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江苏省东海高级中学2024-2025学年高二下学期第一次学分认定考试数学
一、单选题
1．下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
3．某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ）
A．432种 B．420种 C．176种 D．7种
4．在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥O-ABC中，G是的重心，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（ ）种
A．81 B．64 C．36 D．72
8．在平行六面体中，且，，若，则棱的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、多选题
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是1120
B．第四项和第六项的系数相等
C．二项式系数最大的项为第5项
D．各项的系数之和为256
10．在棱长为2的正方体中，点为的中点，则（ ）
A．四棱锥的体积为8
B．二面角的大小为
C．直线与底面所成的角的大小为，则
D．异面直线与所成的角的大小为，则
11．已知事件A，B，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．某校要从3名男生和4名女生中选出3人担任某赛事的志愿者工作，每个人被选中的可能性相同.在选出的志愿者中，男生和女生都有的概率为 .
13．展开式中含项的系数为 .
14．有3台车床加工同一型号的零件，甲、乙、丙三台车床加工的次品率依次为，，，且甲、乙、丙三台车床加工的零件数分别占总数的，，.将加工出来的零件混放在一起，从混合零件中任取1个.
（1）它是次品的概率为 ；
（2）如果取到的零件是次品，那么它是甲车床加工的概率为 .
四、解答题
15．已知二项式的展开式中所有偶数项的二项式系数之和为128.
(1)求的展开式中的常数项；
(2)在的展开式中，求含：的项的系数.（结果用数字作答）
16．（1）若，且n是正整数，求证：；
（2）依据（1）中的不等式可以进行近似计算，依据（1）中的结论对下列问题进行近似计算：假定某市有人口1000万，且人口的年平均增长率为1.1%，那么10年后该地区的人口大约为多少万？
17．如图，在正四棱柱中，，，点是的中点，点在上.设二面角的大小为.
(1)当为的中点，求证：；
(2)求直线与底面所成的角的正弦值；
(3)当时，求线段的长度.
18．从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数.
(1)可以组成多少个偶数？
(2)可以组成多少个大于24500的五位数？
19．如图，已知E，F分别是空间四边形ABCD的边AB，BC的中点，点G，H分别在边CD，AD上，且满足.
(1)证明：直线EH，FG，BD相交于一点；
(2)若空间四边形的边长都为2，且，求二面角的大小的余弦值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B D A C D AC CD
题号 11
答案 ABC
1．B
根据排列数公式即可判断选项A与选项C；根据组合数公式即可判断选项B与选项D.
【详解】，故选项A错误；
，故选项B正确；
∵，故选项C错误；
∵，，
∴，故选项D错误.
故选：B.
2．C
先求出向量在向量上的投影，再求解向量在向量上的投影向量即可．
【详解】因为，0，，，2，，
则向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量是．
故选：．
3．A
先对各年级同学作全排，再把三个年级作为三组作全排，应用分步乘法求不同排法数.
【详解】先将各年级同学作全排有种，再把三个年级同学作全排有种，故共有种.
故选：A
4．B
利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得.
【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
因点P，Q分别为平面，平面的中心，则，
于是，，
设平面的法向量为，
则，
故可取，又，
则点B到平面APQ的距离为.
故选：B.
5．D
分别求出将5个1和2个0随机排成一行的种数和2个0不相邻的种数，利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】将5个1和2个0随机排成一行，总的排放方法有种.
要使2个0不相邻，利用插空法,5个1有6个位置可以放0,故排放方法有种.
所以所求概率为.
故选：D.
6．A
线段的中点，再结合重心得出，再根据得出，最后再用向量的加减运算将所有向量化为的线性关系即可.
【详解】取线段的中点，因点是的重心，
则，
因，则
则.
故选：A.

7．C
利用分组分配方法求解即可.
【详解】将4名学生分成3个组有种方法，
再将3个组分配到3个兴趣小组有种方法，
故选：C
8．D
设，利用空间向量基本定理有，得，转化为代数问题，利用基本不等式有，令，即得，转化为关于的一元二次不等式即可求解.
【详解】设，则有，
由，，所以，，
所以
，
即，
由，当且仅当时，等号成立，
所以，
即，令，
即，关于的一元二次不等式要有解，
所以，解得，即，
所以的最大值为，当时，，
即，所以，即时，等号成立，
故选：D.
9．AC
根据已知写出二项式展开式通项公式，进而判断A、B；由组合数性质及二项式展开式的项数确定最大项判断C；赋值法判断D.
【详解】由二项式知，展开式通项公式为，，
当，则，A对；
，，B错；
由，即展开式共有9项，则二项式系数最大为第5项，C对；
令，则各项系数之和为，D错.
