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2024年浙江省宁波市中考数学模拟预测题（二）
1．（2024九下·宁波模拟） 的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是 ；
故答案为：A.
【分析】只有符号不同的两个数才叫互为相反数，根据定义解答即可.
2．（2024九下·宁波模拟）下列计算正确的是（　　）
A．－3＋2＝－5 B．（－3）×（－5）＝－15
C．－（－22）＝－4 D．－（－3）2＝－9
【答案】D
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A.－3＋2＝－1≠-5，故错误；
B.（－3）×（－5）＝15≠-15，故错误；
C.－（－22）＝4≠-4，故错误；
D.－（－3）2＝－9，正确.
故答案为：D.
【分析】根据有理数的加减运算与乘方运算及乘法的运算法则逐一计算可得.
3．（2024九下·宁波模拟）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，其体育场及田径比赛场地——杭州奥体中心体育场，俗称“大莲花”，总建筑面积约216000平方米，将数据216000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据216000用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】把一个绝对值大于 1 的数表示成 a× 10 n ，其中 1≤ a <10 ， n 等于原数整数位数减 1 ．
4．（2024九下·宁波模拟）如图，矩形中，对角线，交于点O，若，，则长为（　　）
A． B．4 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得，
即为等腰三角形，
又，
为等边三角形．
故，
．
故答案为：B．
【分析】根据矩形得到，，即可得到为等边三角形，解题即可．
5．（2024九下·宁波模拟）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25
人数 2 5 8 9 6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）
A．20、15 B．20、17.5 C．20、20 D．15、15
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】20出现了9次，出现的次数最多，所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元；
30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20，它们的平均数为17.5，所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元.
故答案为：B.
【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数； 众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此求解即可.
6．（2024九下·宁波模拟）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点．
OB=OD=5
∵AB=CD=8，
∴BM=DN=4，
由垂径定理，勾股定理得：OM=ON==3，
∵AB，CD是互相垂直的两条弦，
∴∠DPB=90°
∵，，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是正方形，
∴OP==，
故选C．
【分析】连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点，先利用垂径定理求出BM，由勾股定理求得OM的长，再证明四边形OMPN是正方形，利用勾股定理可求出正方形的对角线OP的长．
7．（2024九下·宁波模拟）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；同旁内角互补，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD=，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误.
故答案为：D．
【分析】由作图知CM=CD=DN，根据同圆中，相等得弦所对的圆心角相等可得∠COM=∠COD，据此可判断A选项；根据三边相等的三角形是等边三角形得△OMN是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都等于60°及同圆中，相等得弦所对的圆心角相等可得∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，据此可判断B选项；根据三角形的内角和定理及等边对等角得∠OCD=∠OCM= ，推出∠MCD=，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠CMN=∠AON=∠COD，从而可根据同旁内角互补，两直线平行推出MN∥CD，据此可判断C选项；根据两点之间线段最短可判断D选项.
8．（2024九下·宁波模拟）设a，b，m均为实数，则下列说法正确的是（　　）
A．若a>b，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 若a>b，则，当m<0时，不成立，故不符合题意；
B、 若，则 ，正确，故符合题意；
C、 若，根据不等式的性质1，不一定成立， 故不符合题意；
D、 若，当m≠0时， 故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质及不等式的性质逐项判断即可.
9．（2024九下·宁波模拟）已知，是抛物线上的两点，则正数（　　）
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】C
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴，，
∴，，
即：或，
解得：或，
∵取正数，
故：，
故答案为：C．
【分析】把两点代入解析式得到方程组解题即可.
10．（2024九下·宁波模拟）如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与、交于点、，设，，则（　　）
A．若，则弧的度数为
B．若，则弧的度数为
C．若，则弧的度数为
D．若，则弧的度数为
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
设的度数是，
则，
过，
，
，
，
，，
，
解得：，
即的度数是，
A．当时，的度数是，故本选项不符合题意；
B．当时，的度数是，故本选项符合题意；
C．当，即时，的度数是或，故本选项不符合题意；
D．当时，的度数是或，故本选项不符合题意；
故选：B.
