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专题2 与几何相关的分类讨论问题
类型1·点的位置不确定
1.2023沈阳中考如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点 D 在直线AC 上,AD=1,过点 D 作 DE∥AB 交直线 BC 于点 E,连接BD,O是线段 BD 的中点,连接OE,则OE 的长为 .
思路引导 将此类题目的分类讨论核心思路点指出，并以此题为例应用分析，助明晰解题思路.
由点 D 在直线AC上,AD=1,分为点 D 在AC边上和点D 在CA的延长线上两种情况：
(1)当点 D 在AC边上时,如图,OE= ;
(2)当点 D 在CA 的延长线上时，如图1(请在虚线框中画出)，此时OE= .
2.2024大连模拟在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5,点M 在AD 边所在的直线上,且 DM=1,将矩形纸片ABCD 折叠,使点 B 与点 M 重合,折痕与AD,BC 分别交于点E,F,则 EF 的长为 .
3.如图,将矩形纸片ABCD 折叠,折痕为MN,点M,N 分别在边AD,BC上,点C,D 的对应点分别为点 E,F,且点 F 在矩形的内部,MF 的延长线交边 BC 于点 G,EF 交边 BC 于点 H,且EN=2,AB=4,当H 为GN 的三等分点时,MD 的长为 .
4.如图,四边形ABCO 是菱形,过点O作OH⊥AB 于点 H,OH 与AC 相交于点M,连接BM，动点 P 从点A 出发，沿AB→BC 方向以每秒2个单位长度的速度向终点C 匀速运动,已知OC=5,AH=3,当△PMB 的面积为 时，点 P 运动的时间为 s.
5.如图,在菱形 ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,对角线AC,BD 相交于点O.点 E 从点 D 出发沿 DA 向终点 A 运动,点 F 在线段AC上运动,且DE=2OF,当 时,DE 的长为 .
6.2023辽宁模拟如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,AC=3,以AC 为边作正方形ACDE(点A,C,D,E 按逆时针方向排列),BC 和ED的延长线相交于点F,点 P 从点 B 出发沿BF 向点F 运动，到达点 F 时停止运动，点Q 在线段CD 上运动，且始终满足 连接 EP,PQ,QE,当△EPQ的面积为5时,CP 的长为 .
7.如图,在△OAB 和△OCD 中,∠A=∠C=90°,OB=OD,∠AOB=45°,∠COD=30°,OA=3,点M 在线段AB上,且AM=2,当△OCD有一条边经过点 M 时,线段AB 在△OCD 内部的长为 .
类型 2·等腰三角形顶角不确定
8.2024鞍山模拟如图,正方形ABCD 和正方形EBGF 的边长分别为7和3,点E,G分别在边AB,BC上,点 H 在GF,FE 两边上运动,连接DH,CH,当△DHC 为等腰三角形时,FH 的长为
思路引导 将此类题目的分类讨论核心思路点指出，并以此题为例应用分析，助明晰解题思路，
分别以三角形的三个内角为等腰三角形顶角分类讨论.
(1)当以∠HDC 为顶角时,DH=DC.以点D 为圆心,DC长为半径作弧,分别与EF,FG 相交找到点H 的位置.当交点H在FG上时,如图1,FH= ;当交点H 在EF 上时,如图2(请画出),FH= ;
(2)当以∠DCH 为顶角时，CH=CD，以点 为圆心，CD 长为半径作弧与EF 相交找到点H 的位置.如图3(请画出),FH= ;
(3)当以 为顶角时,点H 在CD 的垂直平分线MN上,如图4,此时CM=DM= ,与“点 H 在GF，FE 两边上运动”不符，此情况舍去.
画草图
9.2024阜新一模如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,O为AB的中点,点 P 在射线OC 上,连接AP,BP,当△ABP 为等腰三角形时,线段 OP的长为 .
10.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=30°,射线 CP 从射线 CA 开始绕点 C 逆时针旋转角α 与射线AB 相交于点 D,将△ACD 沿射线CP 翻折至△A'CD 处,射线CA'与射线AB 相交于点E.若△A'DE 是等腰三角形，则旋转角α的度数为 .
