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2024-2025学年下学期期末考试押题卷02
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，其中是实数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知事件，是相互独立事件，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的角平分线，交BC于D，，，BD＝2，则b＝（ ）
A． B． C． D．
7．在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（ ）
A．57 B．58 C．60 D．61
8．如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（ ）
A．班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B．班5月产生饮料瓶数的第75百分位数
C．已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间
D．
10．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则；
B．若，则；
C．若，则；
D．若，则为等腰三角形．
11．如图，在五面体中，底面是边长为的正方形，，平面，，到底面的距离为，点为的中点，点在四边形内部（含边界）．则下列选项中正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得
C．该五面体的体积为
D．若，则点的轨迹长度为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．是虚数单位，复数满足，则 .
13．已知某校数学竞赛小组6名同学在某次模拟考试中的成绩分别为65，72，58，82，90，69，设这6名同学考试成绩的第60百分位数为，则从6名同学中随机抽取2名，这两名同学的成绩均不高于的概率为 ．
14．在三棱锥中，平面，点为内（包含边界）一点，且，则点的轨迹的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知平面向量，且.
(1)求与的夹角的值；
(2)当取得最小值时，求实数的值.
16．（15分）
近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478.
(1)求这6个数据的75%分位数及平均数；
(2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率.
17．（15分）
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
18．（17分）
如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.

(1)已知，且
（i）当时，求的面积；
（ii）若，求.
(2)已知，且，求AC的最大值.
19．（17分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点.
(1)求证：平面平面；
(2)试作出二面角，并求二面角的正切值；
(3)点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分）
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2024-2025学年下学期期末考试押题卷02
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，其中是实数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，即，
所以，
故选：A．
2．如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在直观图中，，，，则，
所以，，
所以平面图形的面积为.
故选：D
3．已知事件，是相互独立事件，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为事件，是相互独立事件，所以事件，也是相互独立事件，
又，，所以，，
所以.
故选：A
4．已知，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
5．已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为在方向上的投影向量为，且，
可得，即，
又因为在方向上的投影向量为，
可得，即.
故选：D.
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的角平分线，交BC于D，，，BD＝2，则b＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，，
三角形中，∴，∴，
∴，又，∴，
∴．
故选：A．
7．在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（ ）
A．57 B．58 C．60 D．61
【答案】C
【解析】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是”，或是“一个为，另一个不是”，
或是“两个不等的且不是，，”．
①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是；
②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为，另一个不是”，则一个为，另一个数不小于，
又因为极差加倍，则另一个数为，此时；
③若插入的两个数是不等的且不是，，，，且极差为，中位数保持不变，
则两个数可以为
，，，，，，，
所以，的最大值为．
故选：C.
8．如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设平面分别交棱、于点、，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又因为，由等角定理及图形可知，
则，即，故，
故，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又因为，由等角定理及图形可得，
所以，即，所以，
所以，故.
因此，平面与侧面的交线长为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（ ）
A．班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B．班5月产生饮料瓶数的第75百分位数
C．已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间
D．
【答案】ABD
【解析】班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为
，故A正确；
由，解得，故D正确；
∵，
，
故班5月产生饮料瓶数的第75百分位数位于中，
所以，
解得，故B正确；
A班和B班5月份产生饮料瓶数在的频率均为，
故该校学生5月份产生饮料瓶数在的频率也为，
因为，
所以该校约有200人5月份产生饮料瓶数在之间，故C错误．
故选：ABD．
10．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则；
B．若，则；
C．若，则；
D．若，则为等腰三角形．
【答案】ACD
【解析】对于A，，而，故A选项错误，
对于B，中，若，则，
由正弦定理得：（为的外接圆半径），
故，B选项正确，
对于C，由正弦定理，得，由，则或，C选项错误，
对于D，若，则，即，
而，故或，故或，
为等腰三角形或直角三角形，D选项错误.
