资源简介

专题1 二次函数自身性质问题【含最值问题】
核心归纳
编写说明：将此类难题的核心要点总结，结合例题加深理解，之后练综合题目易有解题思路、
类型 核心要点
对称性 1.若抛物线上有两点的坐标分别为(x ,y),(x ,y)、则抛物线的对称轴可表示为直线
2.若抛物线 上两点关于直线 对称，则这两点的纵坐标相等.横坐标与 的差的绝对值相等.
3.若抛物线 与直线y=m有两个交点，则这两个交点关于直线 对称.
4.若抛物线 上A(m,n),B 两点关于直线 对称，则AB 的长为
5.抛物线 与 关于y轴对称；抛物线 bx+c与 关于x轴对称；抛物线 与 bx-c 关于原点对称.
增减性 6.抛物线 上有 A(x ,y ),B(x ,y )两点，当 时，
7.抛物线 上有A(x ,y ),B(x ,y ) ī两点，当 时，①如图1，当 时，y 的最大值为y ；如图2，当 时，y的最大值为y ；③如图3，当 时，y的最大值为
类型 核心要点
对称性与增减性联用 8.抛物线 上有 两点，当 时，①如图4，当 y的最大值为y ，y的最小值为y ；如图5，当 的最大值为y ，y的最小值为y ；③如图6，当 时，y的最大值为y ，y的最小值为 ④如图7，当 时，y的最大值为y ，y的最小值为
9.(1)抛物线 上有点 已知 则可得x 的范围.如图8，取点 P 关于抛物线对称轴的对称点 P'.∴点 P'的坐标为( m,n ),∴xa的取值范围为 (2)抛物线 上有点. 已知 则可得xp的范围.如图9，取点Q关于抛物线对称轴的对称点Q'.∴点Q'的坐标为( m,n ),∴xp的取值范围为
类型突破
编写说明：每类例题由浅入深设置，先练透每个类型，再综合，难度和综合性循序渐进易练习.
类型 1·对称性
例1.如图，抛物线 与x轴相交于点 A,B(m+2,0),与 y 轴相交于点C，点D(m，c)在该抛物线上，则点 A 的坐标是 .
例2.|每领跑改编|已知A(2t-1,3)是抛物线 上一点，点B 与点 A关于抛物线的对称轴对称，直线y=mx+2m-1经过点B，则m= .
例3.已知竖直上抛的小球离地高度y(单位：m)是它运动时间t(单位：s)的二次函数，小军相隔1s依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1s时到达相同的最大离地高度，若第一个小球抛出t s时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=
例4.已知A(-t+2,m)是抛物线 上一点，点A，B关于抛物线的对称轴对称，C(n,m-1)是平面内一点,则△ABC 的面积是 .
例5.抛物线 关于原点O 对称的抛物线的函数解析式为 .
类型2·增减性
例6.已知二次函数 当x【变式——趁热打铁练习透】
例6.1 二次函数 上有点(1-t,m),(2-t,n),若m>n,则a 0.(填“>”或“<”)
例7.二次函数 当1-t≤x≤3-t时,y的取值范围是 .(用含 t 的代数式表示)
例8.已知二次函数 (m为常数),若y 在--1≤x≤2时的最小值是2,则 m 的值为 .
【变式——趁热打铁练习透】
例8.1 已知二次函数 (a为常数,且a≠0),若y在-3≤x≤1时有最大值3,则a 的值 为 .
例8.2 已知二次函数 在1-m≤x≤3-m的最大值是3,求 m 的值.
类型 3·对称性与增减性联用
例9.已知二次函数 当 时，函数的最大值为m，最小值为n.若m一 求t 的值.
例10.已知二次函数. (a为实数，且(
(1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标；(用含a 的代数式表示)
(2)设二次函数在 时的最大值为p，最小值为q，若 求a 的值.
例11.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线 交 y轴于点 A,点 B,C 在此抛物线上，其横坐标分别为m， 连接AB,AC,BC.