11.2024大连模拟如图，正方形的边长为 ，E 是边AB的中点，F 是边AD上不与点A，D 重合的一个动点,将∠A 沿直线EF 折叠,使点A 落在点A′处.连接A′B,A′C,当△A′BC 为等腰三角形时,AF 的长为 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=1,AB=2,D为AB 边上一动点,F 为AC 边上一动点,连接BD、已知 当△ADF 是等腰三角形时，AD 的长为 .
13.2023抚顺三模如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABOC 的边 OB,OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,点 A 的坐标为(8,6),点 P 在矩形 ABOC 的内部,点 E 在 BO 边上,且满足△PBE∽△CBO,当△APC 是等腰三角形时,点 P 的坐标为 .
14.|*领跑改编|如图,AB⊥直线l于点 B,点C 在直线l上(点C 在点 B 的右侧),连接AC,将线段CA 绕点C 顺时针旋转90°,得到线段 CD,连接AD,E 是AD 的中点,连接 BE, 当△ABE 是等腰三角形时，BC 的长为 .
类型3·直角顶点不确定
15.2024沈阳一模如图，正方形ABCD 的边长为5，将正方形ABCD 绕点A 在平面内旋转得到正方形 AEFG,连接DF,DG,当△DFG为直角三角形时,DF 的长为 .
思路引导 将此类题目的分类讨论核心思路点指出，并以此题为例应用分析，助明晰解题思路.
分别以三角形的三个顶点为直角顶点分类讨论.
(1)当以点 F 为直角顶点时,由∠DFG=90°,∠EFG=90°,得D,E,F 三点共线,如图1,此时DF= ;
(2)当以点G 为直角顶点时,由∠DGF=90°,∠AGF=90°,得D,A,G 三点共线,如图2(请画出),此时DF= ;
(3)当以点 D 为直角顶点时,如图3(请画出),此时DF= .(提示:取FG的中点M,连接AM,DM)
画草图·
16.2024大连模拟在△ABC中,∠C=90°,M为AB 的中点,点 N 在边 BC上,且CN=CA=1.当△BMN 是直角三角形时,BC 的长为 .
17如图,直线y=3x+3与y轴、x 轴分别相交于点A,B,在直线y=-x+1上有一点C，其横坐标为m(m>0)，若△ABC 是直角三角形，则点C 的坐标为 .
18.如图,在 ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB 绕点A 逆时针旋转角( 得到AP,连接PC,PD.当△PCD 为直角三角形时,旋转角α的度数为 .
19.2023葫芦岛一模如图,在 ABCD中,AB=6,∠B=60°,点 E 在射线 BC 上运动,连接AE,将△ABE 沿AE 翻折得到△AFE,EF 交射线AD 于点G,若△FAG 是直角三角形,则 BE 的长为 .
20.⑨2023沈阳三模如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,P 为斜边AB 上一动点(点P 不与点A,B 重合),过点 P 作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为D,E,连接DE,PC相交于点 Q,连接AQ,当△APQ为直角三角形时,AP 的长为 .
类型 4·全等/相似对应关系不确定
21.如图,在矩形 ABCD 中,E 为AB 的中点,F 为射线AD 上一动点, △A'EF 与△AEF 关于EF 所在的直线对称,连接 AC,分别交 EA',EF 于点 M,N.已知 若△EMN 与△EAF 相似,则AF 的长为 .
思路引导 将此类题目的分类讨论核心思路点指出，并以此题为例应用分析，助明晰解题思路.
当题目表述为“△EMN∽(或≌)△EAF”时，对应关系唯一； 当题目表述为“△EMN 与△EAF 相似(或全等)”时，需分类讨论对应关系.
(1)当△EMN∽△EAF 时,如图,AF 的长为 ;
(2)当△EMN∽△EFA 时,如图1(请画出),AF的长为 .
专题2 与几何相关的分类讨论问题
1. 或. 思路引导(1)
(2)如图1所示.
