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2024年浙江省湖州市中考数学模拟预测练习模拟预测题
1．（2024九下·湖州模拟）2024的倒数是（　　）
A．2024 B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2024的倒数是 .
故答案为：C.
【分析】根据倒数的定义求解即可.
2．（2024九下·湖州模拟）下列四个车标图形中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项不是中心对称图形；
B选项是中心对称图形；
C选项不是中心对称图形；
D选项不是中心对称图形；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称的概念“将图形绕对称中心旋转能和原图形重合就是中心对称图形”逐项判断即可．
3．（2024九下·湖州模拟）杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，最高有人同时在线上参与活动． 将数字用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】本题考查科学记数法表示大于10的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，且比位数少1. 得a=1.1，n=8，据此可选出答案.
4．（2024九下·湖州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故该选项错误，不合题意；
B．，故该选项错误，不合题意；
C．，故该选项错误，不合题意；
D．，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则分别计算，即可得出正确答案．
5．（2024九下·湖州模拟）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25
人数 2 5 8 9 6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）
A．20、15 B．20、17.5 C．20、20 D．15、15
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】20出现了9次，出现的次数最多，所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元；
30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20，它们的平均数为17.5，所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元.
故答案为：B.
【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数； 众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此求解即可.
6．（2024九下·湖州模拟）如图，用12块相同的长方形地板砖拼成一个矩形，设长方形地板砖的长和宽分别为和，则根据题意，列方程式组正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设长方形地板砖的长和宽分别为和，
由题意得，，
故答案为：C．
【分析】设长方形地板砖的长和宽分别为和，根据大长方形的对边相等列方程组解题．
7．（2024九下·湖州模拟）如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若CD＝4，则菱形OABC的面积为（　　）
A．15 B．20 C．29 D．24
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点C，CD⊥x轴，
∴S△COD＝×12＝6．
∵CD＝4，
∴OD＝3．
∴由勾股定理得OC＝＝5．
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝5．
∴S菱形OABC＝OA CD＝5×4＝20．
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义得到S△COD＝6，即可得到OD＝3，然后利用勾股定理求出OC＝＝5，再利用据菱形的四条边相等得到OC＝OA＝5，然后求面积即可．
8．（2024九下·湖州模拟）如图，C是上一点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设点P是优弧上的一点，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】设点P是优弧上的一点，连接、，利用圆周角定理得到，再利用圆内接四边形的对角互补得到的度数解题．
9．（2024九下·湖州模拟）甲、乙两人沿相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中、分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程（千米）随时间（分）两个变量之间关系的图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了后遇到甲．其中正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度千米/时；故②正确；
③设乙出发分钟后追上甲，则有：，解得，
乙第一次遇到甲时，所走的距离为：，故③错误；
所以正确的结论有两个：①②．
故答案为：B．
【分析】观察函数图象得到甲、乙到达时间判断①；根据速度=路程÷时间求出甲的速度判断②；设乙出发分钟后追上甲，根据行驶路程相等列方程求出x值判断③；解题即可．
10．（2024九下·湖州模拟）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正切值
【解析】【解答】解：BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，
故A选项正确，
将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
，
，
故B选项正确，
，
∴EG∥HF，
故C正确
设，则，
，
即
，同理可得
若
则
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正确．
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质以及勾股定理求出BD长判断A，利用折叠的性质求得长，判断B，根由折叠得到判断C，再利用勾股定理得到长，利用平行线线段成比例，判断D解题即可.
11．（2024九下·湖州模拟）已知是一元二次方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】将代入方程，解关于k的一元一次方程即可．
12．（2024九下·湖州模拟）因式分解： =　 　
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
【分析】分解因式能提公因式先提公因式然后运用其他因式分解彻底即可。
13．（2024九下·湖州模拟）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为　 　m．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案为：．
【分析】先得到△ABC∽△OPC，再根据相似三角形的对应边成比例得到OP长即可解题．
14．（2024九下·湖州模拟）在一个不透明的口袋中装有8个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为 ，则白球的个数为　 　．
【答案】12
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设该盒中白球的个数为 个，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验： 是分式方程的解，
所以该盒中白球的个数为12个，
故答案为：12．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
15．（2024九下·湖州模拟）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
【分析】求出正五边形的内角的度数，然后利用扇形面积公式计算即可．
16．（2024九下·湖州模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图象上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，根据正方形的性质，利用AAS得到≌≌，即可得到点C和点D的坐标，进而得到，求出k值即可．
17．（2024九下·湖州模拟）计算：
【答案】解：
=
=1-1+1+2
=3.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、0指数幂的意义、负整数指数幂的意义分别化简，然后根据很乘方的有理数的混合运算顺序算出答案即可.