(1)当点 B 与抛物线的顶点重合时，求点 C 的坐标；
(2)当BC 与x轴平行时，求点 B 与点C 的纵坐标的和；
(3)设此抛物线在点 B 与点C 之间的部分(包括点 B，C)的最高点与最低点的纵坐标之差为 求m 的值.
例12.已知点(m,n)在函数 的图象上，当0≤m≤k时，n的取值范围是-4≤n≤3,求k的取值范围.
例13.在平面直角坐标系中,点 M(-1,2),N(1,0)在抛物线 上，若 ,求 t 的取值范围.
例14.在平面直角坐标系中,点 M(-1,m),N(2,n)在抛物线 上.若 且点 也在抛物线上，请比较 的大小，并说明理由.
2综合提升练
1.新新考向·新定义定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”.例如(1，3)、 都是“纵三倍点”.
(1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ；(填序号)
1.
(2)已知抛物线 (m、n均为常数)与直线y=x+4有且仅有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求该抛物线的解析式；
(3)若抛物线 (a,b是常数，a>0)的图象上有且仅有一个“纵三倍点”，令w= 是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，ω的最小值恰好等于t 若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.
2.新新考向·新定义 若函数G 在 上的最大值记为 ymax，最小值记为ymin,且满足 则称函数G 是在 m≤x≤n上的“美好函数”.
(1)函数:①y=x+1;y=|2x|;③y=x ,其中函数 (填序号)是在 上的“美好函数”；
(2)已知函数 是在-3≤x≤n上的“美好函数”，求n 的值；
(3)已知函数G
①若函数G 是在 1≤x≤2上的“美好函数”,求 a 的值;
当a=1时,函数G 是在t≤x≤t+1上的“美好函数”,求t 的值;
③若函数G 是在m+2≤x≤2m+1(m为整数)上的“美好函数”,且存在整数k，使得 请直接写出a 的值.
3.新新考向·新定义|邻领跑改编|定义：P(m，m)是平面直角坐标系内一点，将函数l位于直线x=m左侧部分的图象，以直线y=m为对称轴翻折，得到新函数l'的图象，我们称函数l'是函数l的相关函数，函数l'的图象记作 F ，函数l未翻折部分的图象记作. 图象 和 合起来记作图象F.例如：函数l的解析式为 当m=1时，它的相关函数l'的解析式为
(1)如图，函数l的解析式为 当m=-1时，求它的相关函数l'的解析式；
(2)已知函数l 的解析式为 当m=0时，图象 F 上某点的纵坐标为 .求该点的横坐标；
(3)①已知函数l的解析式为 图象 F 在0≤x≤2的范围内的最大值是5,求m 的值;
若将①的 改成“m>0”，其他条件不变，请直接写出此时m的值.
4.在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线 (c是常数)经过点 点A，B在该抛物线上且不重合，横坐标分别为m，-m，点C 的横坐标为 ，点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同,连接AB,AC.
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)求证：当m取不为零的任意实数时， 的值始终为2；
(3)作AC 的垂直平分线交直线AB 于点D,以AD 为边,AC为对角线作菱形ADCE,连接DE.
①当 DE 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形 ADCE 的面积；
当此抛物线在菱形 ADCE 内的部分y随x的增大而增大时，求出m 的取值范围.
5.综合与实践
问题情境：如图1，矩形 MNKL 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段 AB 组成的封闭图形，点A，B均在矩形的边MN 上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以便种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计：如图2，AB=6m ，AB 的垂直平分线与抛物线相交于点P，与AB 相交于点O，P 是抛物线的顶点，且PO=9m.欣欣设计的方案如下：
第一步:在线段OP 上确定点C,使∠ACB=90°,用篱笆沿线段AC,BC 分隔出△ABC 区域,种植串串红；
第二步：在线段CP 上取点 F(不与点C，P重合)，过点 F 作AB 的平行线，交抛物线于点 D，E.用篱笆沿 DE，CF 将线段AC，BC 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季.
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现篱笆仅剩6m.若要在第二步分隔中恰好用完这6m的篱笆，需确定DE 与CF 的长.为此，欣欣在图2中以AB 所在直线为x轴，OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数解析式；
(2)求 6m 篱笆恰好用完时DE 与CF 的长;
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上，直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.
