资源简介

专题1 如何利用中点解决问题
核心归纳
编写说明：将此类难题的核心要点总结、结合例题加深理解，之后练综合题目易有解题思路.
类型 何时用 辅助线 解题通法
联想 “三线 合一” 遇到等腰三角形底边上的中点(或等腰三角形) 联想“三线合一”的性质，作底边上的中线(或作底边上的高)、 遇到等腰三角形底边上的中点或等腰三角形(或“中点+垂直”)，利用或构造等腰三角形“三线合一”(垂直平分线)得到等线段、等角、直角、2倍角、2倍线段，再与其他条件、结论组合来解决问题.
构造 “8字” 全等 遇到三角形一边上的中点 考虑构造“8字”全等三角形：(1)倍长中线或一端点为中点的线段；(2)作平行线. 用倍长法或作平行线法构造“8字”全等三角形，实现边、角位置的转换 (如 AC 转换到 BE,∠CAD 转换到∠E),证明线段间的数量关系，该类型经常会与中位线定理一起综合应用.
构造 中位线 遇到三角形中任意两边的中点或一边上的中点 (1)遇到三角形中任意两边的中点，直接构中位线； (2)遇到三角形中一边上的中点，取中点构中位线. 以(1)为例，利用三角形中位线定理，得线段的位置关系(DE∥BC)， 的数量关系( △ADE∽△ABC,再与题中其他条件组合形成全等、等腰、相似、直角三角形或特殊四边形，从而解决问题.
构造直角三角形斜边中线 遇到直角三角形斜边 上 的中点 构造斜边上的中线. 有时有直角无中点，要找(或取)中点，利用“斜边上的中线等于斜边的一半”，得线段2 倍的数量关系、线段相等((CD=AD= 角相等、角2倍的数量关系(∠BDC=2∠A=2∠ACD)，再结合其他条件、结论，继而可证明线段相等、求线段长或构造角相等进行等量代换.
类型突破
编写说明：每类例题由浅入深设置，包含该类型的经典情况且在不同几何图形背景下，让学生先练透每个类型，抓住核心本质后再综合练习.
类型 1·联想“三线合一”
例1.课堂上,老师出示了这样一道题:如图1,在△ABC 中,∠A=90°-2∠C,AC=8,AB=4. D 是 BC 的中点,过点 D 作 DE⊥BC 交 AC 于点 E,求 CE 的长.
小星分析题干信息，由“D 是BC 的中点，DE⊥BC”，得 DE 是BC 的垂直平分线，于是连接BE，导角可得∠ABE=90°，再利用勾股定理即可求得CE 的长.
(1)请用小星的方法或自己的方法求CE 的长；
(2)如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,AD=CD=2,BA=3,E是AC的中点,求BE 的长;
(3)如图3,在等腰△ABC中,AB=AC,过点 B 作BF⊥AC,垂足为D,以点 B 为圆心,BA 长为半径画弧,交 BF 于点E,连接AE,CE.
①若∠CBF=α,求∠CAE 的度数;(用含α的代数式表示)
难若BC=m，直接写出△BCE的面积.(用含m的代数式表示)
类型2·构造“8字”全等
例2.【问题初探】在数学活动课上，赵老师给同学们布置了以下问题:如图1,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于点 E,交AD于点 F,且BF=AC.求证:AE=EF.遇到三角形一边上的中点，小徐、小吴两名同学都考虑用倍长中线法构造全等三角形，但从不同角度思考进行倍长；
小徐同学:直接倍长△ABC 的中线 AD,如图2,延长AD至点G,使DG=AD,连接BG,构造全等三角形，将有已知信息的边 AC 以及与问题相关的∠CAD 进行转换，得等腰三角形解决问题.小吴同学：倍长一个端点为中点的线段 FD，如图3，延长FD 至点G，使DG=DF，连接CG，构造全等三角形，将有已知信息的边 BF 以及与问题相关的∠BFD 进行转换，得等腰三角形解决问题.
(1)请你从两名同学中选择一名同学的解题思路或用自己的方法写出证明过程；
【类比分析】
(2)如图4,△ACB 为直角三角形,且∠ACB=90°,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于点E,交AD 于点F,且 BF=AC,若△ACB 的面积为 求 AE 的长;
【学以致用】
(3)如图5.在△ABC中,AD为BC边上的高,且BC=AD,延长△ADB 的中线BF 与AC 相交于点E，若△ABD 的面积为6, 求 BE 的长.