【分析】连接，得到，然后利用三角形外角的性质可得，得到的度数为，然后逐项判断即可．
11．（2024九下·宁波模拟）不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项，得：．
所以，不等式的解集是：．
故答案为：．
【分析】直接解不等式即可．
12．（2024九下·宁波模拟）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：根据题意，从点A平移到点，横坐标是，
故点的坐标是
故答案为：．
【分析】利用点的平移坐标变化规律“左减右加”解题即可．
13．（2024九下·宁波模拟）为了弘扬中华传统文化，营造书香校园文化氛围，某学校举行中华传统文化知识大赛活动，该学校从两名女生和一名男生中随机选出两名同学担任本次活动的主持人，选出的恰好为一男一女的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中选出的恰好为一男一女的有4种，
∴选出的恰好为一男一女的概率是，
故答案为：．
【分析】列树状图得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式解题即可．
14．（2024九下·宁波模拟）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与的交点的横坐标为，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】得到直线位于下方的自变量的取值范围即可解题．
15．（2024九下·宁波模拟） 若关于x的方程的一个实数根，另一个实数根，则关于x的二次函数图象的顶点到x轴距离h的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得：时，，时，，
∴，解得：，
二次函数顶点的纵坐标为：，
，
又，
当时，在时，取得最大值，即：当时，，
在时，取得最小值，即：当时，，
∴ 图象的顶点到x轴的距离h的最小值是，图象的顶点到x轴的距离h的最大值是，
h的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先根据方程的两个实数根和列出关于k的一元一次不等式组，求得k的取值范围，再根据二次函数的顶点坐标，求出在k范围内的顶点到x轴距离h的取值范围．
16．（2024九下·宁波模拟）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 　 　，的最大值为 　 　．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；圆的相关概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当三等共线时，最大，
∴的最大值为；
故答案为：，．
【分析】连接，得到，，即可得到，求出，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，即当三点共线，最大，解题即可．

17．（2024九下·宁波模拟）先化简，再求值： ，其中 .小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
原式 ① ② ③ 当 时，原式 .
【答案】解：错误步骤的序号是①.
；
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得.
18．（2024九下·宁波模拟）已知二次函数，当时，，时，．
（1）求a，c的值．
（2）当时，求函数y的值．
【答案】（1）解：由题意，得：，
解得：，
∴；

（2）解：由（1）知：，
∴，
∴当时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把点的坐标代入解方程组即可；
（2）把代入解析式，求出y的值解题．
19．（2024九下·宁波模拟）某学校计划组织学生开展课外活动，活动备选地点分别为美术馆A、纪念馆B、科技馆C、博物馆D．为了解全校学生最喜欢的活动地点，随机调查了部分学生（每人仅选一个）
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）在本次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）求出m的值，并将条形统计图补充完整．
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生最喜欢的活动地点为B的人数．
【答案】（1）解：本次共调查的学生有（名）；
（2）解：D类活动对应扇形的圆心角为，
C对应人数为（名），补全条形图如下：
（3）解：（名），
答：估计该校最喜欢的活动地点为“B”的学生人数大约为240名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据选择A的人数除以占比即可解题；
（2）用乘以选择D的占比可得圆心角m的值；然后用总量减去其它组人数求出选择C的人数，补全统计图即可；
（3）利用1200乘以喜欢“B”的占比解题即可．
20．（2024九下·宁波模拟）如图，在中，，点是中点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形，
∵，点D是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，点D是的中点，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先得到是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，证明结论；
（2）根据30°角的直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理求得长，再根据菱形的性质和三角形面积关系得到解题即可．
21．（2024九下·宁波模拟）设函数，函数（，b是常数，）．
（1）若函数和函数的图像交于点，点，
①求b，n的值．
②当时，直接写出x的取值范围．
（2）若点在函数的图像上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数的图像上，求m的值．
【答案】（1）解： ①把点代入到中，得
把代入到中，得
再把和代入到中，得
解得：
综上：．
②如图所示：
解得：