6.新新考向·过程学习 2024鞍山模拟问题提出：
如图,四边形 ABCD 是矩形,AB=4,E 为射线DA 上的动点,连接BE,过点 E 作EF⊥BE(点F在BE 的左侧),且 过点 D 作DG∥EF 交射线BA 于点G,连接 FG,设 DE 的长为x,四边形 DGFE 的面积为y(x,y均可等于0).
初步感知：
(1)如图1，当点 E 由点 D 运动到点A 时，经探究发现y 是关于x的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，直线l 为其对称轴，请根据图象信息求y 关于x的函数解析式及线段AD 的长；
(2)当点E 在线段DA 的延长线上运动时，求y 关于x的函数解析式；
延伸探究：
(3)若存在三个不同位置的点E(从右向左依次用. 表示)，对应的四边形DGFE 的面积均相等.
①试确定 DE 与 DE 的数量关系，并说明理由；
当 时，求四边形 的面积.
7.新新考向·新定义在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：A(x，y)是函数图象上任意一点，纵坐标 y 与横坐标x的差“y-x”称为点 A 的“纵横值”，在函数图象上所有点的“纵横值”中，最大的值称为该函数的“最优纵横值”.
例如:点A(1,3)在函数y=2x+1的图象上,点 A 的“纵横值”为3-1=2,函数 y=2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y-x=2x+1--x=x+1,当3≤x≤6时,x+1的最大值为6+1=7,所以函数y=2x+1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7.
根据定义，解答下列问题：
(1)①点 B(-6,2)的“纵横值”为 ;
函数 的“最优纵横值”为 .
(2)若二次函数 的顶点在直线 上，且“最优纵横值”为5，求c 的值；
(3)抛物线 的顶点在直线y=x+9上.
①若a=-1,当-1≤x≤4时,二次函数的“最优纵横值”为7,求h 的值;
抛物线 )上A(h+1,yA),B(2h,yB)两点的“纵横值”分别为 m，n，且m专题1 二次函数自身性质问题
例1.(-2,0) 详解把x=0代入. 得y=c、∴C(0,c).
∵D(m,c),∴对称轴为直线
∵B(m+2,0),点A,B 关于抛物线对称轴对称,
∵点 A 在x轴上,∴点 A 的坐标为(-2,0).
例2. 详解由. ，得抛物线的对称轴是直线x=t.
∵A(2t-1,3),点 B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,
∴xB=2t-xA=2t--(2t-1)=1.∴B(1,3)、
将点 B(1,3)代入直线.y= mx+2m-1、得
例3.1.6详解根据题意可知二次函数的图象的对称轴为直线x=1.1.
∵第一个小球抛出 ts时在空中与第二个小球的离地高度相同，∴此时第二个小球抛出(t-1)s.
∴点(t,y)与点(t-1,y)关于直线x=1.1对称、
∴t-1.1=1.1-(t-1).解得t=1、6、
例4.2 详解由 得抛物线的对称轴是直线x=-t.
∵点A,B 关于抛物线的对称轴对称,A(-t+2,m),
∴B(-t-2,m),AB∥x轴.∴AB=4.
∵C(n,m-1),∴点C到AB 的距离为m--(m-1)=1.
例5. 详解设点 P(x，y)是抛物线 2x-3关于原点O对称的抛物线上一点.
∴点 P 关于原点对称的点 P'在抛物线.上,且点 P'的坐标为(-x,-y).
把点 P'(-x,-y)代入: 得
例6. m≤1 详解由 得抛物线的对称轴为直线x=1，
∵a<0,∴当x<1时,y 随x的增大而增大.∴m≤1.
例6.1.< 详解由 ，得抛物线的对称轴为直线.x=-t.
∵--1<1-1<2-t,m>n,∴a<0.
例 详解由 得抛物线的对称轴为直线x=-t.
∵--t<1-1<3-t,-1<0,
∴当x=1-t时，y有最大值，最大值为
当x=3-t时，y有最小值，最小值为
例8.1或-1 详解由 ，得抛物线的对称轴为
直线x=m.当m≥2时,如图1,y在x=2时取最小值,
.解得 (不合题意，舍去).
