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浙江省温州市2024年初中学业水平考试数学模拟预测试题
1．（2024·温州模拟）某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86 B．83 C．87 D．80
2．（2024·温州模拟）如图是一个放置在水平桌面上的陀螺的示意图，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·温州模拟）第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，数据216000用科学记数法表示为（ ）
A．2.16×105 B．21.6×104 C．2.16×104 D．216×103
4．（2024·温州模拟）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·温州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·温州模拟）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·温州模拟）如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·温州模拟）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）
A．80米 B．米 C．160米 D．米
9．（2024·温州模拟）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·温州模拟）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连接，，，，若，则的面积为（ ）
A．40 B．45 C． D．
11．（2024·温州模拟）把多项式分解因式的结果是 ．
12．（2024·温州模拟）一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为 ．
13．（2024·温州模拟）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
14．（2024·温州模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2024·温州模拟）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
16．（2024·温州模拟）如图是矩形，它由三个直角三角形和一个梯形组成，将其重新组成不重叠、无缝隙的正方形（如图）．连结，交于点．此时点，，在同一直线上，若，则正方形边长为 ，连结交于点，则的值为 ．
17．（2024·温州模拟）（）计算：．
（）解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有的整数解．
18．（2024·温州模拟）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，请按要求画图．
（1）在图1中画出一个格点，使，且与的长度都是无理数．
（1）在图2中画出一个格点四边形，使，且四边形的面积为5．
19．（2024·温州模拟）为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 87.2 85 91
八年级 85.3 m 90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ；
（3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选；
（4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
20．（2024·温州模拟）如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集．
21．（2024·温州模拟）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上．
①若，则______．
②若，与的周长分别为，则______，______．
【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上，将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长．
22．（2024·温州模拟）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
23．（2024·温州模拟）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
（1）若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
24．（2024·温州模拟）如图，点E，F分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点G，且与相切，连连接．
（1）若，求证：．
（2）若，．
①求的长．
②连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长．
（3）连接，若的延长线经过点A，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故答案为：D．
【分析】选择平均分为标准记为0，超过部分记为正，不足部分记为负，据此即可求解.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：一个放置在水平桌面上的陀螺，它的俯视图为1个圆．
故答案为：
【分析】根据从物体的上面看到的图形是俯视图解答即可．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 216000 = 2.16×105.
故答案为：A
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
∴被抽到的2名同学都是男生的概率为，
故答案为：B。
【分析】先画树状图，再求出一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，最后求概率即可。
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则逐项计算判断即可。
6．【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B．
【分析】原式先通分，根据同分母分式的减法合并，然后约分解题即可．
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，则，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据一次函数解析式得到点的坐标，根据旋转得到AC和CD的长，进而得出轴，得到点D的坐标即可．
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点D，
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故答案为：B.
【分析】过点A作于点D，利用三角形的外角得到，根据等角对等边求出米，再在中，根据正弦的定义求出长解题．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
∵，
，
解得：，
故答案为：B.
【分析】先求出OD，再根据垂径定理求出AD，再利用勾股定理得到关于R的方程，求出半径R．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
连接并延长交于点，
∵四边形，是正方形，且；共线，
∴
∴
设，依题意
∵
∴，
即①，
∴②
由①②得，
∵
∴③
将③代入①得
解得：（负值舍去），则
∵，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：A．
【分析】连接并延长交于点，设，即可得到，求出，，求出a，b的值，即可求出，再利用三角形面积的公式计算解题．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
12．【答案】6
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和个白球，
∴由简单概率公式可得，解得，
∴白球有6个，
故答案为：6．
【分析】根据白球概率得到黑球概率，然后根据概率公式列方程解题即可．
13．【答案】人
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：根据：2艘大船游客+3艘小船游客=人，1艘大船游客+1艘小船游客=人．列出二元一次方程组，解方程组可求出x和y的值，进而可求出答案．
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FA交⊙A于点G，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB=2，，
∴∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为：．
【分析】延长FA交⊙A于点G，根据正多边形的性质得AB=2，，从而得∠FAB=120°，进而利用扇形面积公式进行求解.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为m，根据题意得到，即可得到，然后把B、E点坐标代入解析式可得，求出m值即可解题．
16．【答案】；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，即，
，
，即，
，
，
，
，
，
设，则，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
解得：，（舍，
，
正方形边长为，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
故答案为：，．
【分析】根据正方形的性质得到，即可得到，然后得到，即可得到求出的长，从而计算正方形边长长；根据勾股定理计算和的长，利用平行线分线段成比例得到，求出的长，同理得到的长，解题即可．
17．【答案】解：（）解：原式，
；
（）解：，
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集是，
不等式组的解集在数轴上表示如图，
∴不等式组的整数解为：．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（）先代入特殊角的三角函数值、运算零指数幂和负整数指数幂，绝对值，然后合并解题即可；
（）分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分并表示在数轴上即可.
