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甘肃省民乐县第一中学2024-2025学年高二下学期5月质量检测数学试卷
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．1
2．下列随机变量是离散型随机变量的个数是（ ）
①某足球队在5次点球中进球的次数；
②投篮一次的结果；
③某同学在至到校的时间；
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知空间中有两个动点，．则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
4．某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为女生”，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
且，则（ ）
A．1 B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．若事件相互独立，则
B．设随机变量满足，则
C．已知随机变量，且，则
D．在一个列联表中，计算得到的值越接近1，则两个变量的相关性越强
7．在长方体中，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．
8．已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间中任意两个向量一定共面
B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线
C．若空间向量，，则与的夹角为钝角
D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10．（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．
11．已知函数与的图象上存在关于y轴的对称点，则实数a的值可以是（ ）
A． B．0 C． D．1
三、填空题
12．已知向量，，若，，三点共线，则
13．位于坐标原点的一个点按下述规则移动：每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为.那么移动5次后位于点的概率是 .
14．若为自然对数的底数，是定义在上的函数，且，则不等式的解集为 .
四、解答题
15．已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且，M为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．为了解2024年长春市居民网购消费情况，在全市随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值，并估计居民网购消费金额的中位数.
(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关.
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 45
合计
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图.
(1)利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次x和销售量y的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）
(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
9.4 30.3 2 366 6.6 439.2 66
其中令，.根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测当观看人次为280万人时的销售量；
(3)规定：观看人次大于等于120万人次的主播为优秀主播，从这10名主播中随机抽取3名，记其中优秀主播的人数为，求的分布列和数学期望.
参考数据和公式：，
附：对于一组数据，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
19．已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若对于定义域内任意恒成立，求取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C D C D B ABD CD
题号 11
答案 ABC
1．A
利用复合函数求导，再求值即可.
【详解】求导得，所以，
故选：A.
2．C
根据离散型随机变量的概念逐个判断即可.
【详解】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来；
②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来；
④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来
③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，
因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足．
故选：C
3．A
首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以，当且仅当时取等号.
故选：A
4．C
利用条件概率公式计算即可.
【详解】由题意得，事件包含的样本点数，
事件和包含的样本点数，所以.
故选：C
5．D
根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可.
【详解】由X的分布列得，
，
因为，
则
故选：D.
6．C
A项，求出即可；B项根据的性质即可得出；C项，根据给定条件，利用正态分布的性质求解作答；D项，根据的性质，即可得出相关性强弱.
【详解】对于A，若事件相互独立，则,所以A错误，
对于B，设随机变量满足，则所以B错误，
对于C，随机变量，且，则,所以C正确，
对于D，在一个列联表中，值越大，则两个变量的相关性越强，所以D错误，
故选：C.
7．D
建立如图所示空间直角坐标系，求出直线与的公垂线的方向向量，再代入空间异面直线间距离公式计算.
【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则.
设直线与的公垂线的方向向量为，则，
不妨令，则.
又，则异面直线与之间的距离.
故选：D
8．B
对于函数，先对其求导，因为函数有两个不同的极值点，那么其导数等于零的方程有两个不同的正根，由此可通过二次函数的性质来确定实数的取值范围.
【详解】已知，其定义域为.
对求导可得：.
因为函数有两个不同的极值点，所以在上有两个不同的实根，
即方程在上有两个不同的实根.
设，此方程为二次方程，要使其在上有两个不同正实根，
需满足以下条件：二次项系数不为零：，
因为若，则，为一次函数，最多有一个零点，不符合题意.
判别式：所以，解不等式得到.
两根均大于零：根据韦达定理，在中，
两根满足，，解得；
综合以上三个条件，的取值范围是.
故选：B.
9．ABD
根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算，即可判断C错误；根据空间基底的性质及定义，可判定B和D正确.
【详解】对于选项A，因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故选项A正确，
对于选项B，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故选项B正确，
对于选项C，，所以，故选项C不正确，
对于选项D，由是空间的一个基底，设，显然不存在实数使得成立，
所以一定不共面，则也是空间的一个基底，故选项D正确，
故选：ABD.