18．（2024九下·湖州模拟）解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有的整数解．
【答案】解：解不等式①得x＞1，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集是1不等式组的解集在数轴上表示如图，
∴不等式组的整数解为：2，3，4．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得到不等式组的解集，并表示在数轴上，写出整数解即可．
19．（2024九下·湖州模拟）为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我区开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，诵读活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）这次抽样调查的总人数为　 　；
（2）若该校有1200名学生，估计选择参加书法的有　 　人；
（3）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数；
（4）学校准备从推荐的5位同学（两男三女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．
【答案】（1）200
（2）240
（3）参加舞蹈”的学生人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），则，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数：360°×＝36°，
补全统计图如下：
（4）画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰为一男一女的结果有12种，
∴恰为一男一女的概率为＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）这次抽样调查的总人数为：80÷40%＝200（人），
故答案为：200；
（2）估计选择参加书法的有：1200×＝240（人），
故答案为：240；
【分析】（1）根据唱歌人数除以它所占的百分比求出总人数即可；
（2）运用1200乘以书法的占比解题即可；
（3）运用总人数减去其它组人数得到参加舞蹈的人数补图；然后根据诵读人数的占比乘以360°求出圆心角即可；
（4）画树状图得到所有等可能结果，找出符合要求的结果数，然后利用概率公式计算即可.
20．（2024九下·湖州模拟）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N，
由题意可知，，
在中，，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作于点N，然后根据解直角三角形可得，求出CN长解题即可；
（2）过A作交的延长线于点M，过点C作于点F，在中，利用三角函数的到AF长，然后利用线段的和差解题即可．
21．（2024九下·湖州模拟）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，与相交于点E．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵与BC相切于点D
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的平分线；

（2）解：∵∴在中；
∵，
，
设圆的半径为r，
∴
解得，
∴圆的半径为3
∴．
【知识点】勾股定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得，再根据，可以得到，然后根据平行线的性质得到，根据等边对等角得到，即可得到结论；
（2）设圆的半径为r，在中运用勾股定理解题即可．
22．（2024九下·湖州模拟）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】解：（1）∵反比例函数，直线：，∴联立得：，
解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块，与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；
把代入得：，
解得：，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）联立解析式，求交点坐标即可；
（2）利用得到，在图中画出图象，观察与反比例函数图象有无交点，判断即可；
（3）过点作的平行线，即可得到直线的图象，把点代入解析式，求出a的值解题；
（4）联立得方程有实数根，利用判别式求得，再判断出反比例函数图象经过点，，即当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；借助图象解题即可．
23．（2024九下·湖州模拟）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
【答案】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；
②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y= x2+bx+c，
得，解得；
（2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCM，
∴，即．
整理，得，即（0≤m≤3）．
∴当时，n的值最大，最大值是．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得到点的坐标；
②利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据题意得到Rt△ABP∽Rt△PCM，然后利用相似三角形的对应边成比例得到n关于m的二次函数，配方找到最值即可．
24．（2024九下·湖州模拟）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．
（1）如图1，连接，求的度数和的值；
（2）如图2，当点在射线上时，求线段的长；
（3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．
【答案】（1）解：∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
由矩形和矩形可得，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如答案图1，过点作于点，由矩形和矩形可得，，
，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如答案图2，连接，∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，
∴，，，
∴，
∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切求出，由矩形和矩形，证明，利用相似三角形的性质解题即可；
（2）过点作于点，由矩形和矩形可得，得到，即可求得，设，则有，即可得到，求出x的值解题即可；
（3）连接，得到是等边三角形，即可得出，把绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，即可得到，，，进而求得，当点，，三点共线时，的值最小，然后求出最小值即可．
1 / 12024年浙江省湖州市中考数学模拟预测练习模拟预测题
1．（2024九下·湖州模拟）2024的倒数是（　　）
A．2024 B． C． D．
2．（2024九下·湖州模拟）下列四个车标图形中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·湖州模拟）杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，最高有人同时在线上参与活动． 将数字用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·湖州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·湖州模拟）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25
人数 2 5 8 9 6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）
A．20、15 B．20、17.5 C．20、20 D．15、15
6．（2024九下·湖州模拟）如图，用12块相同的长方形地板砖拼成一个矩形，设长方形地板砖的长和宽分别为和，则根据题意，列方程式组正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·湖州模拟）如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若CD＝4，则菱形OABC的面积为（　　）