当m≤-1时,如图2,y在x=-1时取最小值.
.解得m=-1.
当--1解得 (不合题意，舍去).
综上所述，m的值为1或-1.
例8.1. 或--3(详解由题意，得
∴抛物线的对称轴为直线x=-2.
①当a>0时,开口向上,∵1-(-2)>-2-(-3),
∴y在x=1时有最大值8a.∴8a=3.解得
②当a<0时,开口向下,y在x=-2时有最大值-a.
∴--a=3.解得a=-3.
综上所述，a 的值为 或-3.
例8.2.解:由 得抛物线的对称轴为== 直线x=m.当m>3-m,即 时,如图.1,y在x=3-m时取最大值3.
解得
当m<1-m,即 时,如图2,y在x=1-m时取最大值3.
此方程无解.
当1-m≤m≤3-m,即 时,如图3,y在x=m时取最大值3.
解得 (不合题意，舍去).
综上所述，m的值为 或
例9.解：由二次函数 得抛物线的对称轴为直线x=3.
当x=3时,
当x=t+3时,
当x=t时,
①如图1,当t+3<3,即t<0时,y随x的增大而增大.
1
∴--6t+9=3.解得t=1(不合题意,舍去).
②当t≤3≤t+3,即0≤t≤3时,y在x=3时,有最大值4,即m=4.
如图2，当 即 时，
n=-t +6t-5.∴m-n=4-(-t +6t-5)=3.
解得 (不合题意，舍去).
如图3，当 即 时，
解得 (不.合题意，舍去).
③如图4，当t>3时，y随x的增大而减小.
解得t=2(不合题意，舍去).
综上所述，t的值为： 或
例10.解:(1).
∴抛物线的对称轴为直线x=2a，顶点坐标为(2a，-a ).
(2)由(1)，得抛物线的对称轴为直线x=2a.
∵a>0,∴a-3≤2a≤3a+2.
∵3a+2-2a=a+2,2a--(a-3)=a+3,
∴3a+2-2a<2a-(a-3).
如图，当x=a-3时，函数取得最大值.
∴p=(a-3-a)(a-3-3a)=6a+9.
当a=2a时，函数取得最小值-a .
∵p-q=16,∴6a+9+a =16.
解得 (不合题意，舍去).∴a的值为1.
例11.解:(1)
∴顶点坐标为(1,-2).
∵点 B 与抛物线的顶点重合,∴m=1.∴3m=3.
把x=3代入 得y=2.
∴点C 的坐标为(3,2).
(2)∵BC与x轴平行,∴B,C 两点的纵坐标相同.
∴B，C两点关于抛物线的对称轴，即直线x=1对称.
∴3m-1=1-m.解得
∴点 B 的纵坐标为
∴点 B 与点C 的纵坐标的和为
即；3m>1.
当 时，顶点的横坐标在取值范围内，且3m一1>1-m.
∴此抛物线在点 B 与点C 之间的部分(包括点 B，C)的最低点的纵坐标为-2，最高点的纵坐标为( 如图1、
∵最高点与最低点的纵坐标之差为5m，
解得 (不合题意，舍去).
当m>1时，如图2，此抛物线在点 B 与点C 之间的部分(包括点 B，C)y随x的增大而增大.
∴最高点的纵坐标为 最低点的纵坐标为
解得 不合题意，舍去).
综上所述，m的值为-
例12.解：函数 的图象如图所示.
.顶点坐标为(1,-4).
把x=0.代入 得y=-3.
把x=2代入. 得y=3.
在 中,令y=-3,得
解得 (不合题意，舍去).
令y=-4,得
解得 (不合题意，舍去).
结合图象，得
例13.解:由 得抛物线的对称轴是直线x=t.
①当点 M 在对称轴的左侧时，如图，点M 关于对称轴直线x=t的对称点坐标为
∵yM=2,yN=0,∴yM>yN.
由图可知,点 N(1,0)在点 M,M'之间.
∴2t+1>1.解得t>0.