10．CD
根据二项分布和超几何分布的概念判断BC，由超几何分布的概率公式计算各概率，再由期望公式计算出期望，从而判断AD．
【详解】由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；
X的取值分别为0，1，2，3，4，则，，，，，
∴，故A错误，D正确．
故选：CD．
11．ABC
函数关于y轴对称的函数表达式为，将原题问题转化为只需要方程有正根，方程可化为，
令，借助导数研究单调性，最值，进而得到取值范围，即可判断.
【详解】函数关于y轴对称的函数表达式为，
只需要方程有正根，方程可化为．
令，有，
令，有，可得函数单调递减，则，可得函数单调递减，有．
由函数是由函数平移过来的，故方程有正根时，只需要函数与x轴的正半轴有交点，即方程的根，则实数a的取值范围为．
故选：ABC.
12．
由条件可得，共线，结合向量共线关系列方程求，，由此可得结论.
【详解】因为，，三点共线，
所以，共线，即，又，
故存在实数t使得，又，，
所以，，，
所以，，
所以，
故答案为：.
13．
若移动5次后位于点，所以5次移动中需向左移动4次，向下移动1次，根据二项分布求解即可.
【详解】因为向左移动的概率为，所以向下移动的概率为，
由题意得必须向左移动4次，向下移动1次，
所以所求的概率为.
故答案为：
14．
令，利用导数说明函数的单调性，则问题转化为，结合单调性解得即可.
【详解】令，
则，
∵，
∴，
∴，则在上单调递减，
∵，
∴，等价于，
根据的单调性解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：．
15．(1)
(2)
（1）求导，利用求出a，b的值，再进行检验；
（2）结合函数的单调性和极值情况，只需满足，解之即得.
【详解】（1）由题意得，
由函数在及处取得极值，得
解得，此时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点.
故.
（2）由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，所以
解得，所以实数c的取值范围是．
16．(1)证明见解析；
(2)
（1）连接，连，证明，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）取中点，连PO，证明平面，以点O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求线面角的正弦.
【详解】（1）连接，连，如图，正方形中，N为的中点，而M为PD的中点，
则，而平面，平面，
所以平面.
（2）取中点，连，如图，正中，， ，
连接，因为，
所以，所以，平面，则平面，
在平面内过O作，则射线两两垂直，
以点O为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
17．(1)，中位数为；
(2)列联表见解析，有关；
（1）由各矩形的面积之和为1求a，先判断中位数所在的组，再利用中位数的定义求解；
（2）根据题意得到列联表，求得判断.
【详解】（1）由题意得：，
解得；
设中位数为x，前3组的频率为：，
前4组的频率为：，
所以中位数在第四组，则，解得；
（2）由（1）知：网购迷人数为：人，非网购迷人数为65人，
则列联表如下：
男 女 合计
网购迷 15 20 35
非网购迷 45 20 65
合计 60 40 100
因为，
所以依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关.
18．(1)更适合
(2)，43600件
(3)分布列见解析，
（1）观察散点图，根据散点的分布规律判断应采用的模型；
（2）令，先求y与的线性回归方程，由此可得y与的回归方程，再利用回归方程预测；
（3）确定随机变量的的可能取值，再求取各值的概率，由此可得的分布列，利用均值公式求其期望.
【详解】（1）由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，
所以选择回归方程更适合；
（2）令，则，
因为，，
所以，
又，，
所以，
所以y与的线性回归方程为，
故y关于x的回归方程为.
令，代入回归方程可得（千件），
所以预测观看人次为280万人时的销售量约为43600件.
（3）由散点图可知，这10名主播中，优秀主播的个数有4个，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望.
19．(1)答案见解析；
(2)
（1）按m分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可求得的单调性；
（2）先将题给不等式参变分离，构造新函数，并利用导数和同构函数求得最小值，进而求得取值范围.
【详解】（1），；
当时，，故在上单调递增；
当时，令，则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意知，即
令，，
则，，
令，，则
则在上单调递增，
由于，.所以存在，使得
故在上单调递减，在上单调递增
最小值为，
由于满足，则，
两边取对数，
又在上单调递增，
则有，则
故，
故．则

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