资源简介

第5章《分式与分式方程》综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B．或0
C．或或0 D．或或
2．若是整数，则使分式的值为整数的值有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．甲杯中盛有m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时（ ）
A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少
B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多
C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同
D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定
4．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　）
A．12 B．14 C． D．9
5．甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝－1的解为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或－2
8．对于两个实数x，y，我们定义：，有下列说法：
①；
②；
③若，则．
其中说法正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
12．任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值 ．
13．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ．
14．若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件．所有整数的乘积为 ．
15．若正数a，b，c满足abc1，，则 ．
16．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向匀速行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 秒．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值．
18．（6分）【提出问题】
已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？
【观察发现】
观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即．
【探究验证】
（1）对于，我们可以用“作差法”进行证明：
．
，
，．
，即．
；
（2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论；
【拓展思考】
（3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子；
【方法应用】
（4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由．
19．（8分）已知：．
(1)当时，判断与0的关系，并说明理由；
(2)设．
①代入，化简得________；
②若是正整数，则整数的值为_______．
20．（8分）某商店要运一批货物，租用甲、乙两车运送．若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元；若甲、乙两车单独运完这批货物，则乙车所运趟数是甲车的2倍；已知乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）分别求出甲、乙两车每趟的运费；
（2）若单独租用甲车运完此批货物，需运多少趟；
（3）若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此批货物，其中x、y均为正整数，设总运费为w（元），求w与x的函数关系式，直接写出w的最小值．
21．（10分）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
22．（10分）观察下列各式：
，
(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________；
(2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，；
(3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值．
23．（12分）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程有两个解，分别为________，________；
(2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________；
(3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值．
24．（12分）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．
(1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
(2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．
(3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．D
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值．
【详解】去分母，得，
整理得，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，方程无解；
综上所述，满足题意的的值为或或，
故选D．
2．C
【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有：共4个．
故选：C．
3．C
【分析】算出第一次倒出溶液后乙杯中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的质量，比较即可．
【详解】甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：
乙杯中红墨水的比例为，蓝墨水的比例为，
再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：
乙杯中含有的红墨水的数量是a-a =毫升①
乙杯中减少的蓝墨水的数量是a =毫升，②
∵①=②
∴故选C．
4．A
【分析】把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值．
【详解】解：，
，
即，
，
而，
，
．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查一次函数的实际应用，以及分式方程的实际应用，根据函数与图象中的信息，结合时间、路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，对上述说法一一分析，即可解题．
【详解】解：由图知甲、乙两位同学最终停下来时，离A地的路程s（）最大为，
①正确，
由图知乙到B地时，甲到B地时，（），
②正确，
乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．
设乙从A地刚出发时的速度为，则停留后的速度为，
由图知乙在中途停留前已走，则停留后行驶路程为（），总的行驶时间为（），
有，解得，
乙从A地刚出发时的速度为（），
③正确，
根据图象可知，甲的速度为
乙在途中停留后，二者第三次相遇， 乙中途停留前运动时间为
乙的第二个拐点时间为（），
由图知第三次相遇在第二个拐点之后，即第三次相遇时间大于第二个拐点时间，
设乙继续前进t小时后二者相遇， 根据题意得：
解得
故第三次相遇为乙出发后
④正确．
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