A．15 B．20 C．29 D．24
8．（2024九下·湖州模拟）如图，C是上一点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·湖州模拟）甲、乙两人沿相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中、分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程（千米）随时间（分）两个变量之间关系的图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了后遇到甲．其中正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．（2024九下·湖州模拟）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC
11．（2024九下·湖州模拟）已知是一元二次方程的一个根，则的值为　 　．
12．（2024九下·湖州模拟）因式分解： =　 　
13．（2024九下·湖州模拟）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为　 　m．
14．（2024九下·湖州模拟）在一个不透明的口袋中装有8个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为 ，则白球的个数为　 　．
15．（2024九下·湖州模拟）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
16．（2024九下·湖州模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是　 　．
17．（2024九下·湖州模拟）计算：
18．（2024九下·湖州模拟）解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有的整数解．
19．（2024九下·湖州模拟）为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我区开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，诵读活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）这次抽样调查的总人数为　 　；
（2）若该校有1200名学生，估计选择参加书法的有　 　人；
（3）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数；
（4）学校准备从推荐的5位同学（两男三女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．
20．（2024九下·湖州模拟）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
21．（2024九下·湖州模拟）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，与相交于点E．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，，求的长．
22．（2024九下·湖州模拟）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
23．（2024九下·湖州模拟）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
24．（2024九下·湖州模拟）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．
（1）如图1，连接，求的度数和的值；
（2）如图2，当点在射线上时，求线段的长；
（3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2024的倒数是 .
故答案为：C.
【分析】根据倒数的定义求解即可.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项不是中心对称图形；
B选项是中心对称图形；
C选项不是中心对称图形；
D选项不是中心对称图形；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称的概念“将图形绕对称中心旋转能和原图形重合就是中心对称图形”逐项判断即可．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】本题考查科学记数法表示大于10的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，且比位数少1. 得a=1.1，n=8，据此可选出答案.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故该选项错误，不合题意；
B．，故该选项错误，不合题意；
C．，故该选项错误，不合题意；
D．，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则分别计算，即可得出正确答案．
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】20出现了9次，出现的次数最多，所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元；
30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20，它们的平均数为17.5，所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元.
故答案为：B.
【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数； 众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此求解即可.
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设长方形地板砖的长和宽分别为和，
由题意得，，
故答案为：C．
【分析】设长方形地板砖的长和宽分别为和，根据大长方形的对边相等列方程组解题．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点C，CD⊥x轴，
∴S△COD＝×12＝6．
∵CD＝4，
∴OD＝3．
∴由勾股定理得OC＝＝5．
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝5．
∴S菱形OABC＝OA CD＝5×4＝20．
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义得到S△COD＝6，即可得到OD＝3，然后利用勾股定理求出OC＝＝5，再利用据菱形的四条边相等得到OC＝OA＝5，然后求面积即可．
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设点P是优弧上的一点，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】设点P是优弧上的一点，连接、，利用圆周角定理得到，再利用圆内接四边形的对角互补得到的度数解题．
9．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度千米/时；故②正确；
③设乙出发分钟后追上甲，则有：，解得，
乙第一次遇到甲时，所走的距离为：，故③错误；
所以正确的结论有两个：①②．
故答案为：B．
【分析】观察函数图象得到甲、乙到达时间判断①；根据速度=路程÷时间求出甲的速度判断②；设乙出发分钟后追上甲，根据行驶路程相等列方程求出x值判断③；解题即可．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正切值
【解析】【解答】解：BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，
故A选项正确，
将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
，
，
故B选项正确，
，
∴EG∥HF，
故C正确
设，则，
，
即
，同理可得
若
则
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正确．
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质以及勾股定理求出BD长判断A，利用折叠的性质求得长，判断B，根由折叠得到判断C，再利用勾股定理得到长，利用平行线线段成比例，判断D解题即可.