结合图像，当时，
x的取值范围是：或．
（2）解： 根据题意，
把点C，D代入到中，得
解得：
综上：．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式即可．
②联立两个解析式求出交点坐标，结合图像解题即可．
（2）表示出点D的坐标，再把C，D两点坐标代入解方程组即可．
22．（2024九下·宁波模拟）某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A，B间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A；②再在河的这一边选定点B和点C，使；③再选定点E，使，然后用视线确定和的交点D．
（1）用皮尺测得，，，求河宽．
（2）请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度的方案．
要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示，直接标注在图2中的线段上；②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗杆高度．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：河宽为95m．
（2）解：如图．
①将标杆竖立在一个适当的位置，使点C和标杆的顶点D，旗杆的顶点A三点在一条直线上，
②测出，．
③计算旗杆的高度：
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴旗杆的高．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据，可以得到，即可得到，解题即可．
（2）将标杆竖立在地面适当的位置，使点C、D、A三点共线，测量可得，．得到，即可得到，得到，求出旗杆高即可．
23．（2024九下·宁波模拟）已知二次函数的图象经过点．
（1）若该二次函数图象与轴的一个交点是．
①求二次函数的表达式：
②当时，函数最大值为，最小值为．若，求t的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点，当时，始终有．求的取值范围．
【答案】（1）解：①把分别代入得
，解得，
∴抛物线解析式为；
②∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴当时，时，函数有最小值-4，即N=-4，
当或时，函数有最大值，即，
∵，
∴ t2-2t-3-（-4）=3，
解得（舍去），，
∴的值为；
（2）解：∵二次函数的图象经过点，∴，
解得，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∵在抛物线上，且，
∴点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，
∴，
∴或，
∵，
∴或，
解得或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法得到函数解析式即可；
②先配方可得，可得顶点坐标为，再利用得，所以，即时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，然后列方程求出t值即可；
（2） 把 代入得到，即可得到对称轴是直线，然后利用二次函数的性质可知点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，即，然后利用得到或，从而得到的范围．
24．（2024九下·宁波模拟）如图，△ABC是圆O的内接三角形，连结BO并延长交AC于点D，设∠ACB＝，∠BAC＝m．
（1）若＝30°，求∠ABD的度数；
（2）若∠ADB＝n＋90°，求证m＋n＝1；
（3）若弧AB长是⊙O周长的，2∠ADB＝5∠CBD，求．
【答案】（1）解：连接OA，如图：
∵∠ACB＝＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°；
（2）证明：延长BD交⊙O于E，连接CE，如图：
∵BE为⊙O直径，
∴∠BCE＝90°，即∠ACE＝90°﹣，
△CDE中，∠E＝∠A＝m，∠EDC＝∠ADB＝n＋90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠E﹣∠EDC＝90°﹣m﹣n，即∠ACE＝90°﹣m﹣n，
∴90°﹣＝90°﹣m﹣n，
∴m＋n＝1；
（3）解：过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，如图：
∵弧AB长是⊙O周长的，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∠ACB＝∠AOB＝45°，
∴△DCM、△BDN是等腰直角三角形，
∵2∠ADB＝5∠CBD，
∴2（∠CBD＋∠ACB）＝5∠CBD，
∴2∠ACB＝3∠CBD，
∴∠CBD＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠CBD﹣∠ABO＝60°，
设MD＝MC＝t，
在Rt△DCM中，CD＝MD＝t，
在Rt△BDM中，BD＝2DM＝2t，
在Rt△BDN中，DN＝＝t，
在Rt△ADN中，AD＝＝＝t，
∴＝＝．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OA，证明△AOB是等边三角形解题即可；
（2）延长BD交⊙O于E，连接CE，用不同的方法表示∠ACE，得到等式解题即可；
（3）过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，即可得到∠AOB=90°，从而可得△AOB、△DCM、△BDN是等腰直角三角形，然后利用2∠ADB=5∠CBD，得到∠CBD=30°，∠BAC=60°，设MD=MC=t，然后表示CD、BD、DN、AD长，然后表示面积比即可 ．
1 / 12024年浙江省宁波市中考数学模拟预测题（二）
1．（2024九下·宁波模拟） 的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九下·宁波模拟）下列计算正确的是（　　）
A．－3＋2＝－5 B．（－3）×（－5）＝－15
C．－（－22）＝－4 D．－（－3）2＝－9