例3.|领跑改编|如图，E 为正方形ABCD 内一点，连接AE，将AE 绕点A 顺时针旋转90°，得到线段AF,连接DF,G是DF 的中点,直线AG 与直线BE 相交于点 H.求证:AH⊥BE.
类型3·构造中位线
例4小星遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，D，E 分别是 BC，AC上的点，且BD=AE.连接BE,AD,F,G分别是BE,AD 的中点,直线 FG 与 BC,AC分别相交于点M,N.求证:CM=CN.
小星分析题目条件发现“F，G分别是BE，AD 的中点”“BD=AE”，这四条有条件信息的线段在△ABE 和ADB 中,且这两个三角形有公共边 AB,于是取AB 的中点H,连接FH,GH,如图2，就可以得到两条中位线，再利用中位线的性质就可以得到∠CMN 和 的数量关系,从而证得CM=CN.
(1)请完成证明；
用学过的知识或参考小星的思路方法解答下列问题：
(2)如图3,在△ABC 中,D,E 分别是BC,AC 上的点,且. ,连接 DE,G,H 分别是DE,AB 的中点,CF 平分∠BCA,猜想GH 与CF 的位置关系,并证明;
(3)如图4,在矩形ABCD 中,AD=3,AB=2,E 是直线CD上一点,连接AE, 与△AEF 关于AE 对称,点 B 关于AF 的对称点是点G,连接 FG,H 是FG 的中点,直接写出 AH 的最小值.
类型4·构造直角三角形斜边中线
例5.如图1,在△ABC 中,BD,CE 均是△ABC 的高,F是 BC 边的中点,G 是 ED 的中点，探究 FG 和 ED 的位置关系.
小星同学由题目条件出现直角，结合“F是BC边的中点”想到直角三角形的斜边中线，于是连接EF，DF，得到△EFD 是等腰三角形，从而探究出 FG 和ED 的位置关系.
(1)请完成上面的探究；
(2)如图2、在 ABCD中,DE⊥CD交AC 于点E,若( 探究 与 的数量关系；
(3) 难如图3,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E 是直线CD上一点,连接AE,过点A作AE 的垂线交直线BC 于点F,连接EF,G 是EF 的中点,点 H 在 BC 上,且 直接写出 HG 的最小值.
2.综合提升练
1.数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当题目中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题.
(1)如图1,在△ABC中,AB=2,AC=6,AD为BC 边上的中线,则AD 的取值范围为 ;
(2)如图2,在△ABC中,∠B=90°,AB=7,AD 是△ABC 的中线,CE⊥BC 于点C,CE=11且∠ADE=90°.求 AE 的长;
(3)如图3,在△ABC中,AF⊥BC 于点F,将AB 绕点A 逆时针旋转90°得到AD,将AC绕点A顺时针旋转90°得到 AE,连接 DE,延长AF 交DE 于点O.求证:O为DE 的中点.
拓展——思维能力有提升
1.1 如图,在矩形 ABCD 中,. 将矩形 ABCD 绕点 C 在平面内旋转得到矩形CEFG,连接AF,GE,H 为AF的中点,点O在线段GE上,且( ，求OH 的最大值.
2.在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,BC=CA,D 是射线CA 上一点,O 是AB 的中点,CE 是△BCD 的中线.
(1)如图1,当∠DBC=30°时,求 的值；
(2)如图2,过点 E 作EG⊥BD交AB 于点G,CO与BD 相交于点F.求证:
(3)射线 CO,BD 相交于点F,若CA=4,AD=1,求EF 的长.
3.(1)如图1，尺规作图：在△ABC的BC 边上求作一点 D，连接AD，使△ABD 的面积与△ACD的面积相等；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2,在等边△ABC中,D 为AC 边上一点,且△ABD 的面积与 的面积相等，E为BC 的延长线上一点,且CD=CE,连接AE,取 BD 的中点F,连接AF,过点 F 作FG⊥AE.求证：
(3)如图3,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,E 为 BC 边上一动点,以CE 为边在CE上方构造等边△CED,连接AD,BD,F 为BD的中点,若 ,求 CE 的长.
4.【问题提出】
在专题复习课上，王老师组织同学们对下列问题进行探究：
如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,F 为△ABC 内一点,连接AF,将AF 绕点F 顺时针旋转90°得到 DF,连接BF 并延长到点E,使EF=BF,连接AD,BD,CD,DE.求证:DE⊥CD,DE=CD.