②当点 M 在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，不符合题意，舍去.
综上所述，t的取值范围是t>0.
例14.解: 理由如下：
由 得抛物线的对称轴是直线x=l.
∵m∴点 M，N，C不在对称轴的同一侧，如图.
∵M(-1,m),N(2,n),∴点 M,N 关于对称轴对称的点M',N'的坐标分别为(2t+1,m),(2t-2,n).
由图象可得 解得
∵a<0，∴离对称轴越近的点，其纵坐标越大.
∵|t-1|<|t+2|<|t-4|,∴y >y >y .
1.解:(1)①③详解①由 解得
∴在直线y=-2x+1上只有一个“纵三倍点”：
②由 解得
∴反比例函数 的图象上有两个“纵三倍点”：((一 -3 ),( ,3 ),不符合题意.
③由 解得
∴二次函数 的图象上只有一个“纵三倍点”：(1,3).
(2)∵抛物线 与直线y=x+4有且仅有一个交点，
∴方程 有两个相等的实数根，即
∵抛物线 与直线y=x+4的交点是“纵氵倍点”,∴把y=3x代入y=x+4,得3x=x+4.
解得x=2,∴y=6.
把点(2,6)代入. 得6=4+2m+n.
∴n=-2m+2.②
联立①②，得 解得
∴该抛物线的解析式为
(3)∵抛物线 的图象上有且仅有一个“纵三倍点”，
∴方程 有且仅有一个实数根.
根据题意，得当t≤b≤t+1时，ω的最小值恰好等于t.
当t+1<2,即t<1时,ω在t≤b≤t+1内随b的增大而减小.∴当b=t+1时,ω有最小值.
即
解得 均不合题意，舍去).
当t≤2≤t+1,即1≤t≤2时,ω在顶点处取最小值,最小值为1.
∴此时t=1.
当t>2时,y在t≤b≤t+1内随b的增大而增大.
∴当b=t时,ω有最小值.
即
解得 (不合题意，舍去),l =3.
综上所述，t的值为1或3.
2.解:(1)①详解对于①y=x+1,
当1≤x≤2时，y随x的增大而增大.
∴当x=1时, ymin=2,当x=2时,
符合题意.
对于②y=|2x|,
当1≤x≤2时,y 随x的增大而增大.
∴当x=1时, ymin=2,当x=2时,, ymax=4.
∴ymax— ymin=4-2=2≠1,不符合题意.
对于③y=x ,当1≤x≤2时,y随x的增大而增大.
∴当x=1时, ymin=1,当x=2时, ymax=4.
∴ymax— ymin=4-1=3≠1,不符合题意.
(2)∵函数 是在-3≤x≤n上的“美好函数”,
又n>0时，函数 无最大值和最小值，∴n<0.
此时在-3≤x≤n上，函数y随x的增大而减小.
∴当x=-3时, 当x=n时
解得
(3)①由 ，得抛物线的对称轴为直线x=1.当x=1时, 当x=2时,
当a>0,1≤x≤2时,y 随x的增大而增大.
解得a=1.
当a<0,1≤x≤2时,y随x的增大而减小.
解得a=-1.
综上所述，a的值为1 或-1.
对称轴为直线x=1.
∴当x=l时,
当x=t+1时,
当x=1时,
若t>1,则y在l≤x≤t+1上随x的增大而增大.
解得l=1(不合题意，舍去).
若l≤1≤t+1,即0≤l≤1,则对称轴在 t≤x≤t+1内.
∴ymin=y =-4.
若 即 则
解得t =-1(不合题意,舍去),
若 即 则
解得 (不合题意，舍去).
若t+1<1,即t<0,则y在t≤x≤t+1上随x的增大而减小.
解得t=0(不合题意，舍去).
综上所述，t的值为0或1.
③正的值为 .详解∵,m+2≤x≤2m+1,
∴根据函数G 的定义,得m+2<2m+1.
∴m>1.∴3由①，得 的对称轴为直线x=1.
∵a>0,∴当m+2≤x≤2m+1时,y随x的增大而增大.
∴当x=2m+1时,y取得最大值,x=m+2时,y取得最小值.