6．D
【分析】由于可化为，由题中可得规律：方程 （其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解．
【详解】∵
∴
∴上述方程有解及
即及
所以原方程的解为，
故选：D
7．B
【分析】分类讨论与的大小，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：当时，x＜0，方程变形为，
去分母得：2=3-x，
解得：x=1（不符合题意，舍去）；
当，，x＞0，方程变形得：，
去分母得：1=3-x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故选B．
8．B
【分析】根据定义新运算的规则，逐一进行计算，进而得出结论即可．
【详解】解：∵，
∴，故①错误；
∵，
∴
；故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
无法得到；故③错误；
综上：正确的有1个；
故选B．
9．A
【分析】本题主要考查了分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，分别设出甲、乙、丙单独做完成工程所需天数，利用工作时间＝工作总量÷工作效率解答即可，熟练掌握分式方程在工程问题中的应用并能灵活运用工作时间＝工作总量÷工作效率列出方程是解决此题的关键．
【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需天、天、天，
根据题意得，，
由此得出，，；
同理可得；；
∴，
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了解分式方程、有理数的平方．首先解分式方程可得，再根据分式方程的解满足，可得的取值范围，再根据为整数，确定的值的情况，再根据的取值情况判断乘积的正负性．
【详解】解：解关于的分式方程，
去分母得：，
移项得：，
提公因式得：，
去括号、合并同类项得：，
整理得:，
，
，
，
，
，
又 ，
和，
和，
为整数且，
和，
中符合条件的值共有个负数和个正数，
符合条件的所有值的乘积为正数．
故选：A．
二．填空题
11．4
【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
12．或
【分析】根据，可以得到它们的比值或者a、b、c的关系式，进而解答．
【详解】解：设，
则，，，
∴，
∴，
当时，，
，
当时，
．
故答案为：或．
13．
【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答；
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴ ， ，，
①+②+③，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况以及分式方程的解得情况求参数的值，解题的关键是正确的求出不等式组的解集和分式方程的解．
根据不等式组有且仅有2个偶数解，求出的取值范围，再根据y的分式方程有整数解，求出满足条件的整数的值，然后计算即可．
【详解】解：由，
得，
∴，
∵不等式组有且仅有2个偶数解，
∴偶数解为：2，0，
∴，
∴，
∵，
解得，
∵方程的解为整数，
∴为整数，且，
∵，
∴a的值为：或1或3，
∴满足条件所有整数a的乘积为：．
故答案为：．
15．
【分析】计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可．
【详解】解：解法一：因为
所以，
解得．
故答案为：．
解法二：由，得，
因此，．
由此可得，．
所以
故答案为：．
16．7.5
【分析】坐在甲车上的某乘客看见乙车驶过窗口，此时路程为乙车的长度，速度为甲乙两车速度之和；坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口，此时路程为甲车长度，速度为两人速度之和．等量关系为：乙车长度÷坐在甲车上的乘客看见乙车驶过窗口的时间=甲车长度÷坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口所用的时间，列方程求解即可．
【详解】解：设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒
由题意知，
解得
经检验，是原方程的解
∴乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是7.5秒
故答案为：7.5．
三．解答题
17．（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下：
解方程得
，
解方程得
，
检验：是该分式方程得解．
∴方程与方程是“相似方程”
（2）解：∵和是“相伴方程”．
∴
∵x，y，m均为整数，
∴，
∴，
又∵m为正整数
∴或
18．解：（2），理由如下：
，
∵，，
∴，，
∴，即，
∴．
（3）不成立，正确的应该是．
理由如下：根据（2）可得 ，
∵，，
∴，，
∴，即，
∴．
（4）当返回为顺水时，，．
，
∵，
∴ ，即．
当返回为逆水时，，．
∵，
∴ ，即．
所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回．
19．（1）当时，．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）①依题意，得：．
故答案为：．
②∵ ，且，x，y都是整数，
∴y可以取1，2，3，4．
当时，，
解得，符合；
当时，，
解得，符合 ；
当时，，
解得，不合，舍去；
当时，，
解得，符合．
综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3．
故答案为：0或1或3
20．解：（1）设甲、乙两车每趟的运费分别为m元、n元，
根据题意得：
解得：，
答：甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元．
（2）设单独租用甲车运完此批货物需运a趟，则乙车运完此批货物需运2a趟．
根据题意得：
解得：a＝18．
经检验a＝18是原方程的解，
答：单独租用甲车运完此批货物需运18趟．
（3）由题意得：，
∴y＝36﹣2x
则W＝300x+100y
＝300x+100（36﹣2x）
＝100x+3600（0＜x＜18）．
∵100＞0，
∴W随着x的增大而增大．
当x＝1时，w有最小值，w的最小值为3700．
21．（1）解：把，代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入，
所以原分式方程的解是；
（2）解：把代入分式方程，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当时，即，方程无解，
②当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，，
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
∵，且为正整数，为整数，
∴必为65的因数，，
∵，
∴65的因数有1，5，13，65，
1，5小于11，
可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55，
满足条件的可取3，55这两个数．
22．（1）解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出：
；
故答案为：；
（2）解：由（1）可知，
∴，
设（），
∴
∵，
∴；
（3）解：由（2）可知，
当时，则
，
∵，
∴，
∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d；
∴a=17，b=5，c=3，d=1；
∵
，
当a=17，b=5，c=3，d=1；
∴原式；
23．（1）解：∵，，
∴方程有两个解，分别为，
故答案为：1，6；
（2）解：，
方程变形得：
由题中的结论得：有两个解，分别为 ，2，
∵与互为倒数，
∴ ，
故答案为：，2；
（3）解：，
方程整理得，
得或
可得，．
∴．
24．（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．

展开更多......

收起↑