【思路探究】
“神州”小组的解题思路：遇到三角形一边上的中点想到倍长中线构造全等三角形，如图2，延长DF 至点G,使GF=DF,连接BG,这样可以将证明DE 和CD 的关系转化为BG 和CD 的关系;“智慧”小组的解题思路：结合F为BE 的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B 作BH∥DF交ED 的延长线于点H，连接CH，从而借助三角形中位线的性质，将DE 和CD 的关系转化为DH 和CD 的关系.
(1)请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；
【思维训练】
王老师为了进一步让学生体会中点问题的解决思路，又出示了下列问题：
(2)如图4,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,D 为AB 上一点,将CD 绕点C 逆时针旋转60°得到 CE,连接BE,DE,O 为DE 的中点,连接 BO 并延长交CD 的延长线于点 F,若∠EBO=2∠BCE,探究OF,OB 与BE 之间的数量关系;
【能力提升】
(3)“北斗”小组的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE，若F 为平面内一点,AD∥CE,CD=2,AC=3,其他条件不变,求AF 的长.
5.【问题初探】
数学课上，数学王老师出示了一道中点问题：如图1，在△ABC 中，CE 为AB 边上的中线，且AC=AE,D 是线段AE 的中点,连接CD.求证:BC=2CD.
如图2，小星同学从“D是线段AE 的中点”条件联想到倍长中线：延长CD 至点F，使FD=CD，连接AF，这样将 BC 与2CD 的数量关系转化成BC 与CF 的数量关系；
如图3，小亮同学从结论联想到中位线：取AC 的中点F，连接EF，将BC 与2CD 的数量关系转化成EF 与CD 的数量关系；
(1)请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程；
【迁移应用】
(2)如图4,在等边△ABC中,D 为BC边上一动点,连接AD,将AD 绕点 D 顺时针旋转120°得到DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF，猜想CD 与DF 的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
(3)如图5,在△ABC 中, D 是斜边 BC 上一点,且 BD专题1 如何利用中点解决问题
例1.解:(1)如图1.连接 BE.
∵D 是BC 的中点,DE⊥BC,∴DE 是 BC 的垂直平分线.
∴BE=CE.∴∠C=∠CBE.
∴∠AEB=∠C+∠CBE=2∠C.
∵∠A=90°-2∠C.∴∠A+2∠C=∠A+∠AEB=90°.
设CE=x,则AE=8-x,BE=x.
在 Rt△ABE 中.根据勾股定理,.
解得x=3.∴CE=3.
(2)如图2,连接 DE.
∵AD=CD=2,E 是AC 的中点,∴DE⊥AC,AC=2AE.
∵AB⊥AC,∴∠BAC=∠DEA=90°.
∵AD∥BC,∴∠ACB=∠EAD.
∴△BAC∽△DEA.
在 Rt△ADE 中,根据勾股定理,得
在 Rt△ABE中，根据勾股定理，得
(3)①∵BF⊥AC,∴∠BDC=90°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=90°-α.
∴∠ABD=∠ABC-∠CBF=90°-2α.
∵BA=BE,
详解如图3,过点 A 作AG⊥BC 于点G,过点E作EH⊥BC,交 BC 的延长线于点 H.
∴∠AGB=∠BHE=90°.
由①，得
∵AB=AC,AG⊥BC,
又BA=EB,∠AGB=∠BHE,∴△ABG≌△BEH.
例2.解：(1)选小徐同学.
证明:如图1,延长AD 至点G,使GD=AD,连接BG.
∵AD 是△ABC 的中线,∴BD=CD.
又∠BDG=∠CDA,GD=AD,∴△BDG≌△CDA.
∴∠G=∠CAD,GB=AC.
∵BF=AC,∴GB=BF.∴∠G=∠BFD=∠CAD.
又∠BFD=∠AFE,∴∠AFE=∠CAD.∴AE=EF.
一题多解选小吴同学.
证明:如图2,过点C 作CG∥BF 交AD的延长线于点 G.
∴∠AFE=∠BFD=∠G.
∵AD 是△ABC 的中线,∴BD=CD.
又∠BDF=∠CDG,∴△BDF≌△CDG,∴BF=CG.
∵BF=AC,∴CG=AC、∴∠G=∠FAE.
∴∠AFE=∠FAE.∴AE=EF.
(2)如图3,延长AD 至点Q,使AD=QD,连接BQ.
∵AD 是△ABC 的中线,∴CD=BD.
又∠ADC=∠QDB、AD=QD、∴△ADC≌△QDB.
.∠Q=∠CAD,AC=BQ.
∵AC=BF,∴BQ=BF.∴∠Q=∠BFQ=∠CAD.