详解当点 D 在 AC 边上时、如图2、连接 OC、过点O 作ON⊥BC 于点 N.∴∠ONC=∠ONE=90°、
∵∠BCD=90°,AC=BC=3、∴∠A=∠ABC=45°、
∵AD=1,∴CD=AC-AD=3-1=2、在Rt△BCD 中，根据勾股定理、得
∵O 是线段BD 的中点、∠BCD=90°,
∵AB∥DE,∴∠CDE=∠A=∠ABC=∠CED=45°.
∴CE=CD=2.∴NE=CE-CN=2- =
在 Rt△ONE 中,根据勾股定理,得
当点 D 在CA 的延长线上时，如图3，连接OC，过点 O 作ON⊥BC 于点 N.
∴CD=AD+AC=1+3=4.
在 Rt△BCD 中,根据勾股定理,得
∵O是线段BD 的中点,∠BCD=90°,
∵AB∥DE,∴∠CDE=∠CAB=∠ABC=∠CED=45°.
∴CE=CD=4.∴NE=CE-CN=4- =
在 Rt△ONE 中,根据勾股定理,得
综上所述，OE 的长为
2. 或 详解当点 M 在点 D 的右侧时，如图1，设 BM，EF 相交于点O.
根据折叠的性质,得OM=OB,EF⊥BM.
∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∠A=90°.
∴∠M=∠OBF,∠MEO=∠BFO.
又OM=OB,∴△OEM≌△OFB.∴OE=OF.
∵AD=BC=5,DM=1,∴AM=AD+DM=6.
在Rt△ABM中，根据勾股定理，得
当点 M 在点 D 的左侧时,如图2,设 BM,EF 相交于点O.同理可得
综上所述，EF 的长为
3.4或 详解当 时,GH=2HN,如图1,过点G作GP⊥AD 于点 P.∴∠APG=∠DPG=90°.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AD∥BC.
∴四边形 ABGP 和四边形 PGCD 均是矩形,∠DMN=∠MNG.
∴PG=AB=4,PD=CG.
根据折叠的性质,得 MF=MD,CN=EN,∠E=∠C=∠D=∠MFE=90°,∠DMN=∠GMN.
∴∠GFH=90°,∠GMN=∠MNG.∴MG=GN.
∵∠GFH=∠E=90°,∠FHG=∠EHN,
设MD=MF=x,则MG=GN=x+4.
∴CG=GN+CN=x+6=MD+PM,∴PM=6.
在 Rt△PMG 中,根据勾股定理,(
解得 (负值已舍).
当 时,HN=2GH,如图2,过点G 作GP⊥AD于点 P.
同理可得 MG=GN,△FGH∽△ENH,PG=AB=4,PD=CG.
设MD=MF=x.∴MG=GN=x+1、
∴CG=GN+CN=x+3=MD+PM、∴PM=3.
在 Rt△PMG 中、根据勾股定理、
解得x=4(负值已舍).∴MD=4、
综上所述、MD 的长为4 或
4. 或 等解如图1、过点 A 作AG⊥OC 交CO 的延长线于点G.∴∠G=90°.
∵四边形ABCO 是菱形,OH⊥AB,
∴AO=OC=AB=BC=5,∠AHO=90°,AB∥OC.
∴∠HOG=90°.∴四边形 AGOH 是矩形.
∴AG=HO,AH=GO=3.∴CG=GO+OC=8.
在Rt△AHO 中，根据勾股定理，得
∴AG=HO=4.
∵AB∥OC,∴∠HAM=∠ACG.
又
设点 P 运动的时间为 ts，
当点 P 在AB 上运动时,如图2,此时AP=2t.
∴PB=5-2t.
解得
当点 P 在BC上运动时,如图3,此时AP+PB=2t.
∴PB=2t-5.
∵四边形ABCD 是菱形,∴∠MCO=∠MCB.
又OC=BC,CM=CM,∴△OMC≌△BMC.
∴∠MOC=∠MBC=90°,BM=OM=
解得
综上所述，点P 运动的时间为-或
或· 或4评解∵四边形 ABCD 是菱形,AB=6, ∠ABC=60°,
∴∠ABD=30°,∠AOB =90°,AB=AD=6,AO=CO,BO=DO.
