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专题 3 最值问题
技能储备 将此类题的经典情况总结常用结论，为学生提供解题技能，易有解题思路.
线段或线段和差最值按原理分类：
1.定点到定点，线段最短(三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)；
2.定点到定线(动点在定线上运动)，垂线段最短；
3.定点A 到定圆C(动点 B 在定圆C上运动)最值，如图，AB 最短，AB 最长.
为了能形成定点到定点、定点到定线或定点到定圆的最值基本型，通常改变线段的位置(形成等线段或比例固定的线段)，一般都是改变线段端点的位置.
变换方式如下：
1.平移：适合双动点，且动点间的距离和方向不变；
2.对称：适合动点在定直线上移动；
3.旋转：适合动点由旋转(或等价于旋转)形成；
4.构造全等：适合双动点分别到不同定点的长度相等；
5.利用中位线(构位似图)；
6.利用直角三角形斜边中线等于斜边一半.
思路：从所求的线段或线段和差最值中确定定点、动点，判断最值基本类型或判断需要哪种变换方式转化成最值基本类型.
类型 1·定点到定点，线段最短
1.(构全等一定点到定点)2024辽宁模拟如图,在 ABCD中,AE 为BC边上的高,F,G分别为高AE和边 CD上的动点,且AF=DG,连接BF,AG.若AB=5,BC=4,∠ADC=60°,则 BF+AG的最小值为 .
思路引导 以此题为例分析，助明晰解题思路.
求BF+AG 的最小值，B，A是两个定点，F，G是两个动点，且AF=DG，符合双动点分别到不同定点的长度相等，故可构全等转换边位置求最值.由AF，BF 在△ABF 中，AG，DG 在△ADG 中，可构造其中一个三角形的全等三角形转换边的位置，使BF与AG 两个分开的线段形成共端点的线段，然后利用定点到定点，线段最短.
2.(构全等一定点到定点)2024抚顺模拟如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=2 ,E 是 BC 边上一动点,F 是对角线BD 上一动点,且BE=DF,连接DE,CF,则DE+CF 的最小值为 .
3.(平移一定点到定点)如图,四边形 ABCD 的两条对角线AC,BD 互相垂直,AC=4,BD=6,则AD+BC 的最小值为 .
4.(平移对称一定点到定点)|领跑改编|如图，在平面直角坐标系中，点A(--1，3)，B(2，4)，C(m,m),D(m+1,m+1),则AC+BD 的最小值为 .
5.(对称一定点到定点)|每领跑改编| 如图,在等腰Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,E 是AC的中点，D 是直线 BC 上一点，连接AD，把线段 AD 绕点 D 逆时针旋转90°得到线段 FD，连接CF,EF,则CF+EF 的最小值为 .
6.(对称一定点到定点)|每领跑改编| 如图,在矩形 ABCD 和矩形CEFG 中,AD=2AB=6,E 是 DC上一点,G 是BC上一点,CD=3CE,BC=2CG,M 是 BC 上一动点,连接AM,N 是 AM 的中点,连接ND,NF,则DN-FN 的最大值为 .
类型 2·定点到定线，垂线段最短
7.(旋转一定点到定线)2024沈阳模拟如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,P 是对角线 AC上的动点,连接DP,将直线DP 绕点 P 顺时针旋转使∠DPG=∠DAC,且过点 D 作DG⊥PG,连接CG,则CG 的最小值为 .
思路引导 以此题为例分析，助明晰解题思路.
求 CG 的最小值，C为定点，G为动点，且点G 由旋转形成的，此时可借助旋转相似或旋转全等转移CG 进而求最小值.由∠DPG=∠DAC,四边形ABCD 是矩形,可连接BD,BP 得到△DGP∽ ,进而得到 ∽△GDC,∴BP= CG,再根据“垂线段最短”求得 BP 的最小值即可.
8.(旋转一定点到定线) 如图,C是直线AB 外一点,CD⊥AB,CD=1,E 是直线AB 上任意一点，连接CE，将线段CE 绕点 E 顺时针旋转90°，得到线段EF，连接DF，则DF 的最小值为 .
9.(对称一定点到定线)如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,D是 BC 上一动点,E 是AC上一动点,连接AD,DE,则AD+DE 的最小值为 .
10.(构全等一定点到定线) 如图,在△ABC 中,BC=6,∠ACB=120°,E是AC 上一动点,D 是AB 上一动点,且AE=BD,连接CD,过点E 作EF⊥AB 于点F,则EF+CD 的最小值为 .