18．【答案】解：（1）如图所示，即为所求（答案不唯一）；
（2），四边形的面积为5，，
，
解得，
①利用勾股定理作，使得，
②再将向左平移3个单位长度得到，
③顺次连接点，
如图所示，四边形即为所求（答案不唯一）．
【知识点】勾股定理；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据勾股定理、无理数的定义作直角三角形即可；
（2）利用勾股定理、平移的性质作图即可．
19．【答案】（1）83.5
（2）①八，②该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）88
（4）解：因为成绩85分及以上有20人，
所以300= 120(人)，
所以八年级达到优秀的人数为120人
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分，
∴m= = 83.5(分)；
故答案为： 83.5；
（2）在八年级排名更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分，
∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，
∴在八年级排名更靠前；
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）根据题意得：
×50=15(人)
则在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛，
所以至少达到88分；
故答案为： 88；
【分析】(1)利用中位数的定义解答即可；
(2)根据七、八年级的中位数解答即可；
(3)根据题意可得在抽取的学生中必须有15人参加线上建党知识竞赛，观察直方图解答即可；
(4)用样本的优秀率乘以300解答即可．
20．【答案】（1）解：将，代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将代入，得，
∴反比例的解析式为
（2）解：对于，当时，
∴点D的坐标为，
由，解得或，
∴点B的坐标为，
∴的面积
（3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点，代入，得：，解此方程组即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后利用割补法求面积得：的面积，进而计算即可；
（3）直接写出一次函数在反比例函数下方的横坐标的集合即可．
21．【答案】解：（1）①
②，
（2）延长、交于点，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴，
∴，
∴，
，则
∵，，
∴，，，
∴周长为，
的周长为，
∴代入可得，
解得，
∴或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴∠A+∠AED=∠EDF+∠BDF，即60°+∠AED=°+∠BDF，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
②设，则，，
∴周长分别为，
的周长分别为，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）①由等边三角形的性质得，由折叠性质得，，由角的构成及三角形外角性质推出，由有两组角对应相等的两个三角形相似得到，由相似三角形对应边成比例得到；
②设，则，，根据三角形周长计算公式、等量代换及线段的和差分别表示出△ADE与△BFD的周长，即可求出两三角形的周长比；进而根据相似三角形对应边成比例可得，计算即可；
（2）延长AC、BF交于点M，由三角形的内角和定理得∠ABC=30°，由含30°角直角三角形的性质得AB=2AC，由角平分线定义可推出∠A=∠ABM=60°，由有两个角为60°的三角形是等边三角形可证△ABM是等边三角形，由等边三角形的三边相等，三个内角都相等得，由折叠得，，根据角的构成及三角形外角性质推出，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边的比等于周长的比得，设，表示出和的边长和周长，从而建立方程，求解即可.
22．【答案】（1）解：如图，作，垂足为点
在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为
（2）解：没有危险，理由如下：
过作，垂足为点
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作，垂足为点，根据正弦求出的长，然后根据线段的和差解题即可；
（2）过作，垂足为点，即可得到，然后求出∠C'B'F的度数，根据余弦求出B'F长，解答即可．
23．【答案】（1）（1）①如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是
（2）解：的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)①由顶点A(2，2)得， 设 再根据抛物线过点(0，1.5)，可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点(0，1.5)的对称点为(4，1.5)， 则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据 求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
(2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，设点，，，代入解析式求出m，h值解题即可.
24．【答案】（1）证明：∵为直径，
∴．
在和中，
∴
（2）解：①∵与相切，∴，
∴，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴；
②若是以为腰的等腰三角形，
Ⅰ．当时，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：
∴；
Ⅱ．当时，
∵，
∴．
∵．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知：，即，
∵是直角三角形，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
综上，若是以为腰的等腰三角形，满足条件的的长为或
（3）解：∵为圆的直径，∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵
∴
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴
∵
∴
∴，
∴．
设，则，
∴．
连接，过点E作，分别交于点H，交于点，如图，
则
∴，
∵，
∴
∴点分别是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；切线的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据HL证明两三角形全等即可；
（2）①根据切线得到，由矩形得到，即可得到，根据对应边成比例得到解题即可；
②当时，先得到，即可得到，利用勾股定理列方程求出BC即可；当时，根据两角对应相等得到，即可得到，然后利用勾股定理解答即可；
（3）先根据HL得到和，即可得到，根据三角形的中位线可得，设，即可得到，连接，过点E作，分别交于点H，交于点，求出，然后得到，利用对应边成比例解题即可．
1 / 1浙江省温州市2024年初中学业水平考试数学模拟预测试题
1．（2024·温州模拟）某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86 B．83 C．87 D．80
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故答案为：D．
【分析】选择平均分为标准记为0，超过部分记为正，不足部分记为负，据此即可求解.