设OF=x,则 DE=2x.
当点 F 在AO上时,如图 1.
此时AF=AO-OF=3-x,AE=AD-DE=6-2x.
又∠FAE=∠OAD,∴△FAE∽△OAD.
即 解得
当点 F 在OC 上时,如图2,过点 E 作EG⊥AC 于点G.
∴∠AGE=90°.
∵四边形ABCD 是菱形,.
∴∠CAD=60°,∴∠AEG=30°.
∴OG=AO-AG=3-(3-x)=x,
∴GF=OG+OF=2x.
在 Rt△GEF 中,根据勾股定理,
解得 或DE=4.
综上所述，DE 的长为 或 或4.
6.
详解∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ACB=45°.
①当点 P 在线段BC 上运动时,如图1,过点 P 作PH⊥EF于点 H,过点 Q 作QM⊥CF 于点M.
∵四边形ACDE 为正方形，
∴AC=CD=DE=AE=3,∠ACD=∠CDE=90°.
∴∠DCF=180°-∠ACB-∠ACD=45°,∠CDF=90°.
∴∠F=45°=∠DCF、∴CD=DF=3、
∵在 Rt△PHF 中,
∵DQ=x,CD=3,∴CQ=3-x.
∵在 Rt△CQM 中,
∵DE=3,DF=3,∴EF=DE+DF=6.
解得x=1(负值已舍).
②当点 P 在线段CF 上运动，且点Q 在PE 右侧时，如图2，连接EC,过点 Q作QM⊥CF 于点M,
∵四边形 ACDE 为正方形,∴∠ECD =∠ACE =45°,
∠EAC=90°,AC=AE=3.∴EC=△CAC4 =3
由①,知∠DCF=45°.∴∠ECF=90°.
由上种情况可知：
S△EPQ=5,
解得x均为负值，此种情况舍去.
③当点 P 在线段CF 上运动,且点 Q 在PE 左侧时,如图3,连接EC,过点 Q 作QN⊥EC 于点 N,QM⊥CF 于点M.
∴∠QNC=∠QMC=90°.
由上述情况可知，QM= (3-x),EC=3 ,∠ECD=∠DCF=45°,S△ECP=3x,S△PCQ=π/2(3-x).
解得 (负值已舍).
综上所述，CP 的长为 或：
或 详解如图1，连接OM.
∵∠A=90°,∠AOB=45°,∴∠B=45°=∠AOB.
在 Rt△OAM 中,根据勾股定理,得
∵∠C=90°,∠COD=30°,OD=OB=3
∴CD 边不可能经过点M.
∴此种情况舍去.
当OC 边经过点M 时，如图2，部分放大如图3，设 CD 交AB 于点E、
∵∠1=∠EMC,∠A=∠C=90°,∴△AOM∽△CEM.
作FH⊥OM 于点 H.
∴∠FHM=∠FHO=90°.设 FM=x.
在 Rt△FMH 中,根据勾股定理,得
∵∠COD=30°,即∠FOH=30°,
∴在 Rt△OFH 中,
解得
综上所述，线段 AB 在△OCD 内的部分长度为 或
或
思路引导( ；如图1所示..
(2)C;如图2所示.
详解当以∠HDC 为顶角时,DH=DC=7,当点 H 在FG上时,如图3,延长GF 交AD 于点 N.
∵四边形 ABCD 和四边形EBGF 均为正方形,
∴∠BGH=∠NGC=∠BCD=∠NDC=90°,AD∥BC.
∴四边形 NGCD 是矩形,∠GND=90°.
∴ND=GC=BC-BG=7-3=4.
在Rt△NHD 中，根据勾股定理，得 同理可得四边形 AEFN 是矩形.
∴NF=AE=AB-BE=7-3=4.
当以∠HDC 为顶角时,DH=DC=7,当点 H 在EF 上时,如图4,过点 H 作 NM∥AB,分别交AD,BC于点 N,M、同理可得四边形 AEHN 是矩形.
