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专题 解三角形
类型 1·已知三边
技能储备 将此类题的经典情况总结常用结论，为学生提供解题技能，易有解题思路.
1. “已知三边”经典图形：如图1， 如图2，
2.条件: BD 平分∠ABC;结论:
思路: 如图3, 过点A 作AE∥BC交BD的延长线于点E,得AB=AE,△AED∽△CBD.
1.如图,在△ABC 中,AB=4,AC=5,BC=6,则△ABC 的面积为 , tan B 的值为
【变式——趁热打铁练习透】
1.1 如图,在△ABC中,AB=3,AC=5,BC= ,则△ABC 的面积为 .
1.2 如图,在△ABC 中,AB=6,AC=5,D是BC的中点,AD=4,则BC的长为 .
2.如图,在△ABC 中,BD平分∠ABC,若AB=8,BC=4,BD=3,求AC的长.
类型2·已知两角一边
技能储备 将此类题的经典情况总结常用结论，为学生提供解题技能，易有解题思路.
通常已知特殊角或已知角的锐角三角函数值，需通过转换角或作垂线把特殊角或已知锐角三角函数值的角放在直角三角形中，进而可求边.
3.如图,∠B=45°,BC=14.①若 则 AB 的长为 ;若 tan(∠B+∠C)=7,则AC 的长为 .
4.如图,∠ABC=45°,BD⊥AC,tan∠CBD= ①若 AB =20,则 AD 的长为 ;若AC=5,则 BD 的长为 .
5.如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点.①若 则 AB 的长为 ;若 则AC 的长为 .
6.|每领跑改编| 如图,在△ABC中, CD平分∠BCA,BD=15,求CD 的长.
类型3·已知一边一角(两边)，另两边有数量关系
技能储备 将此类题的经典情况总结常用结论，为学生提供解题技能，易有解题思路.
经典情况举例：在等腰△ABC中，已知底边 BC和一腰AC上的高，可解△ABC.
在△ABD中,已知一边一角(BD, ∠ADB),另两边(AB, AD)有数量关系.如图1, 如图
7.如图,将一张矩形纸片ABCD 沿对角线 AC 折叠,点 B 落在点 E 处,AE 交 DC 边于点 F,已知 ，则折叠后重叠部分的面积为 .
8.如图,在矩形OABC 中,AB=2,BC=6,将矩形OABC 折叠使得点 C 与点 A 重合,折痕交 BC于点 D,交 OA 于点 E,点 O 的对应点为点 F,折痕 DE 的长为 .
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB 上一点,且2∠BCD=∠A,BC=3,BD=1,则AC的长为 .
10.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,若 ,求 AC 的长.
类型4·已知两边一角
11.如图,在△ABC中,BC=4,AC=3,∠C=60°,则AB 的长为 .
12.如图,在△ABC中,tan∠ABC=2,BD⊥AC,AB= ,BD= 则 BC 的长为 .
13.如图,在△ABC中, D是BC的中点， 则 BC 的长为 .
【变式—趁热打铁练习透】
13.1 如图,在△ABC 中, CD 平分∠ACB,BC=CD=25,则 AC 的长为 .
14.如图,在△ABC中,CD⊥AB,∠ACB=45°,AD=5,BD=12,求CD 的长.
预备专题 解三角形
点拨过点A 作AD⊥BC 于点D,设BD=x,则
1.1. 点拨过点C 作CD⊥AB,交AB 的延长线于点D.设BD=x,则.
1.2. 详解 如图,延长AD 至点F,使 FD=AD,过点B作BE⊥AF 于点E,连接BF.
∴AF=2AD=2×4=8.
∵D是BC的中点,∴CD=BD.
又∠ADC=∠FDB,AD=FD,∴△ADC≌△FDB.
∴AC=FB=5.
设AE=x,则EF=8-x.
在 Rt△ABE 和 Rt△FBE 中,
∵根据勾股定理，
即
解得
∵在 Rt△BDE中,根据勾股定理、得
详解如图,过点 A 作AE∥BC,交 BD 的延长线于点E,过点 A 作AF⊥BE于点F.