3．（2024九下·宁波模拟）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，其体育场及田径比赛场地——杭州奥体中心体育场，俗称“大莲花”，总建筑面积约216000平方米，将数据216000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·宁波模拟）如图，矩形中，对角线，交于点O，若，，则长为（　　）
A． B．4 C．3 D．5
5．（2024九下·宁波模拟）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25
人数 2 5 8 9 6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）
A．20、15 B．20、17.5 C．20、20 D．15、15
6．（2024九下·宁波模拟）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
7．（2024九下·宁波模拟）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
8．（2024九下·宁波模拟）设a，b，m均为实数，则下列说法正确的是（　　）
A．若a>b，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2024九下·宁波模拟）已知，是抛物线上的两点，则正数（　　）
A．2 B．4 C．8 D．
10．（2024九下·宁波模拟）如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与、交于点、，设，，则（　　）
A．若，则弧的度数为
B．若，则弧的度数为
C．若，则弧的度数为
D．若，则弧的度数为
11．（2024九下·宁波模拟）不等式的解集是　 　．
12．（2024九下·宁波模拟）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点的坐标是　 　．
13．（2024九下·宁波模拟）为了弘扬中华传统文化，营造书香校园文化氛围，某学校举行中华传统文化知识大赛活动，该学校从两名女生和一名男生中随机选出两名同学担任本次活动的主持人，选出的恰好为一男一女的概率是　 　．
14．（2024九下·宁波模拟）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的解集是　 　．
15．（2024九下·宁波模拟） 若关于x的方程的一个实数根，另一个实数根，则关于x的二次函数图象的顶点到x轴距离h的取值范围是　 　．
16．（2024九下·宁波模拟）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 　 　，的最大值为 　 　．
17．（2024九下·宁波模拟）先化简，再求值： ，其中 .小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
原式 ① ② ③ 当 时，原式 .
18．（2024九下·宁波模拟）已知二次函数，当时，，时，．
（1）求a，c的值．
（2）当时，求函数y的值．
19．（2024九下·宁波模拟）某学校计划组织学生开展课外活动，活动备选地点分别为美术馆A、纪念馆B、科技馆C、博物馆D．为了解全校学生最喜欢的活动地点，随机调查了部分学生（每人仅选一个）
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）在本次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）求出m的值，并将条形统计图补充完整．
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生最喜欢的活动地点为B的人数．
20．（2024九下·宁波模拟）如图，在中，，点是中点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
21．（2024九下·宁波模拟）设函数，函数（，b是常数，）．
（1）若函数和函数的图像交于点，点，
①求b，n的值．
②当时，直接写出x的取值范围．
（2）若点在函数的图像上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数的图像上，求m的值．
22．（2024九下·宁波模拟）某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A，B间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A；②再在河的这一边选定点B和点C，使；③再选定点E，使，然后用视线确定和的交点D．
（1）用皮尺测得，，，求河宽．
（2）请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度的方案．
要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示，直接标注在图2中的线段上；②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗杆高度．
23．（2024九下·宁波模拟）已知二次函数的图象经过点．
（1）若该二次函数图象与轴的一个交点是．
①求二次函数的表达式：
②当时，函数最大值为，最小值为．若，求t的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点，当时，始终有．求的取值范围．
24．（2024九下·宁波模拟）如图，△ABC是圆O的内接三角形，连结BO并延长交AC于点D，设∠ACB＝，∠BAC＝m．
（1）若＝30°，求∠ABD的度数；
（2）若∠ADB＝n＋90°，求证m＋n＝1；
（3）若弧AB长是⊙O周长的，2∠ADB＝5∠CBD，求．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是 ；
故答案为：A.
【分析】只有符号不同的两个数才叫互为相反数，根据定义解答即可.
2．【答案】D
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A.－3＋2＝－1≠-5，故错误；
B.（－3）×（－5）＝15≠-15，故错误；
C.－（－22）＝4≠-4，故错误；
D.－（－3）2＝－9，正确.