故选：ACD
11．如图，在五面体中，底面是边长为的正方形，，平面，，到底面的距离为，点为的中点，点在四边形内部（含边界）．则下列选项中正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得
C．该五面体的体积为
D．若，则点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】对于A，取中点，连接，
分别为中点，四边形为正方形，
，，
平面，平面，
平面，平面，又，平面，
平面平面，
则当时，平面，此时平面，A正确；
对于B，作点关于平面的对称点，连接，
关于平面对称，，
（当且仅当三点共线时取等号），
到平面的距离为，，又，，
则，即不存在点，使得，B错误；
对于C，取中点，作，，垂足分别为，
，为中点，，
四边形为正方形，，又，平面，平面，
又平面，，
，平面，平面，
同理可得：平面，；
，，，，
则，；
作，分别交于，交于，可将五面体拆分为直三棱柱、四棱锥和四棱锥，
，，
，C正确；
对于D，点到平面的距离，，，
则点轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部（含边界）的部分，
作出正方形的平面图如下图所示，
点的轨迹长度为，D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．是虚数单位，复数满足，则 .
【答案】
【解析】由条件可知，.
故答案为：
13．已知某校数学竞赛小组6名同学在某次模拟考试中的成绩分别为65，72，58，82，90，69，设这6名同学考试成绩的第60百分位数为，则从6名同学中随机抽取2名，这两名同学的成绩均不高于的概率为 ．
【答案】/
【解析】将6名同学的成绩由低到高排列为58，65，69，72，82，90，
由于，则第60百分位数为第4个成绩，即，
那么成绩不高于72的有4个，所以抽取的两名同学的成绩均不高于的概率为．
故答案为：.
14．在三棱锥中，平面，点为内（包含边界）一点，且，则点的轨迹的长度为 ．
【答案】/
【解析】因为平面，且平面，所以
又由，可得，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
如图所示，连接，若，且，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
即在平面内，若，则，即点落在以为直径的四分之一圆上，
因为，所以点的轨迹长度为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知平面向量，且.
(1)求与的夹角的值；
(2)当取得最小值时，求实数的值.
【解析】（1）由，可得，
又，所以，又，所以；
（2）因为，
所以.
所以的最小值为，此时.
16．（15分）
近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478.
(1)求这6个数据的75%分位数及平均数；
(2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率.
【解析】（1）因为，
所以这6个数据的75%分位数是249，
这6个数据的平均数是.
（2）从6个数据中任取2个数据，样本空间
，共含有15个样本点，
设事件表示“取到的2个数据都小于6个数据的平均数”，
则，共含有6个样本点，
所以.
答：取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率为.
17．（15分）
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
【解析】（1）设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.
则，，，故，，.
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.
每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.
所以.
答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
（2）设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.
所以.
解得.
18．（17分）
如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.

(1)已知，且
（i）当时，求的面积；
（ii）若，求.
(2)已知，且，求AC的最大值.
【解析】（1）（i）设，在中，由余弦定理得，解得，
在中，，则底边上的高，
所以的面积.
（ii）设，依题意，，
则，，即，而，
所以.
（2）连接，中，，，
由余弦定理得，
则，，设，在中，，
于是，在中，，
由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
所以AC的最大值是.
19．（17分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点.
(1)求证：平面平面；
(2)试作出二面角，并求二面角的正切值；
(3)点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分）
【解析】（1），，
则，
；
又，，、平面，
平面，平面，
平面平面；
（2）侧棱，点为中点，
，
又，
为正三角形，取中点，则，，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
过点作交延长线于点，连接，.
平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，又平面，，
根据定义，即为二面角的平面角.
，
.
（3）（法一）作平面，
则，为在平面内的射影，所以点，，共线，
再在平面作交于点，
又，，、平面，
平面，
设线交线于点，则，
又，，、平面，
平面，平面，得，
，，
又因为，
所以与平面所成的最大角的正弦值为，
当点为线与的交点时取到最大角；
（法二）过点作交于点，连接，.
设，，，
则，，
从而.
，
，，
于是，
当且仅当，即点为与交点时，等号成立.
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