∴AE=NH=AB-BE=4,AN=EH,∠HND=90°.
在 Rt△HND 中,根据勾股定理,得
当以∠DCH 为顶角时,CH=CD=7,如图5,过点 H 作MH∥AB,交 BC 于点 M.
同理可得四边形EBMH 是矩形.
∴BE=MH=3,BM=EH,∠HMC=90°.
在 Rt△HMC 中,根据勾股定理,得
∴BM=EH=BC-MC=7-2
当以∠DHC 为顶角时,点 H 在CD 的垂直平分线MN 上,如图6，此时 与“点 H 在GF,FE 两边上运动”不符，此情况舍去.
综上所述，FH 的长为 或2 -4、
9.2 +2或: 详解∵∠ACB=90°,∠A=60°,∴∠ABC=30°.
∵AC=4,∴AB=2AC=8.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
∵O为AB 的中点,
又∠A=60°,∴△AOC 为等边三角形.
如图,当以∠BAP 为顶角时,AB=AP,点 P 记作点 P ,即
过点 A 作AD⊥OC 于点D.∴∠ADO=90°.
在 Rt△AOD 中,根据勾股定理,得.
在 Rt△ADP 中,根据勾股定理,得
当以∠ABP 为顶角时,AB=BP,点 P 记作点P ,
即
过点 B 作 BE⊥OC 交CO 的延长线于点 E.∴∠E=90°.
∵∠AOC=∠BOE=60°,∴∠EBO=30°.
在 Rt△BOE 中,根据勾股定理,得
在 Rt△BEP 中,根据勾股定理,得
综上所述，线段OP 的长为2 +2或2
10.22.5°或45°详解由折叠的性质,知∠A=∠A'=30°,∠ACP=∠A'CP=α,∠ADC=∠A'DC.
当以∠A'DE 为顶角时,A'D= DE,∠DEA'=∠A'=30°,如图1.
由三角形的外角性质,得∠DEA'=∠A +∠ACE,即30°=30°+2α.解得α=0°(不合题意，舍去).
当以∠A'为顶角时,A'D=A'E,∠DEA'=∠EDA',如图2.
由三角形的外角性质,得∠DEA'=∠A +∠ACE,即 解得α=22.5°.
当以∠DEA'为顶角时， 如图3.
由三角形的外角性质,得∠DEA'=∠A +∠ACE,即120°=30°+2α.解得α=45°.
综上所述，旋转角α的度数为22.5°或45°.
11. 或
详解∵正方形 ABCD 的边长为 ,E 是边AB 的中点,
∴∠A=∠D=90°,AB=BC=CD= ,BE=AE=π/2.
由折叠的性质，得
当以∠BCA'为顶角时， 如图1,连接CE.
∵CE=CE,BC=A'C,BE=A'E,
∴△BCE≌△A'CE.∴∠CBE=∠CA'E=90°.
∴C,A',F 三点共线.
设AF=x,则 在Rt△DFC 中,根据勾股定理,
解得
如图2，当F为AD的中点时，
由折叠的性质，得
又∠A=90°,∴四边形A'EAF 是正方形.
,即 A'F 垂直平分AD.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD∥BC.∴A'F 垂直平分BC.
，此时△A'BC 为等腰三角形， 综上所述，AF 的长为
12. 或
详解在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得
设AD=x.
当以∠ADF 为顶角时,AD = DF,如图 1,过点 D 作DN⊥AC 于点N.
又∠NAD=∠BAC,∴△NAD∽△BAC.
R
解得
当以∠A 为顶角时,AD=AF,如图
解得
当以∠AFD 为顶角时,FD=AF,如图3,过点 F 作FN⊥AB 于点 N.
∵∠ANF=∠B=90°,∠NAF=∠BAC,∴△NAF∽△BAC.
即
解得
综上所述，AD 的长为 或 或5
13.(4,3)或
详解∵△PBE∽△CBO,
∴∠BEP=∠BOC=90°,∠PBE=∠CBO、
∴PE∥OC,点 P 在线段BC上.
