a)，分别表示出OM和PM的长度，利用勾股定理求出OP长和OQ的长度，进而即可求解；
（3）过点A作AN垂直x轴于点N，设AN＝4m，ON＝3m，则OA＝BP＝BQ＝5m，分三种情况讨论，①当BC＝BQ时，②当BC＝CQ时，③当CQ＝BQ时，分别根据勾股定理列出方程计算即可.
1 / 1浙江省杭州市余杭、临平区2024-2025学年第二学期八年级期中考试数学卷
1．（2025八下·临平期中）下列属于一元二次方程的是（　　）
A．x+1=0 B．x2-4x C．x2+2x-3=0 D．x-2y=3
2．（2025八下·临平期中）使二次根式有意义的条件是（　　）
A．x=1 B．x+1 C．x>1 D．x≥1
3．（2025八下·临平期中）某地一周每一天的平均气温与天数如下表，则表示这周每一天平均气温的数据中，众数（单位：℃）是（　　）
平均气温（℃） 26 27 28 30
天数 1 2 1 3
A．26 B．27 C．28 D．30
4．（2025八下·临平期中） 下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·临平期中）用配方法解方程x2+6x=7，应在方程两边同时加上（　　）
A．9 B．6 C．36 D．3
6．（2025八下·临平期中）如图，在□ABCD中，下列结论一定成立的是（　　）
A．AD=BD B．OA=OC C．AB⊥BD D．∠BAC=∠DAC
7．（2025八下·临平期中） 当1A．1 B．-1 C．2a-3 D．3-2a
8．（2025八下·临平期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多，据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．15（1+2x）=46 B．15（1+x）2=46
C．46（1-x）2=15 D．15（1+x）+15（1+x）2=46
9．（2025八下·临平期中）如图，欧几里得的《原本》中记载了形如x2+ax=b2（其中a>0，b>0）的方程的图解法：作出Rt△ABC，使两条直角边 AC和 BC的长分别为b和，再在斜边 AB上截取 BD=，则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长 B．AD 的长 C．BC的长 D．CD 的长
10．（2025八下·临平期中）如图数阵是按一定规律排成的，规定：从上往下第ａ行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对（a，b）表示，如：数2所在的位置可表示为（4，2），则数 45所在的位置可表示为（　　）
A．（63，54） B．（63，10） C．（64，55） D．（64，9）
11．（2025八下·临平期中）若的值为零，则x的值是　 　.·
12．（2025八下·临平期中）已知一个四边形，它的外角和的度数是　 　.
13．（2025八下·临平期中） 一组数据 2，3，5，a的平均数为4，则a的值是　 　.
14．（2025八下·临平期中）如图，一个正三角形路标ABC的边长为4个单位，则这个路标的面积是　 　平方单位.
15．（2025八下·临平期中） 定义新运算：例如：，．若，则的值为　 　．
16．（2025八下·临平期中）如图，□ABCD 的对角线AC，BD交于点O，且，AE平分∠BAD，交 BC边于点E，连接OE，若，则n为　 　.
17．（2025八下·临平期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·临平期中）解方程：
（1）x（x-3）=0；
（2）x2+6x+5=0.
19．（2025八下·临平期中）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，请解答下列问题。
（1）画一个面积为12的□ABCD，使它的顶点都在格点上；
（2）求该平行四边形的周长，
20．（2025八下·临平期中）某校八年级为了丰富学生课外生活，举办了文学知识竞赛（10分制，学生得分均为整数）、在这场竞赛中，甲、乙两位同学10次的成绩如下：
甲：7，8，8，7，8，8，10，8，8，8：
乙： 7，8，7，8，7，8，9，8，8，10.
请根据信息回答问题：
级别 平均数 众数 中位数 方差
甲 a 8 c d
乙 8 b 8 0.8
（1）求a、b、c、d的值；
（2）现要从甲、乙两位同学中选出一位参加集团学校的文学知识竞赛，你认为应该选哪一位？请说明理由，
21．（2025八下·临平期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，AE，CF 分别平分 ∠DAO与 ∠BCO.
（1）求证：∠DAE=∠BCF；
（2）猜想AE与 CF的关系，并证明你的猜想.
22．（2025八下·临平期中）某市为了落实惠农工程，提高人民生活水平，准备建造一个养殖厂，地点选定在郊区的土坡附近，为保障安全，防止滑坡，现决定对该土坡进行改造，相关人员对地形进行勘测后，得到如图所示部分地形图，其中BC//AD，斜坡AB的坡比为3：1，坡AB长米.
（1）求该斜坡的竖直高度；
（2）为确保养殖厂安全，现计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到E处，且保证坡脚A处到E点的仰角不得低于60°，问BE最多削进多少米？
23．（2025八下·临平期中）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（k-1）x+k2-2k=0的两个实数根，第三边BC的长为10.
（1）求证：无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长；
（3）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
24．（2025八下·临平期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是直线l：y=在第一象限内的一个动点，点B在x轴正半轴上.以OA，OB（OA为Q，连接AQ，BQ，线段AQ与x轴的交点为C.
