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浙江省宁波市2024年初中学业水平考试模拟练习数学模拟预测题
1．（2024·宁波模拟）2024的绝对值是（　　）
A． B． C．－2024 D．2024
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：由题意得，．
故答案为：D．
【分析】根据正数的绝对值是它本身解题即可．
2．（2024·宁波模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式=a6，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a4，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则逐项判断即可．
3．（2024·宁波模拟）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，为1360 000 000参保人提供医保服务，医保信息化标准化取得里程碑式突破．数1360 000 000用科学记数法表示为（　　）
A．1.36×107 B．13.6×108 C．1.36×109 D．0.136×1010
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1360 000 000 = 1.36×109 .
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.
4．（2024·宁波模拟）下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故答案为：D．
【分析】利用从上面看得到的几何图形解答即可．
5．（2024·宁波模拟）某篮球队12名队员的年龄如下表所示：
年龄（岁） 18 19 20 21
人数 5 4 1 2
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是
A．18，19 B．19，19 C．18， D．19，
【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：因为年龄18的人数最多为5，
所以众数是18，
平均数，
故答案为：A．
【分析】根据中暑的顶级和加权平均数的计算公式解答即可.
6．（2024·宁波模拟）如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（　　）
A．1 B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：五边形是正五边形，
，
则弧的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥底面半径为r，则，
∴，
圆锥底面半径为，
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和求出正五边形的内角度数，再利用圆锥侧面弧长等于底面周长解题即可．
7．（2024·宁波模拟）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，，则的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：一次函数与反比例函数的图像交于点，，
，
∴当时，，
，，
的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的范围，即或，
故答案为：C．
【分析】求出反比例函数解析式，即可求出点B的坐标，在借助图象得到直线在双曲线上方时x的值解题即可．
8．（2024·宁波模拟）如图，用12块相同的长方形地板砖拼成一个矩形，设长方形地板砖的长和宽分别为和，则根据题意，列方程式组正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设长方形地板砖的长和宽分别为和，
由题意得，，
故答案为：C．
【分析】设长方形地板砖的长和宽分别为和，根据大长方形的对边相等列方程组解题．
9．（2024·宁波模拟）设函数（为常数），下列说法正确的是（　　）
A．对任意实数，函数与轴都没有交点
B．存在实数，满足当时，函数的值都随的增大而减小
C．取不同的值时，二次函数的顶点始终在同一条直线上
D．对任意实数，抛物线都必定经过唯一定点
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；
B、∵，抛物线的对称轴：，
∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，
即当时，函数y的值都随x的增大而减小，
当时，函数y的值都随x的增大而增大，
即不存在，使得当时，函数y的值都随x的增大而减小，故B错误；
C、∵，
∴抛物线的顶点为
∴，消去k得：，
由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点都满足函数，
即在二次函数的图象上，故C错误；
D、令和，得到方程组：，解得，
将代入，得，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点，故D正确，
故答案为：D.
【分析】A、计算出根的判别式的值，并将判别式的值配成完全平方加常数的形式，进而结合偶数次幂的非负性进行判断；B、根据二次函数的增减性即可判断；C、将解析式配成顶点式，得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k得y＝ x2 x 1，即可判断；D、令k＝1和k＝0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可.
10．（2024·宁波模拟）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故答案为：B．
【分析】根据平行线得到，求出，然后利用，可以得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，再在中利用勾股定理解题即可．
11．（2024·宁波模拟）把多项式分解因式的结果是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
12．（2024·宁波模拟） 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是　 　.
【答案】6
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为
∴，
解得n=6，
经检验x=6为原方程的解，
故答案为：6
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可列出方程，进而即可求解。
13．（2024·宁波模拟）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为　 　．
【答案】人
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：根据：2艘大船游客+3艘小船游客=人，1艘大船游客+1艘小船游客=人．列出二元一次方程组，解方程组可求出x和y的值，进而可求出答案．
14．（2024·宁波模拟）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过　 　分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
∴，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
∴，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
【分析】利用待定系数法分别求出两直线的解析式，然后联立解方程求交点坐标解题即可．
15．（2024·宁波模拟）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为m，根据题意得到，即可得到，然后把B、E点坐标代入解析式可得，求出m值即可解题．
16．（2024·宁波模拟）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到取得最大值时，最大值，连接，并延长交于点，得到当点P再AO的延长线上时，PO最大解题即可．
17．（2024·宁波模拟）（1）解不等式组：．
（2）计算：．
【答案】（1）解：，
由①得；
由②得．
所以，不等式组的解集为．
（2）解：原式
.
