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2024-2025学年下学期期末考试押题卷01
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由，
可得：，故的虚部为1．
故选：C
2．某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
【答案】D
【解析】依题意高一年级应抽取的人数为人.
故选：D.
3．如图所示，长方体被平面截成两个几何体，点分别在棱上，点分别在棱上，且，则截得的两个几何体分别是（ ）
A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台
【答案】A
【解析】在长方体，，又，
所以四边形为平行四边形，同理四边形、都是平行四边形，
又平面平面，故多面体为三棱柱，
同理多面体为五棱柱，
故选A.
4．已知，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，均为锐角，则，又，
所以，
所以，，
所以
.
故选：C
5．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中利用正弦定理得，则，
若有且仅有一个，则或，或，
则边长的取值范围是.
故选：C
6．甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【解析】由题意得：事件“”的情况有：共12种，
所以．
事件“为奇数”的情况有：
共18种，
所以；
事件“”的情况有：
共10种，
所以；
事件“”的情况有：共6种，
所以.
对于A，因，则与不独立，故A错误；
对于B，因，则与不独立，故B错误；
对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误；
对于D， ，则与相互独立，故D正确.
故选：D.
7．如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（ ）
A． B．2dm C．3dm D．
【答案】D
【解析】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为，
当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，
所以液面的半径为1，此时液体的体积为，
当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥，
设圆锥的底面半径为，高为，则有，即，
.此时液体的体积为，
由，得，所以.
故选：D.
8．已知，，其中，．若对任意，都有，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】设，如图所示，
因为对任意，都有，
由恒成立，则，
因为，，
所以，，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ）
A．极差 B．45百分位数 C．中位数不变 D．众数
【答案】BC
【解析】某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，
对于A选项，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A选项错误；
对于B选项，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据，
从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，，
所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据，数据没变，故B选项正确；
对于C选项，由，所以将10个数据从小到大排列，中位数为第5个和第6个数据的平均数，
从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，，
中位数为第4个和第5个数据的平均数，即为原来的第5个和第6个数据的平均数，数据没变，故C选项正确；
对于D选项，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D选项错误．
故选：BC.
10．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】ACD
【解析】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以，
又为圆的直径，所以，又，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，若平面，又平面，则，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，这与为圆的直径矛盾，
故平面不成立，故B错误；
对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面，
又平面，所以平面平面，故C正确；
对于D，因为平面，又平面，
所以，又，，又平面，
所以平面，平面，所以平面平面，故D正确.
故选：ACD.
11．若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
因为值域为，所以，
所以，所以，
所以，所以的最大值为.
当最小时，，
解得，所以的最小值为.
故选：BC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么 .
【答案】或
【解析】当时，将数据进行排列，得到，
因为这组数据的中位数和平均数相等，所以，解得，
当时，将数据进行排列，得到，
因为这组数据的中位数和平均数相等，所以，
解得，与范围不符，故排除
当时，将数据进行排列，得到，
因为这组数据的中位数和平均数相等，所以，
解得，经检验，和均符合题意.
故答案为：或.
13．一个平行于正四棱锥底面的平面将该正四棱锥分成上、下两个部分，且截得的棱台的上、下底面边长之比为2:3，则上、下两部分体积之比为 ．
【答案】
【解析】法一：由题意可知上面部分为正四棱锥，下面为正四棱台，棱台上、下底面边长之比为2：3，所以上面小正四棱锥与大正四棱锥的体积之比为，所以上、下两部分体积之比为．
法二：由题知上面部分为正四棱锥，下面为正四棱台，上、下两部分高之比为2：1，
设为2h和h，正四棱台上、下底面边长分别设为2a和3a，则上、下两部分的体积之比直接用公式计算可得．
故答案为：.
14．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】在中，由及余弦定理，得，
整理得，由，得为锐角，
而，解得，
由及余弦定理，得，
解得，当且仅当时取等号，
因此，所以面积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点．
(1)若四边形是平行四边形，求点的坐标；
(2)求的取值范围．
【解析】（1）设，由，，，
则，，
由四边形是平行四边形，则，
即，解得，
即点的坐标是；
（2）由，故直线的方程为，设，
则，，
故
，
故.
16．（15分）
已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)若，，，求；
(3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
【解析】（1）依题意知，，，
所以，又，可得，故函数（），
由图象经过点，所以，
可得，所以，，
所以，，又因为，所以，
所以，
令解得，
故对称中心为.
（2）因为，所以，
所以，
由，
可得，即，可得，
所以；
（3）因为对任意的，，都有，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
，
令，则，，
对称轴为，所以①，可得，
②，可得，
③，可得，
综上.
17．（15分）
如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小．
【解析】（1）在三棱柱中，取中点，连接，
由分别为和的中点，得且，
由O为BC中点，得且，则且，
即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面，
所以平面.
（2）由三棱柱所有棱长都为2，，得都是正三角形，
而O为BC中点，则，，平面，，
于是平面，又，则平面，
为直线与平面所成角，
因此，，而平面，则，
又为中点，则，
在中，，，则，
由，，得是二面角的平面角，
所以二面角的大小.
18．（17分）
在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为．
(1)求，，；
(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，试确定a，b，c的值，并说明理由；
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
【解析】（1）,
，
；
（2）因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，若第一次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为，
从初始状态开始，若第一次未中奖而第二次中奖，
此时第次抽奖中奖的概率为，
从初始状态开始，若前两次均未中奖，则第三次必中奖，
此时第次抽奖中奖的概率为，
综上所述，对任意的，，
又，所以；
（3）由题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽次至少中奖次，
所以只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，
另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，抽一次中奖的概率为，
从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为，
从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为，
用表示第次，第次，第次中奖，其余未中奖，
则三次中奖的所有情况如下：，
，
故仅三次中奖的概率为
，
所以从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为.
19．（17分）
在斜三角形中，内角的对边分别为，记．
(1)若，求的最小值；
(2)若，且为钝角，求的最大值；
(3)直接写出两个函数与的解析式，使得对于一切满足条件的，都有，且代数式恒为定值．
【解析】（1）因为，所以，
所以由余弦定理得，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，
由余弦定理可得，
所认，
当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为；
（3）存在，使代数式恒为定值，理由如下：
因为，所以由正弦定理可得，
于是，
所以，所以，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，
即，
所以，
所以，
即时，代数式恒为定值．
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高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
2．某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
3．如图所示，长方体被平面截成两个几何体，点分别在棱上，点分别在棱上，且，则截得的两个几何体分别是（ ）
A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台
4．已知，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
7．如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（ ）
A． B．2dm C．3dm D．
8．已知，，其中，．若对任意，都有，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ）
A．极差 B．45百分位数 C．中位数不变 D．众数
10．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
11．若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么 .
13．一个平行于正四棱锥底面的平面将该正四棱锥分成上、下两个部分，且截得的棱台的上、下底面边长之比为2:3，则上、下两部分体积之比为 ．
14．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点．
(1)若四边形是平行四边形，求点的坐标；
(2)求的取值范围．
16．（15分）
已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)若，，，求；
(3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
17．（15分）
如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小．
18．（17分）
在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为．
(1)求，，；
(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，试确定a，b，c的值，并说明理由；
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
19．（17分）
在斜三角形中，内角的对边分别为，记．
(1)若，求的最小值；
(2)若，且为钝角，求的最大值；
(3)直接写出两个函数与的解析式，使得对于一切满足条件的，都有，且代数式恒为定值．
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