11.(中位线一定点到定线)如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D 是AC 延长线上的一点,CD=2,M 是边 BC 上的一点(与点 B,C 不重合),以CD,CM 为邻边作□CMND,连接AN 并取AN 的中点 P,连接 PM,则 PM 的最小值为 .
类型3·定点到定圆最值
12.(隐圆、对称一定点到定圆)2024丹东二模如图，在边长为6的正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 上的两个动点(不与端点重合)，AE，BF 相交于点O，若线段AE 与 BF 始终保持垂直，M是线段CD上的动点，则 BM+OM 的最小值为 .
思路引导 以此题为例分析，助明晰解题思路.
∠AOB 始终为直角，其所对边AB 为定边，取AB 的中点G(如图1)，则 为定值，所以点O在以点G为圆心，AB 的长为半径的圆上运动. M是CD上一动点，作定点B 关于CD 的对称点H，则BM= ，所以BM+OM 的最小值转化为点 到定圆G 的最小值.
13.(隐圆、对称一定点到定圆)如图，四边形ABCD 为矩形， ,P 为边AB 上一点.以DP 为折痕将△DAP 翻折,点A 的对应点为点A',连接AA'交PD 于点M,Q为线段BC上一点,连接AQ,MQ,则AQ+MQ 的最小值为 .
14.(隐圆一定点到定圆)2022抚顺本溪辽阳中考如图，正方形ABCD 的边长为10，G是边 CD 的中点，E 是边 AD上一动点,连接BE,将△ABE 沿 BE 翻折得到△FBE,连接GF,当GF 最小时,AE 的长为 .
15.(旋转一定点到定圆)2024大连模拟如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=2,D 为线段AB 的中点，将线段BC 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段 BE，连接DE，则DE 的最大值为 .
详解如图,过点 D 作DM⊥AD,取DM=AB=5,连接AM. GM.∴∠ADM=90°.
∵∠ADC=60°,∴∠MDG=∠ADM-∠ADC=30°.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC=4,AB=CD,∠ABE=∠ADC=60°.
∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.
又AB=DM,AF=DG,∴△ABF≌△DMG.
∴BF=MG.∴BF+AG=MG+AG.
根据“两点之间,线段最短”,得 MG+AG≥AM.
∴BF+AG 的最小值为线段AM 的长.
在 Rt△AMD 中,根据勾股定理,得
∴BF+AG 的最小值为
2.4 详解如图,延长DA 到点G,使DG=DB,连接GF,CG.
∵四边形 ABCD 是矩形,
:∠GDC=90°.∴∠GDF=∠DBE.
又DF=BE,DG=BD,∴△DGF≌△BDE.∴GF=DE.
∴DE+CF=GF+CF.
根据“两点之间,线段最短”,得GF+CF≥CG.
∴DE+CF 的最小值为线段CG 的长.
在 Rt△ABD 中,根据勾股定理,得
在 Rt△CGD 中,根据勾股定理,得
∴DE+CF 的最小值为4.
详解如图,过点 C 作CE∥BD,使CE=BD=6,连接DE,AE,设AC 交BD 于点O.
∴四边形 BCED 为平行四边形.
∴BC=DE.∴AD+BC=AD+DE.
∵AC⊥BD,∴∠AOD=90°.
∵CE∥BD,∴∠ACE=90°.
在 Rt△AEC 中,根据勾股定理,得
根据“两点之间,线段最短”,得AD+DE≥AE.
∴AD+DE 的最小值为2
∴AD+BC 的最小值为:
4.2 详解如图，将线段DB 平移，使点 D 与点C 重合，设点B 平移后的对应点为点B'.
∴B'C=BD. ∴AC+BD=AC+B'C.
∵C(m,m),D(m+1,m+1),B(2,4),∴B'(1,3).
设CD 所在直线的函数解析式为y=kx+b.
把点C(m,m),D(m+1,m+1)代入 y= kx+b,得
解得
∴CD 所在直线的函数解析式为y=x、
∴点C 在直线y=x上运动.
作点 A 关于直线CD 的对称点A', 连接 CA',B'A'.
根据“两点之间，线段最短”，得
即AC+BD 的最小值为A'B'的长.