故答案为：D.
【分析】根据有理数的加减运算与乘方运算及乘法的运算法则逐一计算可得.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据216000用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】把一个绝对值大于 1 的数表示成 a× 10 n ，其中 1≤ a <10 ， n 等于原数整数位数减 1 ．
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得，
即为等腰三角形，
又，
为等边三角形．
故，
．
故答案为：B．
【分析】根据矩形得到，，即可得到为等边三角形，解题即可．
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】20出现了9次，出现的次数最多，所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元；
30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20，它们的平均数为17.5，所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元.
故答案为：B.
【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数； 众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此求解即可.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点．
OB=OD=5
∵AB=CD=8，
∴BM=DN=4，
由垂径定理，勾股定理得：OM=ON==3，
∵AB，CD是互相垂直的两条弦，
∴∠DPB=90°
∵，，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是正方形，
∴OP==，
故选C．
【分析】连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点，先利用垂径定理求出BM，由勾股定理求得OM的长，再证明四边形OMPN是正方形，利用勾股定理可求出正方形的对角线OP的长．
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；同旁内角互补，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD=，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误.
故答案为：D．
【分析】由作图知CM=CD=DN，根据同圆中，相等得弦所对的圆心角相等可得∠COM=∠COD，据此可判断A选项；根据三边相等的三角形是等边三角形得△OMN是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都等于60°及同圆中，相等得弦所对的圆心角相等可得∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，据此可判断B选项；根据三角形的内角和定理及等边对等角得∠OCD=∠OCM= ，推出∠MCD=，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠CMN=∠AON=∠COD，从而可根据同旁内角互补，两直线平行推出MN∥CD，据此可判断C选项；根据两点之间线段最短可判断D选项.
8．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 若a>b，则，当m<0时，不成立，故不符合题意；
B、 若，则 ，正确，故符合题意；
C、 若，根据不等式的性质1，不一定成立， 故不符合题意；
D、 若，当m≠0时， 故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质及不等式的性质逐项判断即可.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴，，
∴，，
即：或，
解得：或，
∵取正数，
故：，
故答案为：C．
【分析】把两点代入解析式得到方程组解题即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
设的度数是，
则，
过，
，
，
，
，，
，
解得：，
即的度数是，
A．当时，的度数是，故本选项不符合题意；
B．当时，的度数是，故本选项符合题意；
C．当，即时，的度数是或，故本选项不符合题意；
D．当时，的度数是或，故本选项不符合题意；
故选：B.
【分析】连接，得到，然后利用三角形外角的性质可得，得到的度数为，然后逐项判断即可．
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项，得：．
所以，不等式的解集是：．
故答案为：．
【分析】直接解不等式即可．
12．【答案】
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：根据题意，从点A平移到点，横坐标是，
故点的坐标是
故答案为：．
【分析】利用点的平移坐标变化规律“左减右加”解题即可．
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中选出的恰好为一男一女的有4种，
∴选出的恰好为一男一女的概率是，
故答案为：．
【分析】列树状图得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式解题即可．
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与的交点的横坐标为，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】得到直线位于下方的自变量的取值范围即可解题．
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得：时，，时，，
∴，解得：，
二次函数顶点的纵坐标为：，
，
又，
当时，在时，取得最大值，即：当时，，
在时，取得最小值，即：当时，，
∴ 图象的顶点到x轴的距离h的最小值是，图象的顶点到x轴的距离h的最大值是，
h的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先根据方程的两个实数根和列出关于k的一元一次不等式组，求得k的取值范围，再根据二次函数的顶点坐标，求出在k范围内的顶点到x轴距离h的取值范围．
16．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；圆的相关概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当三等共线时，最大，
∴的最大值为；
故答案为：，．
【分析】连接，得到，，即可得到，求出，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，即当三点共线，最大，解题即可．

17．【答案】解：错误步骤的序号是①.
；
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得.