∴∠CBD=∠E,△CBD∽△AED.∴BD=CD=CBE.
∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∴∠ABD=∠E.∴AB=AE=8.
∴BE=BD+ED=3+6=9.
∵AB=AE,AF⊥BE,∴BF=EF= ,∠AFD=90°.
在 Rt△ABF 和 Rt△ADF 中,∵根据勾股定理,AF = DF ,即
3.解:①6 点拨过点A 作AD⊥BC 于点 D.设 BD=x,则AD=x,CD=14-x. tanC=14=x=
②10 详解如图,过点C作CE⊥AB,交 BA 的延长线于点 E.
∴∠E=90°,∠EAC=∠B+∠ACB.
∵tan(∠B+∠ACB)=7,∴tan∠EAC=7.
∴在 Rt△AEC中, 即CE=7AE.
∵在 Rt△BEC 中,∠B=45°,BC=14,
∴在 Rt△AEC 中,根据勾股定理,得
②6详解①如图,过点A 作 AE⊥BC于 点E,交 BD 于点 F.∴∠AEB=∠AEC=90°.
∵BD⊥AC,∴∠BDC=∠BDA=90°.
∵∠BFE=∠AFD,
,即∠CBD=∠EAC.
在 Rt△ABE 中,
∴BE=AE=10
在 Rt△AEC中,
在 Rt△CBD 中,.
根据勾股定理，
在 Rt△ABD 中,根据勾股定理,得
②如图,由①,知AE=2EC,BE=AE.
在 Rt△AEC中,∵根据勾股定理,
由①,知BD=2CD.
同理，得(
5.①8 详解 ①如图1,过点 A 作AF⊥BD、交BD 的延长线于点 F,过点 C 作CE⊥BD 于点E.
∴∠CED=∠AFD=90°.
∵D 是AC 的中点,∴AD=CD.
又∠CDE=∠ADF,∴△CDE≌△ADF,
∴DE=DF,CE=AF.
∵在 Rt△ABF 中. 在 Rt△CBE中,
设AF=CE=4x,则 BE=7x、BF=8x、
∴EF=BF-BE=8x-7x=x.∴DE=DF= x.
∴AF=8,BF=16.
在 Rt△ABF 中,根据勾股定理,得
②如图2.过点C 作CN⊥AB 于点 N,过点 D 作DM⊥AB于点M.
∴∠AMD=∠DMB=∠CNB=∠ANC=90°.
∵D 是AC 的中点,
∴AN=2MN=2AM,CN=2DM.
在 Rt△BDM 中,
∵根据勾股定理，
在Rt△BCN 中.
在 Rt△ANC 中,根据勾股定理,得
6.解:如图,过点 D 分别作 DE⊥AC 于点 E,DF⊥BC 于点F,过点 C作CG⊥AB 于点G.
∴∠DEA=∠DFB=∠CGA=∠CGB=90°.
又CD平分∠BCA,∴DE=DF.
∵在 Rt△BDF 中, 在 Rt△ADE 中, 设DE=DF=12a,则BF=9a,AE=5a.
根据勾股定理，得 15a.∴15a=15.∴a=1.∴DE=DF=12,AE=5.
在 Rt△ADE 中,根据勾股定理,得
∴AB=AD+BD=13+15=28.
∵在 Rt△BCG 中, 在 Rt△ACG 中,tanA= =
设AG=b,则 解得b=10.
∴AG=10,CG=24.∴DG=AD-AG=13-10=3.
在 Rt△CDG 中,根据勾股定理,得
7. 点拨由折叠的性质，得∠CAB=∠CAE.由四边形ABCD 是矩形,得 BC=AD =2,AB∥CD,∠D =90°.∴∠CAB=∠DCA=∠CAE.∴AF=CF.在 Rt△ADC中由勾股定理可得CD=4.∴DF =4-CF =4-AF.在Rt△ADF 中由勾股定理可得DF，CF 的长，进而求出折叠后重叠部分△AFC 的面积.
点拨 由矩形 OABC 折叠,得∠CDE =∠ADE=∠AED,CD=AD.∴CD=AD=AE=6-BD.