（1）求证：AC=BC；
（2）当AC⊥OB时，求
（3）若 B 点坐标为（4，0），直接写出当△BCO是等腰三角形时P点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x+1=0是等式，但最高次数为1，则不是一元二次方程；
B、x2-4x不是等式（缺少“=0”），无法构成方程，则不是一元二次方程；
C、x2+2x-3=0是等式，最高次数为2，则是一元二次方程；
D、x-2y=3是等式，但含有两个未知数x和y，则不是一元二次方程；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此逐项分析即可求解.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴
解得：，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义，则根号内的表达式必须大于等于0，据此得到不等式解不等式即可求解.
3．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵ 表格中平均气温对应的天数为：
26℃：1天
27℃：2天
28℃：1天
30℃：3天，
∴众数为30，
故答案为：D.
【分析】根据众数是指一组数据中出现次数最多的数值，据此即可求解.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法直接相减，则本项不符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项符合题意；
D、则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式减法法则和乘法法则计算即可.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程中的一次项系数为6，
∴需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，
故答案为：A.
【分析】配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为完全平方形式，题目中方程为，二次项系数已为1，常数项已移至右边，只需通过配方将左边配成完全平方式，这需要在两边同时加上一次项系数一半的平方即可.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形中，AD是边，BD是对角线，边长与对角线长度无必然相等关系，则本项不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，即AC和BD的交点O满足AO=OC且BO=OD，则本项符合题意；
C、只有当平行四边形为菱形时，对角线才与边垂直，则本项不符合题意；
D、只有当对角线AC平分∠BAD时才成立，则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，对边相等，对角相等，但邻边不一定相等，对角线也不一定垂直或相等，据此逐项分析即可.
7．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴
原式，
∴代数式为：
故答案为：A.
【分析】根据题意得到进而根据二次根数的性质化简即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，
∴
故答案为：B.
【分析】设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，根据"2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次"，据此列出方程即可.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
用求根公式得：，
∴ 方程的正根为：
对比AD的表达式可知，AD的长度恰好等于方程的正根。
故答案为：B.
【分析】根据题目条件构造直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度，再通过截取线段找到与方程正根对应的几何量.
10．【答案】D
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由图形可知：第n行有n个数，且每个数都是其所在行数的平方根，
∵
∴45位于第64行第9列，
∴数45所在的位置可表示为
故答案为：D.
【分析】由图形可知：第n行有n个数，且每个数都是其所在行数的平方根，根据则可知45位于第64行第9列，进而即可求解.
11．【答案】-3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵的值为零，
∴
∴
故答案为：-3.
【分析】根据二次根式的结果为0时，其被开方数必须等于0，则得到解此方程即可.
12．【答案】360°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：一个四边形，它的外角和的度数是：
故答案为：360°.
【分析】根据多边形外角和公式计算即可.
13．【答案】6
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵一组数据 2，3，5，a的平均数为4，
∴
∴
故答案为：6.
【分析】根据平均数的计算法则计算即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：这个路标的面积是
故答案为：.
【分析】根据正三角形的面积公式为，据此代入计算即可.
15．【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；比例线段；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵□ABCD 的对角线AC，BD交于点O，
∴
∴
∵
∴
∵AE平分∠BAD，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
设点A到BC距离为ｈ，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质得到由平行线的性质得到结合平角平分线的定义得到：则结合题目条件推出设点A到BC距离为ｈ，根据三角形面积计算公式得到则进而代入计算即可．
17．【答案】（1）解：原式=2×2-+2
=
=.
（2）解：原式=
=
=10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“”和合并同类二次根式的法则计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式的法则和二次根式的乘法法则即可即可求解.
18．【答案】（1）解：，
x＝0或x－3＝0
解得x1＝0，x2＝3
（2）解：
因式分解，得(x＋1)(x＋5)＝0，
x＋1＝0或x＋5＝0
解得x1＝－1，x2＝－5
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据乘积为0的性质，分别令两个因式等于0，从而得到方程的解；
（2）利用配方法，即将方程的左边转化为一个完全平方的形式，然后利用平方等于某个值的性质，对方程进行求解.
19．【答案】（1）解：如图为所作平行四边形．
（2）解：AB＝CD＝＝，
AD＝BC＝4，
∴C ABCD＝2＋8
【知识点】平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）平行四边形的面积为12，可选底为4，高为3（因为4×3=12），或底为6，高为2等，进而作图即可；
（2）根据平行四边形对边相等，因此需计算两组邻边的长度，再相加得到周长.
20．【答案】（1）解：
乙的成绩为：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10
出现次数最多的数是7和8，各出现3次和4次，故众数b=8
将甲的成绩排序后为：7，7，8，8，8，8，8，8，8，8
中间两个数为第5和第6个数，均为8，中位数
＝0.6
（2）解：选择甲参加市里比赛．
理由如下：∵甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等
∵0.6<0.8方差越小，成绩越平稳，
∴选择甲．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数、众数、中位数和方差计算方法直接计算即可求解；
（2）由数据可知甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等，进比较方差即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴＝。
∵AE，CF分别平分与
∴，
∴＝．
（2）解：AE与CF平行且相等．
由(1)知＝＝＝
∴AE∥CF．
∵对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC．
∵＝
∴△AOE≌△COF
∴AE＝CF
即AE与CF平行且相等．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质和平行线性质得到＝，结合角平分线定义即可求证；
（2）由(1)知＝＝＝，则利用"ASA"证明，进而即可求解.