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】将代入方程，解关于k的一元一次方程即可．
12．【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
【分析】分解因式能提公因式先提公因式然后运用其他因式分解彻底即可。
13．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案为：．
【分析】先得到△ABC∽△OPC，再根据相似三角形的对应边成比例得到OP长即可解题．
14．【答案】12
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设该盒中白球的个数为 个，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验： 是分式方程的解，
所以该盒中白球的个数为12个，
故答案为：12．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
15．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
【分析】求出正五边形的内角的度数，然后利用扇形面积公式计算即可．
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图象上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，根据正方形的性质，利用AAS得到≌≌，即可得到点C和点D的坐标，进而得到，求出k值即可．
17．【答案】解：
=
=1-1+1+2
=3.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、0指数幂的意义、负整数指数幂的意义分别化简，然后根据很乘方的有理数的混合运算顺序算出答案即可.
18．【答案】解：解不等式①得x＞1，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集是1不等式组的解集在数轴上表示如图，
∴不等式组的整数解为：2，3，4．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得到不等式组的解集，并表示在数轴上，写出整数解即可．
19．【答案】（1）200
（2）240
（3）参加舞蹈”的学生人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），则，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数：360°×＝36°，
补全统计图如下：
（4）画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰为一男一女的结果有12种，
∴恰为一男一女的概率为＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）这次抽样调查的总人数为：80÷40%＝200（人），
故答案为：200；
（2）估计选择参加书法的有：1200×＝240（人），
故答案为：240；
【分析】（1）根据唱歌人数除以它所占的百分比求出总人数即可；
（2）运用1200乘以书法的占比解题即可；
（3）运用总人数减去其它组人数得到参加舞蹈的人数补图；然后根据诵读人数的占比乘以360°求出圆心角即可；
（4）画树状图得到所有等可能结果，找出符合要求的结果数，然后利用概率公式计算即可.
20．【答案】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N，
由题意可知，，
在中，，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作于点N，然后根据解直角三角形可得，求出CN长解题即可；
（2）过A作交的延长线于点M，过点C作于点F，在中，利用三角函数的到AF长，然后利用线段的和差解题即可．
21．【答案】（1）证明：连接OD，
∵与BC相切于点D
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的平分线；

（2）解：∵∴在中；
∵，
，
设圆的半径为r，
∴
解得，
∴圆的半径为3
∴．
【知识点】勾股定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得，再根据，可以得到，然后根据平行线的性质得到，根据等边对等角得到，即可得到结论；
（2）设圆的半径为r，在中运用勾股定理解题即可．
22．【答案】解：（1）∵反比例函数，直线：，∴联立得：，
解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块，与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；
把代入得：，
解得：，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）联立解析式，求交点坐标即可；
（2）利用得到，在图中画出图象，观察与反比例函数图象有无交点，判断即可；
（3）过点作的平行线，即可得到直线的图象，把点代入解析式，求出a的值解题；
（4）联立得方程有实数根，利用判别式求得，再判断出反比例函数图象经过点，，即当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；借助图象解题即可．
23．【答案】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；
②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y= x2+bx+c，
得，解得；
（2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCM，
∴，即．
整理，得，即（0≤m≤3）．
∴当时，n的值最大，最大值是．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得到点的坐标；
②利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据题意得到Rt△ABP∽Rt△PCM，然后利用相似三角形的对应边成比例得到n关于m的二次函数，配方找到最值即可．
24．【答案】（1）解：∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
由矩形和矩形可得，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如答案图1，过点作于点，由矩形和矩形可得，，
，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如答案图2，连接，∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，
∴，，，
∴，
∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切求出，由矩形和矩形，证明，利用相似三角形的性质解题即可；
（2）过点作于点，由矩形和矩形可得，得到，即可求得，设，则有，即可得到，求出x的值解题即可；
（3）连接，得到是等边三角形，即可得出，把绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，即可得到，，，进而求得，当点，，三点共线时，的值最小，然后求出最小值即可．
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