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黑龙江省绥化市第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．的展开式的第4项系数是（ ）
A． B．280 C． D．560
2．3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ）
A． B． C．12 D．16
3．已知函数，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．函数在处有极值，则的值等于（ ）
A．0 B．6 C．3 D．2
5．某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（ ）
A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12
6．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法
7．的展开式中的系数为（ ）
A．12 B．40 C．60 D．100
8．已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在件产品中，有件合格品，件不合格品，从这件产品中任意抽出件，则（ ）
A．抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有种
B．抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有种
C．抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种
D．抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种
10．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知为正整数，若，则 .
13．已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为
14．已知为数列的前n项和，，，则 ．
四、解答题
15．已知数列是等差数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．若，，求：
(1)的单调区间；
(2)在上的最小值和最大值．
17．已知数列满足：，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，，求数列的前n项和.
18．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，每次取1个，已知第二个是次品的条件下，求第一个是正品的概率；
(3)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率．
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)当时，求函数在区间的最小值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A A A C C C ACD AC
题号 11
答案 BCD
1．A
利用二项式定理列式求得答案.
【详解】的展开式的第4项系数是.
故选：A
2．B
根据分布乘法计数原理进行计算.
【详解】每个班有4种不同选择，共有种不同选法.
故选：B
3．A
求导得，令即可求解.
【详解】对求导得，，
令，得，解得.
故选：A.
4．A
求导，根据列方程组求解可得.
【详解】
因为在处有极值，
所以，解得
所以
故选：A
5．A
根据全概率公式，即可求得答案.
【详解】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”，
“第2天去甲餐厅用餐”，与互斥．
依题意得，，．
由全概率公式，得
，
故选：A
6．C
根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可.
【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，
此时，共有种不同的排法，故A错误；
B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，
此时，共有种不同的排法种数，故B错误；
C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，
此时，共有种不同的排法种数，故C正确；
D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，
此时，共有种不同的排法种数，故D错误.
故选：C．
7．C
由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】因为，
其中展开式的通项为（），
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为.
故选：C
8．C
根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可.
【详解】因为，函数在区间上是减函数，
所以，恒成立.
所以，恒成立.
设，，
因为对称轴为，所以在为增函数，
所以，所以.
故选：C
9．ACD
利用分步乘法计数原理，结合组合数计算可得A正确B错误；对于“至少有件是不合格品”的抽法，C用直接法先分类再分步计算，D用间接法（排除法），先从100个产品中任选3件，再排除3件都是合格品，故CD都正确.
【详解】对于A、B，抽出的件中恰好有件是不合格品，则包括一件不合格品和两件合格品，共有种抽取方法，故A正确B错误；
对于C、D，抽出的件中至少有件是不合格品，可以分为“有件是不合格品”和“有2件是不合格品”两种情况，“有件是不合格品”有种抽取方法，“有2件是不合格品”有种抽取方法，所以共有种抽取方法. 故C正确.
另外，“至少有件是不合格品”的对立事件是“3件都是合格品”，其抽取方法有种，所以，抽出的件中至少有件是不合格品的抽取方法有种.故D正确.
故选：ACD.
10．AC
利用赋值法，结合二项展开式的结构特征，逐项分析即可得解.
【详解】对于A，，
令，可得，故A正确；
对于B，，可得，故B错误；
对于C，令，可得，故C正确；
对于D，上述两式相加，
故，故D错误，
故选：AC.
11．BCD
对于A：利用全概率求；对于B：利用对立事件概率公式求；对于CD：根据条件概率公式运算求解.
【详解】由题意可得：，，
对于A：由全概率公式可得
，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于CD：，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
12．2
根据给定条件，利用组合数的性质求解即得.
【详解】由，，得或，解得或，
而，解得，，
所以.
故答案为：2
13．
根据二项式系数的性质求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】依题意可知，
的展开式通项为，
令，则，故的系数为.
故答案为：.
14．2024
由递推关系得到，再由得数列中所有项都为可得答案．
【详解】当时，由得，
两式相减得，即，
因为，所以由，得，
由，得，
所以数列中所有项都为，
则.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；
（2）利用等差和等比数列的通项公式求和.
【详解】（1）由等差数列中设首项为，公差为，
由于：，.
则：，
解得,
所以.
（2），
则
16．(1)的增区间为；单调递减区间为
(2)，
（1）求导，令，，解不等式即可；
（2）由（1）可知在单调递减，在单调递增，故只需计算即可.
【详解】（1），
由解得或，由解得，
所以的单调递增区间为,单调递减区间为；
（2）， （舍）或，
由（1）可知在单调递减，在单调递增，
, ,
，
所以在上的最小值和最大值依次为，.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）根据题中递推公式结合等差数列的定义分析证明；
（2）由（1）可得，，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）因为，，显然，
则，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，则，
可得，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）令事件“第次从乙箱中取到次品”，，利用全概率公式及条件概率的概率公式计算可得；
（3）记事件=“从乙箱取一个正品”，从甲箱中取出两个正品、一个正品一个次品、两个次品的事件分别记为，再利用全概率计算可得.
【详解】（1）记“这个产品都是次品”为事件，则.
（2）令事件“第次从乙箱中取到次品”，则“第次从乙箱中取到正品”，，
则，，，，
因此，
所以.
（3）令事件=“从乙箱取一个正品”，
事件=“从甲箱中取出两个正品”，事件=“从甲箱中取出一个正品一个次品”，
事件=“从甲箱中取出两个次品”，互斥，且，
，，
则
，
所以从乙箱中取出的这个产品是正品的概率是.
19．(1)
(2)答案见解析
(3)
（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（3）结合（2）中的单调区间，对进行分类讨论，从而求得函数在区间的最小值.
【详解】（1）当时，，∴，
，∴，故切线方程为：.
（2），
∴，，
∴①当时，，∴仅有单调递增区间，其为，
②当时，，∴当时，；当时，，
∴的单调递增区间为 ，单调递减区间为.
③当时，，∴当时，；当时，.
∴的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为.
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）当时，由（2）中③知，在上单调单调递减，在上单调递增，
∴①当，即时，在上单调递增，，
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，
③当，即时，在上单调递减，∴.
∴.

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