∵∠BFQ=∠AFE,∴∠AFE=∠CAD、∴AE=EF.在 Rt△ABC 中,
∴设AC=5x、BC=8x、
解得 负值已舍)、(
设AE=EF=a、则
在 Rt△BCE 中,根据勾股定理,
解得a=4.∴AE=4.
(3)如图4,过点A 作AQ∥BC,交BE 的延长线于点 Q.
∴∠Q=∠FBD,△AEQ∽△CEB.
∵BF 是△ADB 的中线,∴FA=FD.
又∠AFQ=∠DFB,∠Q=∠FBQ,∴△AFQ≌△DFB.
∴AQ=DB,FQ=FB.
在 Rt△ABD 中,.
∴设AD=4x,AB=5x,
根据勾股定理，得
(负值已舍)，
∴AQ=BD=3,BC=AD=4.∴DF=2.
∴根据勾股定理，得.
例3.证明:如图;延长AG 至点M,使AG=MG,连接 FM,设FM 交AB 于点 N,交 BE 于点K.
∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠DAB=90°,AD=AB.
∵G是DF的中点,∴DG=FG.
又∠AGD=∠MGF,AG=MG,∴△AGD≌△MGF.
∴AD=MF,∠ADG=∠MFG.∴AB=FM,AD∥FM.
∴∠ANM=180°-∠DAB=90°.
∴∠FAN+∠AFN=90°,∴∠BNK=90°.
∵AE 绕点 A 顺时针旋转90°,得到线段AF,
∴∠FAE=∠FAN+∠EAB=90°,AE=FA.
∴∠AFN=∠EAB.
又FM=AB,∴△AFM≌△EAB.
∴∠M=∠ABE.
又∠NKB=∠HKM,∴∠BNK=∠MHK=90°.
∴AH⊥BE.
例4.解:(1)证明:如图1,取AB 的中点H,连接FH,GH.
∵F,G 分别是BE,AD 的中点,
∴∠CMN=∠HGF,∠CNM=∠HFG.
∵BD=AE,∴GH=FH.∴∠HGF=∠HFG.
∴∠CMN=∠CNM.∴CM=CN.
(2)GH∥CF.
证明:如图2,连接BE,取 BE 的中点K,连接GK,HK,设CF 交 DE 于点J.
∵G,H 分别是DE,AB 的中点,
∴∠EBC=∠F=90°.
∵△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴AB=AC.∴∠ACB=45°、
∴∠BEC=45°=∠ACB.∴BE=BC.∴AE=AC.
在 Rt△EBC中, 即
∵∠BDC=135°,∴∠CDF=45°.
∴∠DCF=45°=∠CDF.∴∠ECD=∠BCF、在 Rt△CDF 中、 即
又∠BCF=∠ECD、∴△BCF∽△ECD、
∴∠F=∠CDE=90°.
例3.解:(1)EF=BE+DF;∠AFD=∠AFE
详解如图1,延长CB 至点G,使 BG=DF,连接AG.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠D=∠BAD=∠ABC=∠ABG=90°,AD=AB.
又DF=BG,∴△ADF≌△ABG.
∴AF=AG,∠1=∠3,∠AFD=∠G.
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠1+∠2=45°,
∴∠3+∠2=45°,即∠EAG=45°.
∴∠EAF=∠EAG.
又AF=AG,AE=AE,∴△AEF≌△AEG.
∴EF=EG,∠AFE=∠G.∴∠AFD=∠AFE.
∵EG=BE+BG=BE+DF,∴EF=BE+DF.
(2)如图2,过点 A 作AH⊥AF,且使AH=AN,连接BH,MH.
∴∠HAN=90°,即∠3+∠BAF=90°.
∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠ADB=∠ABD=45°,∠BAD=90°,AD=AB.∴∠1+∠BAF=90°.
∴∠1=∠3.
又AD=AB,AN=AH,∴△ADN≌△ABH.
∴DN=BH,∠ADN=∠ABH=45°,∴∠HBM=90°.
∵∠HAF=90°,∠EAF=45°,∴∠HAM=45°=∠NAM.
又∧H=AN,AM=AM,∴△AHM≌△ANM.
∴HM=NM.
在 Rt△HBM 中,∵根据勾股定理,.
例4.解:例3(1)的结论发生改变,BE=DF+EF,∠AFD+∠AFE=180°.
详解如图1,在 BE上取一点 H,使 DF=BH,连接AH.
∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°,AD=AB.∴△ADF≌△ABH.
∴AF=AH,∠FAD=∠HAB,∠AFD=∠AHB.
∵∠BAD=∠HAB+∠HAD=90°,
∴∠FAD+∠HAD=∠HAF=90°.