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）求两个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分解题；
（2）先计算负整数指数次幂，零指数次幂，绝对值和二次根式，然后合并解题即可．
18．（2024·宁波模拟）如图，在正方形网格上的一个，且每个小正方形的边长为1（其中点A，B，C均在网格上）．
（1）作绕点O逆时针旋转90°的旋转图形；
（2）平移，使点A与点D重合，并记点B的对应点为E，点C的对应点为F；
（3）求出的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，△DEF即为所求；
（3）解： △ABC的面积＝3×4 ×2×3 ×1×3 ×1×4＝12 3 1.5 2＝5.5．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到点A、B、C的对应点，依次连接即可得到三角形；
（2）根据点A与点D的位置，可得平移的方向和距离，然后根据平移的性质作图即可；
（3）运用割补法求三角形的面积公式．
19．（2024·宁波模拟）暑期将至，学校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取 名学生，b的值为 ；
（2）在扇形统计图中，n=___，E组所占比例为___%；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有2500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．
【答案】（1）150；27
（2）144；4
（3）解：C组学生人数为：15030%=45（名），如下图
（4）解：80分以上的学生为D组和E组，一共占比为：40%+4%=44%，
∴250044%=1100（名），
∴估计成绩80分以上的学生人数有1100名．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵A组的频数a比B组的频数b小15，且由扇形统计图可得：A占比8%，B组占比18%，
∴总人数：，
b=15018%=27（名），
∴共抽取150名，b的值为27；
（2）D组占比为：，
∴n=360°144°，
E组占比为：，
∴在扇形统计图中，n=144°，E占比4%；
【分析】（1）运用A组与B组的频数差除以占比差得到总人数，再根据总数乘以B组的频率求出b值；
（2）利用D频数除以总数乘以360°求得n值，然后用整体1减去其它组的百分比求出E的占比解题；
（3）先根据总数乘以C组的频率求出C组学生人数，补全条形统计图即可；
（4）利用2500乘以D组和E组的占比和解题即可．
20．（2024·宁波模拟）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N，
由题意可知，，
在中，，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作于点N，然后根据解直角三角形可得，求出CN长解题即可；
（2）过A作交的延长线于点M，过点C作于点F，在中，利用三角函数的到AF长，然后利用线段的和差解题即可．
21．（2024·宁波模拟） 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元．
根据题意：，
解这个方程，得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x﹣200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）解：设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8 m+300×0.8（40﹣m），
即：w＝160m+9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40﹣m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
22．（2024·宁波模拟）已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）试确定一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：把代入得；∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：由图像可得，当反比例函数图象在一次函数下方时，∴的解为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点C的坐标，利用，得到长即可解题；
（3）借助图象，得到直线在双曲线上方时的自变量x的取值范围即可．
23．（2024·宁波模拟）如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）把代入，得：，．
把代入得：，
，
将、代入得：，解得，．
抛物线的解析式为．
（2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P，
∵，，
∴
当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小．
∵点D是抛物线的顶点，
∴对称轴为，点D为，
∵点A、B抛物线与x轴交点，
∴点A为，
设的解析式为，则，解得：，．
的解析式为．
联立解析式得：
解得：，
点的坐标为．
（3）又，3，，
，，．
，
．
，，
，．，
．
又，
．
当的坐标为时，．
如图所示：连接，过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
．
如图所示：连接，过点A作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
∴
．
综上所述，当的坐标为或或时，以、、为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）先求得点和点的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解即可；
（2）连接AD交BC于点P，点满足到四点距离之和最小，求出直线的解析式，联立两直线解析式，及方程求出点的坐标；
（3）先求出、、的长，然后得到为直角三角形，再分为三种情况画图，根据对应边成比例解题即可．
24．（2024·宁波模拟）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．
（1）如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
（2）如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．
①求证：直线与相切；
②若的直径为，求线段的长；
（3）已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，
∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，
由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，过A点作于点，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
根据还有：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的面积为或或．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）设，得到，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解题即可；
（2）①连接，由“华益美三角”的定义得到，即可得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到解题即可；
②由由“华益美三角”的定义得到，求出AC长，在中，运用勾股定理解题即可；
（3）当时，过A点作于点E，根据相似三角形可一求出，然后利用30°角的直角三角形的性质得到，解题即可；当时，过A点作于点，求出AC，即可得到，根据30°角的直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理求出AB长，求出面积即可．
1 / 1浙江省宁波市2024年初中学业水平考试模拟练习数学模拟预测题
1．（2024·宁波模拟）2024的绝对值是（　　）