∵点A 的坐标为(8,6),∴OB=8,OC=6.
在 Rt△BCO中，根据勾股定理，得
如图1,当以∠APC 为顶角时,AP=CP,过点 P 作 PF⊥
AC于点F.
∵四边形 ABOC 是矩形,
∴∠OCF=∠COE=90°,AC=OB=8.
∴∠OCF+∠CFP=180°.
∴PF∥OC.∴点 F,P,E 共线.
∴四边形 COEF 是矩形.
∴点 P 的坐标为(4,3).
如图2,当以∠ACP 为顶角时,CA=CP=8.∴BP=2.
∴点 P 的坐标为
综上所述，点P 的坐标为((4,3)或
14.3 或( 详解如图1,当以∠BAE 为顶角时,AB=
由旋转的性质,得CA=CD,∠ACD=90°.
∵E 是AD 的中点,∵
∵AB⊥l,∴∠ABC=∠AEC=90°.
又AC=AC,AB=AE,∴Rt△ABC≌Rt△AEC.
如图2，当以∠ABE 为顶角时， 过点 D 作DG⊥BC 于点G,过点 E 作EH⊥BC 于点 H,连接 BD 交EH 于点I.∴∠BHE=∠EHG=∠ABC=∠CGD=90°.
∵∠ACD=90°,
∴∠BAC=∠GCD.
又∠ABC=∠CGD,AC=CD,∴△ABC≌△CGD.
∴BC=GD,AB=CG=3
设BC=GD=x.∴BG=3 +x.
∵∠BHE=∠EHG=∠ABC=∠CGD=90°,
∴AB∥EH∥DG.
∴△EID∽△ABD,△BHI∽△BGD.
即
解得.
当以∠AEB 为顶角时,EA=EB,此时点 C 与点 B 重合,不符合题意，舍去.
综上所述，BC 的长为3 或(
15.5 或 或5 思路引导(1)5
(2)如图1所示.5
(3)如图2所示.
详解当以点 F 为直角顶点时,∠GFD=90°,如图 3.
∵四边形AEFG 是正方形,∴∠GFE=90°.
∴D,E,F 三点共线.∴DF=EF=5.
当以点G 为直角顶点时,∠FGD=90°,如图1.
∵四边形 AEFG 是正方形,∴∠FGA=90°.
∴D,A,G三点共线.∴DG=AD+AG=10.
在 Rt△DFG 中,根据勾股定理,得
当以点 D 为直角顶点时,∠FDG=90°,如图2,取 FG 的中点M,连接AM,DM.
由旋转的性质,得GA=DA.∴MA 垂直平分DG.
∴∠DGA+∠GAM=90°.
∵四边形 AEFG 是正方形,
∴∠GAM=∠DGM.
在 Rt△AMG 中,根据勾股定理,得
综上所述，DF 的长5 或 或5
16.2 或、 详解∵M为AB的中点，
∵CA∴当△BMN 是直角三角时，以点 M 或点 N 为直角顶点.
①以点 N 为直角顶点时， ,如图 1.又∠B=∠B、∴△ABC∽△MBN.
②以点 M 为直角顶点时， ，如图2，连接AN.
由勾股定理，得.
∵NM⊥AB,M 为AB 的中点,
∴MN 垂直平分AB.∴BN=AN=
综上所述，BC 的长为2或、
或(2,-1)详解在 y=3x+3中,令y=0,得x=-1;令x=0,得y=3.
∴B(-1,0),A(0,3).∴OB=1,OA=3.
把x=m代入y=-x+1,得y=-m+1.
当以点C为直角顶点时,∠ACB=90°,如图1,过点 C 作CE⊥x轴于点E,过点 A 作AF⊥CE 于点 F.
∴∠ACB=∠BEC=∠F=90°,AF=OE=m,CE=-m+1.
∴∠BCE+∠ACF=∠CBE+∠BCE=90°,BE=m-(--1)=m+1,CF=3-(-m+1)=m+2.
∴∠CBE=∠ACF.
又∠BEC=∠F,∴△CBE∽△ACF.
即
解得 负值已舍).