18．【答案】（1）解：由题意，得：，
解得：，
∴；

（2）解：由（1）知：，
∴，
∴当时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把点的坐标代入解方程组即可；
（2）把代入解析式，求出y的值解题．
19．【答案】（1）解：本次共调查的学生有（名）；
（2）解：D类活动对应扇形的圆心角为，
C对应人数为（名），补全条形图如下：
（3）解：（名），
答：估计该校最喜欢的活动地点为“B”的学生人数大约为240名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据选择A的人数除以占比即可解题；
（2）用乘以选择D的占比可得圆心角m的值；然后用总量减去其它组人数求出选择C的人数，补全统计图即可；
（3）利用1200乘以喜欢“B”的占比解题即可．
20．【答案】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形，
∵，点D是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，点D是的中点，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先得到是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，证明结论；
（2）根据30°角的直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理求得长，再根据菱形的性质和三角形面积关系得到解题即可．
21．【答案】（1）解： ①把点代入到中，得
把代入到中，得
再把和代入到中，得
解得：
综上：．
②如图所示：
解得：
结合图像，当时，
x的取值范围是：或．
（2）解： 根据题意，
把点C，D代入到中，得
解得：
综上：．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式即可．
②联立两个解析式求出交点坐标，结合图像解题即可．
（2）表示出点D的坐标，再把C，D两点坐标代入解方程组即可．
22．【答案】（1）解：∵，，∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：河宽为95m．
（2）解：如图．
①将标杆竖立在一个适当的位置，使点C和标杆的顶点D，旗杆的顶点A三点在一条直线上，
②测出，．
③计算旗杆的高度：
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴旗杆的高．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据，可以得到，即可得到，解题即可．
（2）将标杆竖立在地面适当的位置，使点C、D、A三点共线，测量可得，．得到，即可得到，得到，求出旗杆高即可．
23．【答案】（1）解：①把分别代入得
，解得，
∴抛物线解析式为；
②∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴当时，时，函数有最小值-4，即N=-4，
当或时，函数有最大值，即，
∵，
∴ t2-2t-3-（-4）=3，
解得（舍去），，
∴的值为；
（2）解：∵二次函数的图象经过点，∴，
解得，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∵在抛物线上，且，
∴点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，
∴，
∴或，
∵，
∴或，
解得或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法得到函数解析式即可；
②先配方可得，可得顶点坐标为，再利用得，所以，即时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，然后列方程求出t值即可；
（2） 把 代入得到，即可得到对称轴是直线，然后利用二次函数的性质可知点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，即，然后利用得到或，从而得到的范围．
24．【答案】（1）解：连接OA，如图：
∵∠ACB＝＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°；
（2）证明：延长BD交⊙O于E，连接CE，如图：
∵BE为⊙O直径，
∴∠BCE＝90°，即∠ACE＝90°﹣，
△CDE中，∠E＝∠A＝m，∠EDC＝∠ADB＝n＋90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠E﹣∠EDC＝90°﹣m﹣n，即∠ACE＝90°﹣m﹣n，
∴90°﹣＝90°﹣m﹣n，
∴m＋n＝1；
（3）解：过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，如图：
∵弧AB长是⊙O周长的，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∠ACB＝∠AOB＝45°，
∴△DCM、△BDN是等腰直角三角形，
∵2∠ADB＝5∠CBD，
∴2（∠CBD＋∠ACB）＝5∠CBD，
∴2∠ACB＝3∠CBD，
∴∠CBD＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠CBD﹣∠ABO＝60°，
设MD＝MC＝t，
在Rt△DCM中，CD＝MD＝t，
在Rt△BDM中，BD＝2DM＝2t，
在Rt△BDN中，DN＝＝t，
在Rt△ADN中，AD＝＝＝t，
∴＝＝．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OA，证明△AOB是等边三角形解题即可；
（2）延长BD交⊙O于E，连接CE，用不同的方法表示∠ACE，得到等式解题即可；
（3）过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，即可得到∠AOB=90°，从而可得△AOB、△DCM、△BDN是等腰直角三角形，然后利用2∠ADB=5∠CBD，得到∠CBD=30°，∠BAC=60°，设MD=MC=t，然后表示CD、BD、DN、AD长，然后表示面积比即可 ．
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