A． B． C．－2024 D．2024
2．（2024·宁波模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·宁波模拟）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，为1360 000 000参保人提供医保服务，医保信息化标准化取得里程碑式突破．数1360 000 000用科学记数法表示为（　　）
A．1.36×107 B．13.6×108 C．1.36×109 D．0.136×1010
4．（2024·宁波模拟）下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·宁波模拟）某篮球队12名队员的年龄如下表所示：
年龄（岁） 18 19 20 21
人数 5 4 1 2
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是
A．18，19 B．19，19 C．18， D．19，
6．（2024·宁波模拟）如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（　　）
A．1 B．3 C． D．2
7．（2024·宁波模拟）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，，则的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2024·宁波模拟）如图，用12块相同的长方形地板砖拼成一个矩形，设长方形地板砖的长和宽分别为和，则根据题意，列方程式组正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·宁波模拟）设函数（为常数），下列说法正确的是（　　）
A．对任意实数，函数与轴都没有交点
B．存在实数，满足当时，函数的值都随的增大而减小
C．取不同的值时，二次函数的顶点始终在同一条直线上
D．对任意实数，抛物线都必定经过唯一定点
10．（2024·宁波模拟）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2024·宁波模拟）把多项式分解因式的结果是　 　．
12．（2024·宁波模拟） 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是　 　.
13．（2024·宁波模拟）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为　 　．
14．（2024·宁波模拟）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过　 　分钟时，当两仓库快递件数相同．
15．（2024·宁波模拟）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是　 　．
16．（2024·宁波模拟）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为　 　．
17．（2024·宁波模拟）（1）解不等式组：．
（2）计算：．
18．（2024·宁波模拟）如图，在正方形网格上的一个，且每个小正方形的边长为1（其中点A，B，C均在网格上）．
（1）作绕点O逆时针旋转90°的旋转图形；
（2）平移，使点A与点D重合，并记点B的对应点为E，点C的对应点为F；
（3）求出的面积．
19．（2024·宁波模拟）暑期将至，学校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取 名学生，b的值为 ；
（2）在扇形统计图中，n=___，E组所占比例为___%；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有2500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．
20．（2024·宁波模拟）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
21．（2024·宁波模拟） 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
22．（2024·宁波模拟）已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）试确定一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
23．（2024·宁波模拟）如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2024·宁波模拟）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．
（1）如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
（2）如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．
①求证：直线与相切；
②若的直径为，求线段的长；
（3）已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：由题意得，．
故答案为：D．
【分析】根据正数的绝对值是它本身解题即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式=a6，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a4，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则逐项判断即可．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1360 000 000 = 1.36×109 .
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.
4．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故答案为：D．
【分析】利用从上面看得到的几何图形解答即可．
5．【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：因为年龄18的人数最多为5，
所以众数是18，
平均数，
故答案为：A．
【分析】根据中暑的顶级和加权平均数的计算公式解答即可.
6．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：五边形是正五边形，
，
则弧的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥底面半径为r，则，
∴，
圆锥底面半径为，
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和求出正五边形的内角度数，再利用圆锥侧面弧长等于底面周长解题即可．
7．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：一次函数与反比例函数的图像交于点，，
，
∴当时，，
，，
的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的范围，即或，
故答案为：C．
【分析】求出反比例函数解析式，即可求出点B的坐标，在借助图象得到直线在双曲线上方时x的值解题即可．
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设长方形地板砖的长和宽分别为和，
由题意得，，
故答案为：C．
【分析】设长方形地板砖的长和宽分别为和，根据大长方形的对边相等列方程组解题．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；
B、∵，抛物线的对称轴：，
∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，
即当时，函数y的值都随x的增大而减小，
当时，函数y的值都随x的增大而增大，
即不存在，使得当时，函数y的值都随x的增大而减小，故B错误；
C、∵，
∴抛物线的顶点为
∴，消去k得：，
由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点都满足函数，
即在二次函数的图象上，故C错误；
D、令和，得到方程组：，解得，
将代入，得，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点，故D正确，
故答案为：D.