当以点 B 为直角顶点时， 如图2，过点 C 作CH⊥x轴于点H.
∴∠ABC=∠BHC=∠AOB=90°.
同理可得△BHC∽△AOB,BH=m+1,CH=m--1.
即
解得m=2.∴-m+1=-1.∴C(2,-1).
当以点A 为直角顶点时，点C 的横坐标m<0，不符合题意，舍去.
综上所述，点C 的坐标为 或(2,-1).
18.90°或 180°或270°详解∵将 AB 绕点 A 逆时针旋转角α 得到AP,
∴点 P 在以点A 为圆心，AB 长为半径的圆上.
如图1,连接AC,取 BC 的中点E,连接AE.
在□ABCD 中,∵∠B=60°,BC=2AB,
是等边三角形.
∵AB∥CD,∴∠ACD=90°,即AC⊥CD.
当以点 C 为直角顶点时，点P 在直线AC 上，即点 P 为⊙A 与直线AC 的交点,如图2、图3.
在图2中,此时α=∠BAC=90°.
在图3中，此时(
当点 P 在BA 的延长线上时，旋转角α的度数为180°，如图4.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.
∴PA=AB=CD,PB∥CD.
∴四边形 PACD 是平行四边形，又AC⊥CD,∴四边形 PACD 是矩形.
∴∠PDC=90°,即△PDC 是直角三角形.
综上所述,旋转角α的度数为90°或180°或270°、
或 详解当以点 G 为直角顶点时，∠AGF=90°,如图1,过点 A 作AH⊥BC 于点 H、
∴∠AHE=∠AGE=90°.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC、
∴∠AGF=∠HEG=90°.
∴四边形AHEG 是矩形.
由折叠的性质可知,△ABE≌△AFE、∴AH=AG、
∴四边形AHEG 是正方形.∴HE=AH.
∵AB=6,∠B=60°,∴∠BAH=30°.
∴BH= AB=3,HE=AH=AB· sin 60°=3
∴BE=BH+HE=3+3
当以点A 为直角顶点时,∠FAG=90°,如图2,过点 A 作AH⊥BC 于点 H.
∴∠FAG=∠AHC=∠AHB=90°.
∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD∥BC.
∴∠HAG=∠AHB=90°.∴F,A,H 三点共线.
由上种情况可知，
由折叠的性质可知,∠F=∠B=60°,AF=AB=6.
∴∠FEH=30°,FH=FA+AH=6+3
综上所述，BE 的长为： 或
20.3或2 详解∵PD⊥AC,PE⊥BC,
∴四边形 PECD 为矩形.∴CQ=PQ.
∵∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,
∴∠BAC=30°.∴AB=2BC=4.
①当以点 P 为直角顶点时,∠APQ=90°,如图1.
∴∠CPB=90°.∴∠BCP=30°.
∴PB= BC=1.∴AP=AB—PB=3.
②当以点 Q 为直角顶点时,∠AQP=90°,如图2.
∴AQ⊥CP.由①,知CQ=PQ,∴AQ垂直平分 PC.
综合上述，AP 的长是3或2
21.12 或4 思路引导(1)4
(2)如图1所示.12
∵E 为AB 的中点,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD=BC=8,∠B=∠BAD=90°.
∴在 Rt△ABC 中,
∵∠BAD=∠EAF=90°,
∴要使△EMN 与△AEF 相似,则△EMN 必有一个内角是90°.
①当以点 N 为直角顶点时,即∠ENM =90°,如图 1,△EMN∽△EFA.
∵∠CAB=30°,∴∠AEN=60°,即∠AEF=60°.
②当以点 M 为直角顶点时,即∠EMN =90°,如图2,△EMN∽△EAF.
∵∠CAB=30°,∴∠AEM=60°.
由折叠的性质、得∠A'EF=∠AEF=30°.
③当以点 E 为直角顶点时,∠MEN=90°.
∴∠AEN=∠MEN=90°.
由∠BAD=90°、∠AEN=90°可知EF∥AD、不符合题意,舍去.
综上所述，AF 的长为12或4、

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