∵∠EAF=45°,∴∠EAH=45°=∠EAF.
又AF=AH,AE=AE,∴△AEF≌△AEH.
∴EF=EH,∠AFE=∠AHE.
∵∠AHB+∠AHE=180°,∴∠AFD+∠AFE=180°.
一:BE=EH+BH,∴BE=EF+DF.
例3(2)的结论不发生改变，理由如下：
如图2,过点A 作AH⊥AF,且使AH=AN,连接BH,MH.
∴∠HAN=90°,即∠HAD+∠DAN=90°.
∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠ADB=∠ABD=45°,∠BAD=90°,AD=AB.
∴∠BAH+∠HAD=90°.∴∠DAN=∠BAH.
又AD=AB,AN=AH,∴△ADN≌△ABH.
∴DN=BH,∠ADN=∠ABH=135°.
∴∠MBH=∠ABH-∠ABD=90°,
∵∠HAN=90°,∠EAF=45°,
又AH=AN,AM=AM,∴△AHM≌△ANM.
∴HM=NM.
在Rt△HBM 中,∵根据勾股定理,
解:如图,以点 B 为顶点,作∠ABG=∠CBF,且BG=BF,
连接AG,EG,过点G 作GH⊥AE、交EA 的延长线于点 H.
∵四边形ABCD 是菱形、∴AD∥BC,AB=CB.
∵∠BAD=120°,∴∠C=120°、∠ABC=60°.
∵AB=CB,∠ABG=∠CBF,BG=BF,
∴△ABG≌△CBF.∴∠BAG=∠C=120°,CF=AG=2.
∴∠GAE=120°.∴∠GAH=60°.
∵GH⊥AE,∴∠H=90°.∴AH=AG×cos∠GAH=
∴EH=AH+AE=1+3=4.
根据勾股定理、得
∵∠EBF=30°,∠ABC=60°、∴∠ABE+∠CBF=30°、
∴∠ABE+∠ABG=∠EBG=30°.∴∠EBF=∠EBG.又BF=BG,BE=BE,∴△EBF≌△EBG、
例6.解：(1)选择小星的思路.
如图1.延长BD 至点E,使得 DE=CD,连接
∵∠BDC=120°.∴∠CDE=60°.
∴△CDE 是等边三角形.
∴∠DCE=∠E=60°,CD=CE.
∵△ABC 是等边三角形.∴∠ACB=60°,AC=BC.
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.
又AC=BC,CD=CE.∴△ACD≌△BCE.
∴AD=BE,∠ADC=∠E=60°.
∴AD=BE=BD+DE=BD+CD,∠ADB=180°-∠ADC-∠CDE=60°.
一题多解选择小明的思路.
如图2,延长DB 至点F,使BF=CD,连接AF.
∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC.
∵∠BDC=120°,∴∠BAC+∠BDC=180°.
∴∠ABD+∠ACD=180°.
∵∠ABD+∠ABF=180°,∴∠ACD=∠ABF.
又AB=AC,BF=CD,∴△ABF≌△ACD.
∴AF=AD,∠F=∠ADC,∠FAB=∠DAC.
∴∠DAC+∠BAD=∠FAB+∠BAD,即∠BAC=∠FAD=60°.
又AF=AD,∴△AFD 是等边三角形.
∴∠ADB=60°,AD=FD.
∴AD=BD+BF=BD+CD.
(2)如图3,延长BD 至点E,使 DE=DC,连接CE.
∵∠BDC=90°,∴∠CDE=90°.
∴△DCE 是等腰直角三角形.∴∠DCE=∠E=45°.
∵△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴∠ACB =45°.∴cos∠ACB = cos 45°=∠C= ∠ACB +∠BCD = ∠DCE +∠BCD, 即∠ACD =∠BCE.
∴CE=πC.∴△ACD∽△BCE.
:
(3)如图4,以点A 为顶点,作∠DAE=∠BAC,交 CD 的延长线于点 E,过点 C 作CF⊥AE,交 EA 的延长线于点 F.
∵∠BAD=120°,∠BCD=60°,
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°,∠BAC + ∠DAC =∠DAE+∠DAC=∠EAC=120°.
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ADE+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADE.
又∠BAC=∠DAE,∴△BAC∽△DAE.
∵AB=2AD,BC=3,CD=2,
∵∠EAC=120°,CF⊥AE,∴∠FAC=60°,∠F=90°.
∴EF=AF+AE=AC.
在 Rt△EFC中,根据勾股定理,
负值已舍).

展开更多......

收起↑