22．【答案】（1）解：过点B作BF⊥AD，
∵i＝3∶1，AB＝米
∴设AF＝x，则BF＝3x
由勾股定理得：
解得x2＝4，∵x>0，∴x＝2
则BF＝6，即该斜坡的竖直高度为6米
（2）解：连接AE，过点E作EM AD，
由(1)可知，EM＝BF＝6米，AF＝2米，
∵坡脚A处到E点的仰角不得低于60°
∴最大削进时，∠EAM＝60°
∴AM＝＝2米
∴BE＝MF＝AM－AF＝(2－2)米．
即BE最大削进(2－2)米
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）过点B作BF⊥AD，根据题意设AF＝x，则BF＝3x，进而利用勾股定理列出方程，解此方程即可求解；
（2）连接AE，过点E作EM AD，由(1)可知，EM＝BF＝6米，AF＝2米，结合恶意得到最大削进时，∠EAM＝60°，进而解直角三角形即可.
23．【答案】（1）证明：b2－4ac＝4(k－1)2－4(k2－2k)＝4＞0
无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：由(1)知方程总有两个不相等的实数根，则当△ABC是等腰三角形时
x＝10必定是方程的一个根
当x＝10时，102－20(k－1)＋k2－2k＝0
解得k＝10或12
①当k＝10时，方程变为x2－18x＋80＝0
得x＝10或8
△ABC的周长为10＋10＋8＝28
②当k＝12时，方程变为x2－22x＋120＝0
得x＝10或12
△ABC的周长为10＋10＋12＝32
（3）解：解一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－2k＝0
x＝，
x1＝k，x2＝k－2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形
∴k2＋(k－2)2＝102
解得k＝8或－6
当k＝－6时，AB，AC即x1，x2＜0(舍去)
∴k＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）计算放方程根的判别式Δ并证明其恒为正即可；
（2）由(1)知方程总有两个不相等的实数根，则当△ABC是等腰三角形时，x＝10必定是方程的一个根，进而求出k＝10或12，进而分两种情况讨论，①当k＝10时，方程变为x2－18x＋80＝0；②当k＝12时，方程变为x2－22x＋120＝0，分别解方程即可；
（3）解方程得到x1＝k，x2＝k－2，利用勾股定理逆定理列出方程k2＋(k－2)2＝102，解此方程即可求解.
24．【答案】（1）证明：∵四边形AOBP是平行四边形，
∴AP//OB，
∴∠BAP＝∠ABO，
∵点P关于直线AB的对称点为Q，
∴∠BAP＝∠QAB，
∴∠QAB＝∠ABO，
∴AC＝BC
（2）解：过点P作PM⊥x轴于点M，
易得△AOC≌△PBM，
∵四边形AOBP是平行四边形，AC⊥OB，
∴OB＝AP，AC⊥AP，
设A点坐标(3a，4a)，
∴OC＝3a，AC＝4a，
∵AC＝BC，
∴BC＝AC＝4a，AP＝AQ＝7a，OM＝10a，PM＝4a，CQ＝3a，
∴OP＝
OQ＝，
∴
（3）解：过点A作AN垂直x轴于点N，
设AN＝4m，ON＝3m，
则OA＝BP＝BQ＝5m，
当点A在第一象限时
①当BC＝BQ时，
BC＝5m，OC＝4－5m，CN＝4－8m，
∵AC＝BC，
∴AC＝5m，
∴在Rt△ACN中，AN2＋CN2＝AC2
即(4m)2＋(4－8m)2＝(5m)2
解得m1＝，m2＝(舍去)，
∴P()
②当BC＝CQ时，
∵OB＝AQ，AC＝BC，
∴OB－BC＝AQ－AC，
即CQ＝OC，
∴OC＝BC＝BC＝AC＝2，
∴CN＝2－3m，
∴在Rt△ACN中，
AN2＋CN2＝AC2
即(4m)2＋(2－3m)2＝22
解得m＝，
∴P()
③当CQ＝BQ时，
OC＝CQ＝BQ＝5m，
∴CN＝2m，AC＝BC＝4－5m，
∴在Rt△ACN中，
AN2＋CN2＝AC2
即(2m)2＋(4m)2＝(4－5m)2
解得m3＝(舍去)，m4＝
∴P()
综上，P点坐标()，()，()
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAP＝∠ABO，根据对称性得到∠BAP＝∠QAB，进而即可求证；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质得到过点P作PM⊥x轴于点M，进而设A点坐标(3a，4a)，分别表示出OM和PM的长度，利用勾股定理求出OP长和OQ的长度，进而即可求解；
（3）过点A作AN垂直x轴于点N，设AN＝4m，ON＝3m，则OA＝BP＝BQ＝5m，分三种情况讨论，①当BC＝BQ时，②当BC＝CQ时，③当CQ＝BQ时，分别根据勾股定理列出方程计算即可.
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