过点 A 作AE⊥x轴于点F,交直线 CD 于点E,连接A'E、
∴∠AFO=90°,AE=A'E,xE=x∧=-1.
把x=-1代入y=x,得y=-1. ∴E(-1、-1)、
∴AE=4=A'E.
过点 C 作CH⊥x轴于点 H.∴∠CHO=90°.
∵C(m,m),∴OH=CH=m. ∴∠COH=45°.
∴∠FOE=45°.∴∠FEO=45°.
根据对称性,得△AEC≌△A'EC.
∴ ∠AEA'=∠AFO=90°.∴A'E∥x轴、
∴AC+BD 的最小值为2
详解 如图1,连接 BF,AF.
根据旋转的性质,得∠ADF=90°,AD=DF.
∵△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴∠ACD=90°.∴∠BAC=∠DAF=45°.
∴AFD=ABC.∴△ABF∽△ACD.
∴∠ABF=∠ACD=90°.∴∠CBF=45°.
∴点 F 在AB 的垂线(垂足为 B)上运动.
∵在线段CF,EF 中,E,C 为定点,
∴如图2，设AB 的垂线为l，作点 C 关于直线l的对称点C',连接EC',BC'.
∴CF=C'F.∴CF+EF=C'F+EF.
根据“两点之间，线段最短”，得(
∵E 是AC 的中点,
过点 E 作EG⊥BC'交C'B 的延长线于点G.∴∠G=90°.
∵点C,C'关于直线l 对称,
∴四边形GBCE 是矩形.
∴CE=GB=2,GE=BC=4.∴GC'=GB+BC'=6.
在 Rt△EC'G 中,根据勾股定理,得 ∴CF+EF 的最小值为
6、 详解 如图,分别取AB,CD 的中点 H,K,连接 HN,HK,CF,CN.
∵N 是AM 的中点,∴HN 是△ABM 的中位线.
∴HN∥BM.
∵四边形ABCD 是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,∠B=90°.
∴HB=CK,HB∥CK.∴四边形 HBCK 是矩形.
∴HK∥BC.∴H,N,K 三点共线.
∵∠HKC=90°=∠HKD,DK=CK,∴HK 垂直平分CD.
∴DN=CN.
∵CN-FN≤CF,
∴当DN-FN=CN-FN=CF时,DN-FN 有最大值.
∵AD=2AB=6,BC=2CG,AD=BC,
∴CD≌AB=3,CG=3.
=CD=3CE,∴CE=1.
∵四边形CEFG 是矩形,∴EF=CG=3,∠FEC=90°.
在 Rt△CFE 中,根据勾股定理,得
∴DN-FN 的最大值为
7. 思路引导△DCB;△PDB;
详解如图,连接BP,BD,BD 交AC 于点E.
∵四边形ABCD 是矩形,
∠ABC=∠DCB=90°,AC=BD.
∴BE=CE.∴∠DAC=∠ACB=∠DBC.
在 Rt△ACD 中,根据勾股定理,得
∵∠DPG=∠DAC,∴∠DPG=∠DBC.
∵DG⊥PG,∴∠DGP=∠DCB=90°.∴△DGP∽△DCB.
∴∠PDB=∠GDC.∴△PDB∽△GDC.
∴求出 BP 的最小值即可得到CG 的最小值.
根据“垂线段最短”,得当 BP⊥AC 时,BP 最短.
8. ②解题如图,在DB上取一点G,使DG=CD,连接CG,CF,FG.
∵CD⊥AB,CD=1,∴CD=DG=1,∠CDE=∠CDG=90°.
由旋转的性质,得CE=EF,∠CEF=90°.
∴∠ECF=∠EFC=45°.
∴△ECD∽△FCG.∴∠CDE=∠CGF=90°.
∴点 F 在CG 的垂线l(垂足为G)上运动,∠DGF=45°.根据“垂线段最短”，得 DF⊥l时，DF 取得最小值.过点 D 作DH⊥l于点 H.∴∠DHG=90°.
∴∠GDH=∠DGH=45°.
DF的最小值为
9. 详解如图，作点 A 关于BC 的对称点A'，连接 AA'交BC于点 H,过点 A'作A'F⊥AC 于点F,连接A'D.
∴AD=A'D,∠AFA'=90°,BC 垂直平分AA'.
∴AD+DE=A'D+DE,∠AHC=90°,AH=A'H.
根据“垂线段最短”，得A'D+DE 的最小值为线段A'F的长.
