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2024-2025学年下学期期末考试押题卷01
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在一次随机试验中，三个事件、、发生的概率分别是、、，则下列选项正确的是（ ）
A．是必然事件 B．与是互斥事件，也是对立事件
C．． D．
4．设，向量，，，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．4
5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是上靠近A的三等分点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图1为某省2024年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2024年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是（ ）
A．2024年月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件
B．2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关
C．从两图中看，业务量与业务收入变化高度一致
D．从月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长
10．在中，下列命题正确的（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，则是等腰三角形
11．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．当是棱的中点时，平面
D．直线与平面所成的角的正切值最大为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．复数为纯虚数，则实数a的值为 .
13．某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ．
14．如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，.
（1）若，求的值；
（2）当取得最大值时，求A的值.
16．（15分）
2024年12月2日是第13个122“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”.某中学为了让学生关注道路交通安全，举行交通安全知识竞赛，共有100名学生参加，他们的成绩整理后分成五组，如图所示，其中.
(1)求的值，并估计这100名学生成绩的中位数（结果四舍五入保留整数）；
(2)若按比例用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取20人参加交流活动，再从参加交流活动且成绩在的学生中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率.
17．（15分）
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求的周长.
18．（17分）
如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)若点为的中点，求点到平面的距离．
19．（17分）
多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题：
(1)碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数；
(2)规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.证明：任何简单多面体的总曲率是常数；
(3)如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体.
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2024-2025学年下学期期末考试押题卷01
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】，在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在直观图中过点，作交于点，
因为，
所以，，即
将直观图还原为平面图如下：
则，，，
所以.
故选：A
3．在一次随机试验中，三个事件、、发生的概率分别是、、，则下列选项正确的是（ ）
A．是必然事件 B．与是互斥事件，也是对立事件
C．． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，
，
所以不一定是必然事件，A错；
对于B选项，因为不一定是不可能事件，故与不一定互斥，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：C.
4．设，向量，，，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】B
【解析】由向量，，，
因为，可得，解得.
由，可得，解得，
故.
故选：B
5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，则，或，故A错误；
对于B，若，，则，或与相交，故B错误；
对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误；
对于D，若，，则，故D正确.
故选：D.
6．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中由余弦定理
，所以,
设外接圆的半径为，则，所以，
又平面，，设三棱锥外接球的半径为，
则，
所以三棱锥外接球的表面积.
故选：C
7．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值，
直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则，
又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即，
所以.
故选：C.
8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是上靠近A的三等分点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为D是上靠近A的三等分点，所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，则，
即，当且仅当时等号成立，
又在中，,
因此，即，
所以的取值范围为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图1为某省2024年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2024年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是（ ）
A．2024年月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件
B．2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关
C．从两图中看，业务量与业务收入变化高度一致
D．从月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长
【答案】ABC
【解析】对于A，由图1可知，快递业务量3月份为4397万件，2月份为2411万件，差值为万件，故A正确；
对于B，由图1可知2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，故B正确；
对于C，由两图易知业务量从高到低是3月4月1月2月，业务收入从高到低是3月4月1月2月，保持高度一致，故C正确；
对于D，由图2知业务收入2月比1月减少，4月比3月减少，整体不具备高速增长之说，故D错误；
故选：ABC．
10．在中，下列命题正确的（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，则是等腰三角形
【答案】ACD
【解析】对于A：在中，由，可得，由正弦定理可得，，故A正确；
对于B：在中，由，可得或，
所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C：因为，所以角最多有一个钝角，
若，则中至少有一个为负数，
即中必有一个为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；
对于D：因为，由余弦定理可得，
即，所以，即，故是等腰三角形，故D正确.