在 Rt△ABD 中利用勾股定理可得 则 AD= 过点 D 作 DG⊥AE 于点G.易得四边形 DGAB为矩形.
在 Rt△DEG 中利用勾股定理可得DE 的长、
9.4 点拨由2∠BCD=∠A 可设∠BCD=α、则∠A=2α,由∠C=90°可得∠ACD =90°-α、∴∠ADC =90°-α=
10.解:如图、过点 B 作 BE⊥BC 于点 B,交AD 的延长线于点E、∴∠EBD=90°.
∵∠C=90°、∴∠C=∠EBD.∴BE∥AC.
∴∠E=∠CAD、△EBD∽△ACD.
即
∵AD 平分∠BAC、
∴∠BAD=∠CAD=∠E.∴AB=BE.
∵AB=2BD,∴BE=2BD.
即
在 Rt△ACD 中,
∵根据勾股定理，
11. 点拨过点 B 作BD⊥AC于点 D.根据题意可得CD=2, BD = 2 . ∴ AD = 1. ∴ 根 据 勾 股 定 理,得
详解如图,过点A 作AE⊥BC于点E,交 BD 于点F.∴∠BEF=∠AEC=90°.
在 Rt△ABE 中,
根据勾股定理，
解得BE=1(负值已舍).∴AE=2.
∵BD⊥AC,∴∠BDC=∠BDA=90°.
∴根据勾股定理，得
∵∠BEF=∠BDA,∠BFE=∠AFD,∴∠CBD=∠CAE.
又∠C=∠C,∴△BCD∽△ACE∴≌=BC=BD=v
设CD=x,则(
详解如图,延长AD 至点E,使AD=ED,过点A 作AF⊥BE,交 EB 的延长线于点 F,
∴∠F=90°,AE=2AD=
∵D 是BC 的中点,∴BD=CD.
又∠BDE=∠CDA,∴△BDE≌△CDA.
∴∠E=∠CAD,BE=CA.∴BE∥AC.
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠E=∠ABF,
∴在 Rt△ABF 中,
设AF=3a,则BF=4a.
根据勾股定理，得 5a=5.∴a=1.∴AF=3,BF=4.
∴EF=BF+BE=4+BE.
在Rt△AEF 中,∵根据勾股定理,
解得 BE=3(负值已舍).∴AC=3.
过点 C 作CG⊥EF 于点G.∴∠CGF=∠CGB=90°.
∵BE∥AC,∴∠GCA=∠CGB=90°.
∴四边形 FACG 是矩形.∴AF=CG=3,AC=FG=3.
∴BG=BF--FG=4-3=1.
在 Rt△CBG 中,根据勾股定理,得
13.1. 点拨延长 CD 至点 E,使 BE=BC,过点 E 作EF⊥CB,交 CB 的延长线于点 F、
同理13题,即可求出 BE=BC=25,EF=24,BF=7.
在△CEF 中,由勾股定理,得CE=40.
∴DE=15.由 BE∥AC,得△BDE∽△ADC.
即可求出AC 的长.
14.解:如图,以点 C 为顶点,作∠BCE=∠BCD、且 CE=CD,作∠ACF=∠ACD,且CF=CD,连接EB,FA 并延长相交于点G.
∵CD⊥AB,∴∠CDB=∠CDA=90°.
∵CE=CD,∠BCE=∠BCD,BC=BC,
∴△BCE≌△BCD.同理,得△ACF≌△ACD.
∴∠E=∠CDB=90°,EB = DB =12,∠F=∠CDA =90°,FA=DA=5,CE=CD=CF.
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°,∴∠ECF=∠FCD+∠ECD=2(∠ACD+∠BCD)=90°=∠F=∠E.又CE=CF,∴四边形 ECFG 是正方形.∴EG=FG、设正方形ECFG 的边长为a,则EG=FG=CE=CD=a、∴BG=EG--EB=a-12,AG=FG-FA=a-5.在 Rt△ABG 中,∵根据勾股定理、 解得a=20(负值已舍).∴CD=20.

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