∵m,k为整数,且m>1,∴m+3=8.解得m=5.
又ymax-ymin=1,
3a]=1.解得
3.解：(1)根据题意，得将函数 的图象沿直线y=-1翻折得到相关函数l′.
设相关函数l'的解析式为y= kx+b(x<-1).
在 的图象上任取点(-2,3),(-4,4).
这两点关于直线y=-1的对称点分别为(-2,-5),(-4,-6)、
∴相关函数l'经过点(-2,-5)和(-4,-6).
把点(-2,-5),(-4,-6)代入y= kx+b、得 解得
∴相关函数l′的解析式为
(2)根据题意，得相关函数l'的解析式为
∴图象 F 的解析式为
或 解得 或
∴该点的横坐标为
(3)①由 ，得抛物线的对称轴为直线
∵1>0,m<0,∴当0≤x≤2时,y 随x的增大而增大、
∴当x=2时,y取最大值5,即:
解得m=-1.
②m的值为 详解 顶点坐标为
把x=m代入 ,得y=m、
∴点(m，m)在函数l的图象上、
∵点 关于 直线 y =m 的 对称点为 ∴函 数 l′的 图 象 的 顶 点 坐 标 为
∴函数l'的解析式为 mx+m.
∴图象 F 的解析式为
当m>0时，图象 F 如图所示，设函数 l'的图象交直线y=m于点Q,点(m,m)为点 P,∴点 P,Q 关于函数l'图象的对称轴，即直线. 对称.
当 即m>4时,图象 F 的函数值y在0≤x≤2的范围内随x的增大而增大.
∴当x=2时,y取最大值5,即-
解得m=3(不合题意，舍去).
设函数l'的图象顶点为E，过点E 作EG∥直线 y=m交函数l的图象于点G.
∵点E 的坐标为
令 得
解得 (负值已舍).
∴当 即 时，由图象可知，
当 时，y取最大值5，即
解得 (负值已舍).
当 即 时，由图象可知，当x=2时,y取最大值5,即
解得m=-1(不合题意，舍去).
综上所述，m的值为2 -2.
4.解:(1)把点(-2,-2)代入 得4-4+c=-2.∴c=-2.∴抛物线的解析式为
(2)证明：根据题意，得A(m,m +2m--2),B(-m,m -2m--2),C(-5m,m +2m-2).
I.当m<0时,如图1,过点 B 作BH⊥AC 于点 H.
∵点C 的纵坐标与点 A 的纵坐标相同，∴AC∥x轴.
∴BH⊥x轴.
AH=-m--m=-2m.
∴在Rt△ABH 中
Ⅱ.当m>0时,如图2,过点 B 作BH⊥AC 于点 H.
同理I，得
综上所述，当 m取不为零的任意实数时，tan∠CAB 的值始终为2.
∴抛物线的对称轴为直线x=-1.
由(2),知 A(m,m +2m--2),B(--m,m --2m--2),
如图3,设 DE 交AC 于点M.
∵四边形 ADCE 是菱形，且 DE 与对称轴重合，
∴DE⊥AC,DM=EM,AM=CM,xD=-1.
即m-(-1)=-1-(-5m).
解得
②由①、知抛物线的顶点坐标为(-1,-3),DE 与 HF 重合时
Ⅰ、当 且CD 过顶点F(-1,-3)时,如图4,设AC交抛物线对称轴于点 H.
由(1),得 AC∥x轴.
∴AC⊥HF.
∵四边形ADCE 是菱形,∴DA=DC.
∴∠CAB=∠ACD.
即HF=2CH.
即
整理，得
解得 (不合题意，舍去)，
结合图象，得(
Ⅱ.当m<0,且AE 过顶点lF(-1,-3)时,如图5.
同理I，得 即HF=2AH.
即
整理，得
∴m=-1或m=-3.
当m=-1时,如图6.
结合图象,得m≤-3或-1≤m<0.
综上所述,m≤-3或-1≤m<0或(
5.解：(1)如图1，建立平面直角坐标系.
∵OP 所在直线是AB 的垂直平分线,且AB=6,
∴点 B 的坐标为(3,0).