【分析】A、计算出根的判别式的值，并将判别式的值配成完全平方加常数的形式，进而结合偶数次幂的非负性进行判断；B、根据二次函数的增减性即可判断；C、将解析式配成顶点式，得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k得y＝ x2 x 1，即可判断；D、令k＝1和k＝0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故答案为：B．
【分析】根据平行线得到，求出，然后利用，可以得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，再在中利用勾股定理解题即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
12．【答案】6
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为
∴，
解得n=6，
经检验x=6为原方程的解，
故答案为：6
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可列出方程，进而即可求解。
13．【答案】人
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：根据：2艘大船游客+3艘小船游客=人，1艘大船游客+1艘小船游客=人．列出二元一次方程组，解方程组可求出x和y的值，进而可求出答案．
14．【答案】20
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
∴，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
∴，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
【分析】利用待定系数法分别求出两直线的解析式，然后联立解方程求交点坐标解题即可．
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为m，根据题意得到，即可得到，然后把B、E点坐标代入解析式可得，求出m值即可解题．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到取得最大值时，最大值，连接，并延长交于点，得到当点P再AO的延长线上时，PO最大解题即可．
17．【答案】（1）解：，
由①得；
由②得．
所以，不等式组的解集为．
（2）解：原式
.
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）求两个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分解题；
（2）先计算负整数指数次幂，零指数次幂，绝对值和二次根式，然后合并解题即可．
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，△DEF即为所求；
（3）解： △ABC的面积＝3×4 ×2×3 ×1×3 ×1×4＝12 3 1.5 2＝5.5．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到点A、B、C的对应点，依次连接即可得到三角形；
（2）根据点A与点D的位置，可得平移的方向和距离，然后根据平移的性质作图即可；
（3）运用割补法求三角形的面积公式．
19．【答案】（1）150；27
（2）144；4
（3）解：C组学生人数为：15030%=45（名），如下图
（4）解：80分以上的学生为D组和E组，一共占比为：40%+4%=44%，
∴250044%=1100（名），
∴估计成绩80分以上的学生人数有1100名．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵A组的频数a比B组的频数b小15，且由扇形统计图可得：A占比8%，B组占比18%，
∴总人数：，
b=15018%=27（名），
∴共抽取150名，b的值为27；
（2）D组占比为：，
∴n=360°144°，
E组占比为：，
∴在扇形统计图中，n=144°，E占比4%；
【分析】（1）运用A组与B组的频数差除以占比差得到总人数，再根据总数乘以B组的频率求出b值；
（2）利用D频数除以总数乘以360°求得n值，然后用整体1减去其它组的百分比求出E的占比解题；
（3）先根据总数乘以C组的频率求出C组学生人数，补全条形统计图即可；
（4）利用2500乘以D组和E组的占比和解题即可．
20．【答案】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N，
由题意可知，，
在中，，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作于点N，然后根据解直角三角形可得，求出CN长解题即可；
（2）过A作交的延长线于点M，过点C作于点F，在中，利用三角函数的到AF长，然后利用线段的和差解题即可．
21．【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元．
根据题意：，
解这个方程，得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x﹣200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）解：设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8 m+300×0.8（40﹣m），
即：w＝160m+9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40﹣m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
22．【答案】（1）解：把代入得；∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：由图像可得，当反比例函数图象在一次函数下方时，∴的解为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点C的坐标，利用，得到长即可解题；
（3）借助图象，得到直线在双曲线上方时的自变量x的取值范围即可．
23．【答案】解：（1）把代入，得：，．
把代入得：，
，
将、代入得：，解得，．
抛物线的解析式为．
（2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P，
∵，，
∴
当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小．
∵点D是抛物线的顶点，
∴对称轴为，点D为，
∵点A、B抛物线与x轴交点，
∴点A为，
设的解析式为，则，解得：，．
的解析式为．
联立解析式得：
解得：，
点的坐标为．
（3）又，3，，
，，．
，
．
，，
，．，
．
又，
．
当的坐标为时，．
如图所示：连接，过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
．
如图所示：连接，过点A作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
∴
．
综上所述，当的坐标为或或时，以、、为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）先求得点和点的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解即可；
（2）连接AD交BC于点P，点满足到四点距离之和最小，求出直线的解析式，联立两直线解析式，及方程求出点的坐标；
（3）先求出、、的长，然后得到为直角三角形，再分为三种情况画图，根据对应边成比例解题即可．
24．【答案】（1）证明：如图，
∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，
由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，过A点作于点，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
根据还有：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的面积为或或．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）设，得到，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解题即可；
（2）①连接，由“华益美三角”的定义得到，即可得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到解题即可；
②由由“华益美三角”的定义得到，求出AC长，在中，运用勾股定理解题即可；
（3）当时，过A点作于点E，根据相似三角形可一求出，然后利用30°角的直角三角形的性质得到，解题即可；当时，过A点作于点，求出AC，即可得到，根据30°角的直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理求出AB长，求出面积即可．
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