2．（2024·温州模拟）如图是一个放置在水平桌面上的陀螺的示意图，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：一个放置在水平桌面上的陀螺，它的俯视图为1个圆．
故答案为：
【分析】根据从物体的上面看到的图形是俯视图解答即可．
3．（2024·温州模拟）第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，数据216000用科学记数法表示为（ ）
A．2.16×105 B．21.6×104 C．2.16×104 D．216×103
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 216000 = 2.16×105.
故答案为：A
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．（2024·温州模拟）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
∴被抽到的2名同学都是男生的概率为，
故答案为：B。
【分析】先画树状图，再求出一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，最后求概率即可。
5．（2024·温州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则逐项计算判断即可。
6．（2024·温州模拟）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B．
【分析】原式先通分，根据同分母分式的减法合并，然后约分解题即可．
7．（2024·温州模拟）如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，则，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据一次函数解析式得到点的坐标，根据旋转得到AC和CD的长，进而得出轴，得到点D的坐标即可．
8．（2024·温州模拟）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）
A．80米 B．米 C．160米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点D，
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故答案为：B.
【分析】过点A作于点D，利用三角形的外角得到，根据等角对等边求出米，再在中，根据正弦的定义求出长解题．
9．（2024·温州模拟）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
∵，
，
解得：，
故答案为：B.
【分析】先求出OD，再根据垂径定理求出AD，再利用勾股定理得到关于R的方程，求出半径R．
10．（2024·温州模拟）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连接，，，，若，则的面积为（ ）
A．40 B．45 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
连接并延长交于点，
∵四边形，是正方形，且；共线，
∴
∴
设，依题意
∵
∴，
即①，
∴②
由①②得，
∵
∴③
将③代入①得
解得：（负值舍去），则
∵，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：A．
【分析】连接并延长交于点，设，即可得到，求出，，求出a，b的值，即可求出，再利用三角形面积的公式计算解题．
11．（2024·温州模拟）把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
12．（2024·温州模拟）一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为 ．
【答案】6
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和个白球，
∴由简单概率公式可得，解得，
∴白球有6个，
故答案为：6．
【分析】根据白球概率得到黑球概率，然后根据概率公式列方程解题即可．
13．（2024·温州模拟）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
【答案】人
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：根据：2艘大船游客+3艘小船游客=人，1艘大船游客+1艘小船游客=人．列出二元一次方程组，解方程组可求出x和y的值，进而可求出答案．
14．（2024·温州模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FA交⊙A于点G，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB=2，，
∴∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为：．
【分析】延长FA交⊙A于点G，根据正多边形的性质得AB=2，，从而得∠FAB=120°，进而利用扇形面积公式进行求解.
15．（2024·温州模拟）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为m，根据题意得到，即可得到，然后把B、E点坐标代入解析式可得，求出m值即可解题．
16．（2024·温州模拟）如图是矩形，它由三个直角三角形和一个梯形组成，将其重新组成不重叠、无缝隙的正方形（如图）．连结，交于点．此时点，，在同一直线上，若，则正方形边长为 ，连结交于点，则的值为 ．
【答案】；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，即，
，
，即，
，
，
，
，
，
设，则，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
解得：，（舍，
，
正方形边长为，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
故答案为：，．
【分析】根据正方形的性质得到，即可得到，然后得到，即可得到求出的长，从而计算正方形边长长；根据勾股定理计算和的长，利用平行线分线段成比例得到，求出的长，同理得到的长，解题即可．
17．（2024·温州模拟）（）计算：．
（）解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有的整数解．
【答案】解：（）解：原式，
；
（）解：，
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集是，
不等式组的解集在数轴上表示如图，
∴不等式组的整数解为：．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（）先代入特殊角的三角函数值、运算零指数幂和负整数指数幂，绝对值，然后合并解题即可；
（）分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分并表示在数轴上即可.