故选：ACD
11．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．当是棱的中点时，平面
D．直线与平面所成的角的正切值最大为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为四边形为菱形，则，
因为，，，故为等边三角形，
所以，，则，故，同理可得，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，故，A对；
对于B选项，易知为等边三角形，，
因为点在上，且，则，
故，B错；
对于C选项，连接交于点，连接，取线段的中点，连接、，
因为四边形为菱形，，则为的中点，
因为点在上，且，为的中点，则，
所以为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为的中点，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，故平面，C对；
对于D选项，如下图所示：
由A选项可知，平面，所以直线与平面所成角为，
因为平面，所以，则，
因为是边长为的等边三角形，故，
因为平面，平面，所以，
又因为，故为等腰直角三角形，则，
当时，取最小值，且最小值为，
此时，取最大值，且最大值为，D对.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．复数为纯虚数，则实数a的值为 .
【答案】1
【解析】由，可得，为纯虚数，
所以.
故答案为：1
13．某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ．
【答案】/
【解析】2名高一学生干部记为：a，b；3名高二学生干部记为：，，，
则样本空间
共含有10个样本点，
设事件表示“这2名学生来自不同年级”，
则包含，即，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故答案为：.
14．如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为 .
【答案】
【解析】下图所示：
分别取棱、的中点、，连接，连接，
、、、为所在棱的中点，，，
，又平面，平面，
平面；
，，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，
又，平面，平面平面，
是侧面内一点，且平面，
则必在线段上，
在中，，
同理，在中，求得，
为等腰三角形，
当在中点时，此时最短，位于、处时最长，
，
，
所以线段长度的是大值与最小值之和为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，.
（1）若，求的值；
（2）当取得最大值时，求A的值.
【解析】（1）在中，由正弦定理得，
∴，∵，∴，
∴.
（2）
当且仅当，即时取到最大值.
16．（15分）
2024年12月2日是第13个122“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”.某中学为了让学生关注道路交通安全，举行交通安全知识竞赛，共有100名学生参加，他们的成绩整理后分成五组，如图所示，其中.
(1)求的值，并估计这100名学生成绩的中位数（结果四舍五入保留整数）；
(2)若按比例用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取20人参加交流活动，再从参加交流活动且成绩在的学生中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率.
【解析】（1）由题图知，得.
又，所以.
设所求的中位数为，由频率分布直方图可知：
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
所以，则，
解得.
（2）由题意可知，分层抽样的抽样比为.
因为成绩在、的学生分别有人，人，
故在内抽取4人，记为，
在内抽取1人，记为，
从这5个人中任选2人，样本空间为，共10个样本点，
设事件表示“这2人的成绩在同一组”，
则事件A的样本空间为，包含6个样本点，
所以.
17．（15分）
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求的周长.
【解析】（1）选①，，
，
又，，又，.
选②，，
又，，
，，.
选③，，
，即，
，，.
（2），，，，
又，且，
，，
，，
所以的周长为6.
18．（17分）
如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)若点为的中点，求点到平面的距离．
【解析】（1）∵平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面，
∵，点为中点，
∴，
∵平面平面，平面，
∴平面.
（2）
取中点，连接，，
∵，，，点为中点，
∴四边为平行四边形，∴，
∴直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，
∵平面，
∴为直线与平面所成的角，
∵点为中点，，
∴，，，
∴，又，所以，
所以直线与平面所成角为.
（3）如图，连结和，
由，，，且平面，
所以,，
，，,
所以是等边三角形，，
设点到平面的距离为，
则，即，得
所以点到平面的距离为
19．（17分）
多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题：
(1)碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数；
(2)规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.证明：任何简单多面体的总曲率是常数；
(3)如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体.
【解析】（1）由题意可知，，由可得，
设正五边形的个数为，正六边形的个数为，则，
因为一条棱连着两个面，所以足球烯表面的棱数，
联立，解得，即32个面中正六边形面的个数是20.
（2）设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，
设第号 多边形有 条边，多面体有条棱，
由题意，多面体共有个顶点，
号多边形内角之和，所有多边形内角之和，
故总曲率为.
则任何简单多面体的总曲率是常数；
（3）由某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，可知，
于是，将其代入，
所以，所以，
因此，又，
故所有五组正整数解为：，
当时，，则，此时正多面体为正四面体，
当时，，则，此时正多面体为正六面体，
当时，，则，此时正多面体为正十二面体，
当时，，则，此时正多面体为正八面体，
当时，，则，此时正多面体为正二十面体，
所以正多面体仅有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种.
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