∵OP=9,∴点 P 的坐标为(0,9).
∵P 是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数解析式为
把点 B(3,0)代入 得9a+9=0.
解得a=-1.
∴抛物线的函数解析式为
(2)∵点 D,E 均在抛物线 上，
∴设点 E 的坐标为(
∵DE∥AB 交y轴于点F,
在Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°,OA=OB,
根据题意，得DE+CF=6,即:
解得 (不合题意，舍去).
∴6 m篱笆恰好用完时 DE 的长为4m,CF 的长为2m.
(3)符合设计要求的矩形周长最大为 m.
详解由题意，得矩形灯带的一条边与坐标轴平行，如图2，设矩形灯带为GHML.
由(1)(2),知A(-3,0),B(3,0),C(0,3).
设线段 BC 的函数解析式为y= kx+b(0≤x≤3).
把点 B(3,0),C(0,3)代入,得
解得
∴BC 的函数解析式为y=-x+3(0≤x≤3).
∵四边形GHML 是矩形,
∴GH=LM,HM=GL,HM⊥GH.
根据题意，得GH∥x轴.
∴点G,H 的纵坐标相等,HM⊥x轴.
设点 则点 M(n,-n+3),点 G(--n,
∴矩形 GHML 的周·长=2(GH+HM)=2[2n+(-n +
∵06.解:(1)由图象,设y关于x的函数解析式为y=a(x-
把点(0,0)代入,得 解得
令y=0,得 解得
∴AD=2-0=2.
∴y关于x 的函数解析式为
(2)当点 E 在 DA 的延长线上时,如图1、
∵BE⊥EF,∴∠BEF=90°.
∴∠HEF+∠AEB=180°-∠BEF=90°.
∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠DAB=90°、
∴∠BAE=90°.∠AEB+∠ABE=90°.
∴∠HEF=∠ABE.
∵DG∥EF,∴∠ADG=∠HEF.
∴∠ABE=∠ADG.
又∠BAE=∠DAG,∴△ABE∽△ADG.
又BE=AB/,∴DG=EF.
又 DG∥EF,∴四边形 DEFG 为平行四边形.
∴y=DE·AG.
∵AE=DE-AD=x-2,
∴y关于x的函数解析式为 (x>2).
理由如下：
画出y关于x 的函数图象，如图2.
∴当存在三个不同位置的点E 时，
设 DE 和 DE 的长度分别为.x ,x ,
∴x ,x 离抛物线 的对称轴直线x=1的距离相等.
即
②由①,知
令 则
整理，得
解得 (不合题意，舍去).
把 代，入 得
∴四边形 DGFE 的面积为
7.解:(1)①8 ②-1
详解 ①点 B(-6,2)的“纵横值”为2-(-6)=8.
∵当-4≤x≤-2时, 随x的增大而减小，
∴x=-4时,y-x有最大值,最大值是-1.
∴函数 的“最优纵横值”为-1.
三二次函数 的顶点在直线 上， 解得
1+c.
∵“最优纵横值”为5,且-1<0,∴x=1时,y-x有最大值,是1+c,即1+c=5.解得c=4.
(3)①当a=-1时,二次函数.
∵顶点在直线y=x+9上,
设
∴函数y 图象的对称轴为直线
当 即 时,函数y 在-1≤x≤4上随x的增大而增大.
∴x=4时，函数y 有最大值，最大值为7.
解得 (不合题意，舍去).
当 即 时,函数y 在-1≤x≤4上随x的增大而减小.
∴x=-1时，函数y 有最大值，最大值为7.
解得 (不合题意，舍去).
当 即 时，函数y 在顶点处最大，最大值为 ∴舍去.
综上所述，h的值为6或-2.
详解由(3)①,知k=h+9.
h+9.
设
∴函数y 图象的对称轴为直线 点E(h+1,m)
和点 F(2h,n)均在函数 y 的图象上.
∴点 E 在函数y 图象的对称轴的右侧，如图.
设点E 关于对称轴直线 的对称点为E'.
解得

展开更多......

收起↑