18．（2024·温州模拟）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，请按要求画图．
（1）在图1中画出一个格点，使，且与的长度都是无理数．
（1）在图2中画出一个格点四边形，使，且四边形的面积为5．
【答案】解：（1）如图所示，即为所求（答案不唯一）；
（2），四边形的面积为5，，
，
解得，
①利用勾股定理作，使得，
②再将向左平移3个单位长度得到，
③顺次连接点，
如图所示，四边形即为所求（答案不唯一）．
【知识点】勾股定理；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据勾股定理、无理数的定义作直角三角形即可；
（2）利用勾股定理、平移的性质作图即可．
19．（2024·温州模拟）为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 87.2 85 91
八年级 85.3 m 90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ；
（3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选；
（4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
【答案】（1）83.5
（2）①八，②该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）88
（4）解：因为成绩85分及以上有20人，
所以300= 120(人)，
所以八年级达到优秀的人数为120人
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分，
∴m= = 83.5(分)；
故答案为： 83.5；
（2）在八年级排名更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分，
∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，
∴在八年级排名更靠前；
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）根据题意得：
×50=15(人)
则在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛，
所以至少达到88分；
故答案为： 88；
【分析】(1)利用中位数的定义解答即可；
(2)根据七、八年级的中位数解答即可；
(3)根据题意可得在抽取的学生中必须有15人参加线上建党知识竞赛，观察直方图解答即可；
(4)用样本的优秀率乘以300解答即可．
20．（2024·温州模拟）如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：将，代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将代入，得，
∴反比例的解析式为
（2）解：对于，当时，
∴点D的坐标为，
由，解得或，
∴点B的坐标为，
∴的面积
（3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点，代入，得：，解此方程组即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后利用割补法求面积得：的面积，进而计算即可；
（3）直接写出一次函数在反比例函数下方的横坐标的集合即可．
21．（2024·温州模拟）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上．
①若，则______．
②若，与的周长分别为，则______，______．
【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上，将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长．
【答案】解：（1）①
②，
（2）延长、交于点，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴，
∴，
∴，
，则
∵，，
∴，，，
∴周长为，
的周长为，
∴代入可得，
解得，
∴或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴∠A+∠AED=∠EDF+∠BDF，即60°+∠AED=°+∠BDF，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
②设，则，，
∴周长分别为，
的周长分别为，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）①由等边三角形的性质得，由折叠性质得，，由角的构成及三角形外角性质推出，由有两组角对应相等的两个三角形相似得到，由相似三角形对应边成比例得到；
②设，则，，根据三角形周长计算公式、等量代换及线段的和差分别表示出△ADE与△BFD的周长，即可求出两三角形的周长比；进而根据相似三角形对应边成比例可得，计算即可；
（2）延长AC、BF交于点M，由三角形的内角和定理得∠ABC=30°，由含30°角直角三角形的性质得AB=2AC，由角平分线定义可推出∠A=∠ABM=60°，由有两个角为60°的三角形是等边三角形可证△ABM是等边三角形，由等边三角形的三边相等，三个内角都相等得，由折叠得，，根据角的构成及三角形外角性质推出，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边的比等于周长的比得，设，表示出和的边长和周长，从而建立方程，求解即可.
22．（2024·温州模拟）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，作，垂足为点
在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为
（2）解：没有危险，理由如下：
过作，垂足为点
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作，垂足为点，根据正弦求出的长，然后根据线段的和差解题即可；
（2）过作，垂足为点，即可得到，然后求出∠C'B'F的度数，根据余弦求出B'F长，解答即可．
23．（2024·温州模拟）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
（1）若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】（1）（1）①如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是
（2）解：的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)①由顶点A(2，2)得， 设 再根据抛物线过点(0，1.5)，可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点(0，1.5)的对称点为(4，1.5)， 则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据 求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
(2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，设点，，，代入解析式求出m，h值解题即可.
24．（2024·温州模拟）如图，点E，F分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点G，且与相切，连连接．
（1）若，求证：．
（2）若，．
①求的长．
②连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长．
（3）连接，若的延长线经过点A，且，求的值．
【答案】（1）证明：∵为直径，
∴．
在和中，
∴
（2）解：①∵与相切，∴，
∴，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴；
②若是以为腰的等腰三角形，
Ⅰ．当时，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：
∴；
Ⅱ．当时，
∵，
∴．
∵．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知：，即，
∵是直角三角形，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
综上，若是以为腰的等腰三角形，满足条件的的长为或
（3）解：∵为圆的直径，∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵
∴
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴
∵
∴
∴，
∴．
设，则，
∴．
连接，过点E作，分别交于点H，交于点，如图，
则
∴，
∵，
∴
∴点分别是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；切线的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据HL证明两三角形全等即可；
（2）①根据切线得到，由矩形得到，即可得到，根据对应边成比例得到解题即可；
②当时，先得到，即可得到，利用勾股定理列方程求出BC即可；当时，根据两角对应相等得到，即可得到，然后利用勾股定理解答即可；
（3）先根据HL得到和，即可得到，根据三角形的中位线可得，设，即可得到，连接，过点E作，分别交于点H，交于点，求出，然后得到，利用对应边成比例解题即可．
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