∵AB=AC=5,BC=8,∴BH=CH=4.
在 Rt△ACH 中,根据勾股定理,得
∵在 Rt△AA'F 中,
∴AD+DE 的最小值为
10.3 详解如图,过点 B 作 BG∥AC,过点 D 作 DH⊥BG于点 H,过点 C 作CK⊥BG 于点 K.
∴∠A=∠ABG,∠DHB=∠CKB=90°.
∵EF⊥AB,∴∠EFA=∠DHB=90°.
又AE=BD,∠A=∠ABG,∴△EFA≌△DHB.
∴EF=DH.∴EF+CD=DH+CD.
根据“垂线段最短”，得DH+CD 的最小值为线段CK 的长.
∵BG∥AC,∴∠ACB+∠CBK=180°.
∴∠CBK=60°.∴CK=BC· sin 60°=3
∴DH+CD,即 EF+CD 的最小值是3
11. 详解如图，连接CN，取 CN 的中点E，连接 PE，过点C作CF⊥DN 于点 F.
∵P 为AN 的中点,∴PE 为△ANC 的中位线.
∵四边形CMND 是平行四边形，
∴CM∥DN,CD∥MN,CD=MN=2.
∴PE∥MN,PE=MN.
∴四边形 MNEP 为平行四边形.
∴PM 的最小值为 NC 最小值的一半.
根据“垂线段最短”，得NC 的最小值为 FC 的长.
∴PM 的最小值为 FC 长的一半.
∵∠BAC=90°,AB=AC=4,∴∠ACB=45°.
∵CM∥DN,∴∠ACB=∠D=45°.
∴PM 的最小值为
思路引导HM；H
详解∵四边形 ABCD 为正方形、
∴∠ABC=90°,AB=BC=6.
∵AE 与 BF 始终垂直,即∠AOB=90°、其对边 AB 为定边,∴取AB 的中点G,连接OG、如图.
∴点O在以点G 为圆心， AB 的长为半径的圆上运动.作点 B 关于CD 的对称点H,连接MH,GH,OH.
∴BM=HM,BC=HC=6.
∴BM+OM 的最小值为HM+OM 的最小值,BH=12.
在 Rt△BGH 中,根据勾股定理,得
当点 H ,M,O共线时,HM+OM 最小,最小值为OH 的长.
又OH≥GH-OG,∴OH≥3 -3.
∴OH 的最小值为
∴HM+OM,即BM+OM 的最小值为:
13.4 详解如图，作点A 关于BC 的对称点T，取AD 的中点R,连接BT,QT,RT,RM.
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠RAT=90°.
在 Rt△RAT中，根据勾股定理，得
∵点A,A'关于DP 对称,∴AA'⊥DP.∴∠AMD=90°.
∴点 M 在以点 R 为圆心. 的长为半径的圆上运动.
∵AQ=TQ,∴AQ+MQ=TQ+MQ.
当 M,Q,T三点共线时,AQ+MQ 最小,最小值为 MT 的长.
又MT≥RT-RM,∴MT≥4
∴MT 的最小值为4 ,即AQ+MQ的最小值为4
详解∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠C=∠A=90°,BC=CD=10.
∵G 是边CD 的中点,∴CG=DG=5.
如图1,连接 BG.
在 Rt△BGC 中,根据勾股定理,得
根据翻折的性质，得BF=BA=10,AE=FE.
∴点 F 在以点B 为圆心，BF 长为半径的圆上运动.
∵GF≥BG-BF,∴GF≥5 -10.
∴GF 的最小值为
此时G,F,B 三点共线,如图2,连接EG.
设AE=x,则DE=10-x,EF=x.
在 Rt△DEG 中,根据勾股定理,得
在 Rt△EFG 中,根据勾股定理,得
解得
∴当GF 最小时,AE 的长为
15. +1 详解如图,过点 B 作 BP⊥AB 于点 B,使 BP=BD,连接 PD,PE.∴∠DBP=90°.
根据旋转的性质,得BC=BE,∠CBE=90°.
∴∠CBD=∠EBP.
又BD=BP,BC=BE,∴△CBD≌△EBP.∴CD=EP.
∵∠ACB=90°,AB=2,D 为线段AB 的中点,
在 Rt△BDP 中,根据勾股定理,得
∵DP+PE≥DE,∴DE≤ +1.
∴DE 的最大值为

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