故选：AC
10．CD
连接交于点，证得平面，得到为四棱锥的高，结合锥体的体积公式，可判定A不正确；先证得且，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，可判定B不正确；由平面，得到所以为与底面所成的角，在直角，求得，可判定C正确；取的中点，证得，得到异面直线与所成的角即为直线与所成的角，在，利用余弦定理求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，连接交于点，
在正方体中，平面，
因为平面，所以，
在正方形中，可得，
因为，且平面，所以平面，
所以平面，即为四棱锥的高，
所以四棱锥的体积为，
所以A不正确；
对于B中，在正方体中，可得平面，
因为平面，且平面，所以且，
所以为二面角的平面角，
在直角中，可得，所以B不正确；
对于C中，在正方体 中，可得平面，
所以即为与底面所成的角的大小为，
连接，在直角中，可得,
在直角中，可得，所以C正确；
对于D中，取的中点，连接，
因为分别为的中点，可得，
所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即为，
在直角中，可得，
在中，，
由余弦定理，可得，
即，所以D正确.
故选：CD.
11．ABC
结合条件概率公式，由，再由得到，进而求解判断各个选项.
【详解】因为，所以，A选项正确；
由题意，，B选项正确；
因为，所以，所以，C选项正确；
又因为，所以，
所以，D选项错误；
故选：ABC.
12．
先求出选出3人的所有情况和3人中男、女生都有的所有情况，然后根据古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意得从3名男生和4名女生中选出3人共有种情况，
其中男、女生都有的情况有种，
所以选出的志愿者中，男、女生都有的概率为，
故答案为：.
13．113
化简后利用展开式的通项公式求解即可.
【详解】因为
展开式中含常数，项的系数分别为，
而的展开式为，
所以展开式中含项的系数为，
故答案为：113
14． /
设任取一件产品来自甲车床为事件、来自乙车床为事件、来自丙车床为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率；利用贝叶斯概率公式可求出取得零件是次品，则它是来自甲车床加工的概率.
【详解】设任取一件产品来自甲车床为事件、来自乙车床为事件、来自丙车床为事件，
则彼此互斥，且，，，，，
设从混合零件中任取1个，取到的是次品为事件，
则
，
如果取到的零件是次品，那么它是甲车床加工的概率为
,
故答案为：；
15．(1)
(2)84
（1）二项展开式中所有项的系数和为，奇数项的二项式系数和应为所有项系数和的一半即可求出，再令通项中次数为零即可求出；
（2）先求出各个展开式中的项的系数，然后结合组合数的性质求解即可.
【详解】（1）
所有偶数项的二项式系数之和为128，，解得.
的第项为，
令，得，
则常数项为；
（2）由（1）可得，
所以即展开式中的系数为：，
由组合数的性质，
所以.
16．（1）证明见解析；（2）1115万
（1）利用二项式的展开式即可证明；
（2）根据（1）的不等式代值化简，并近似计算即得.
【详解】（1）因，且n是正整数，
则
，
当且仅当时，等号成立；
（2）依题意，10年后该地区的人口为，
由（1）已得，
取，，
则得.
即10年后该地区的人口大约为1115万.
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积为0证明两直线垂直；
（2）利用向量法求线面角；
（3）利用向量法表示二面角的平面角的余弦值，构建方程求出线段的长度.
【详解】（1）
如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则.
当为的中点，则，
所以，，
则，所以.
（2）是的中点，，则，
取平面的一个法向量，
设直线与底面所成的角为，
则.
（3）设，则，
所以，
设平面的一个法向量，
则，令，则，故.
设平面的一个法向量，
则，令，则，故.
则，
整理可得，即，解得或（舍去），
所以.
18．(1)
(2)
利用分类分步计数原理，借助优先特殊位置和排列数公式即可求解.
【详解】（1）第一类：排末位且数字不同的五位数有种；
第二类：排末位且数字不同的五位数有种；
所以可以组成数字不同的五位数的偶数有：种；
（2）第一类：首位是比2大的五位数有：种；
第二类：首位是2，千位是比4大的五位数有：种；
第三类：首位是2，千位是4，百位比4大的五位数有：种；
所以大于24500的数字不同的五位数有：种.
19．(1)证明见解析；
(2)
（1）根据条件证明，，，四点共面，假设，证明出即可；
（2）将四面体放入正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，根据法向量夹角的余弦值，即可求二面角的大小的余弦值.
【详解】（1）因为E，F分别是空间四边形ABCD的边AB，BC的中点，所以，且，
因为，所以，且，
所以,,所以，，，四点共面，
假设，所以，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为 平面平面，所以，
所以直线EH，FG，BD相交于一点
（2）因为空间四边形的边长都为2，且，所以空间四边形为正四面体，
将正四面体放入正方体中，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系
，
所以，， ，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，，
所以，
，
由图可知二面角为钝角，所以二面角的大小的余弦值为.

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