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2024年浙江省温州市外国语学校中考一模数学试题
1．（2024九下·洞头模拟）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·洞头模拟）下列各数中立方根为的是（　　）
A．1 B． C． D．
3．（2024九下·洞头模拟）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·洞头模拟）下列调查所采用的调查方式，不合适的是（　　）
A．了解楠溪江的水质，采用抽样调查
B．了解浙江省中学生的睡眠时间，采用抽样调查
C．检测祝融号火星探测器的零部件质量，采用抽样调查
D．了解某校初三段数学老师的视力，采用全面调查
5．（2024九下·洞头模拟）四个实数，6，，中，最大的无理数是（　　）
A． B．6 C． D．
6．（2024九下·洞头模拟）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（　　）
A． B．或
C． D．或
8．（2024九下·洞头模拟）如图，在矩形中，点为的中点，将沿所在直线翻折压平，得到，延长与交于点，若，，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·洞头模拟）如图，网格小正方形边长为3，的三个顶点均在网格的格点上，中线的交点为O，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·洞头模拟）如图，已知函数图象与x轴只有三个交点，分别是，，．
①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（　　）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．（2024九下·洞头模拟）关于的不等式的解是　 　．
12．（2024九下·洞头模拟）已知，，则多项式的值为　 　．
13．（2024九下·洞头模拟）若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为　 　．
14．（2024九下·洞头模拟）如图，的内接四边形，，的直径与交于点F，连接．若，，，则的长为　 　．
15．（2024九下·洞头模拟）第二十四届国际数学家大会会微的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．若的内切圆半径为1，小正方形的面积为16，则大正方形的面积为　 　．
16．（2024九下·洞头模拟）已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为　 　．
17．（2024九下·洞头模拟）计算：
（1）
（2）
18．（2024九下·洞头模拟）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
19．（2024九下·洞头模拟）如图，在菱形中，，，为正三角形，点E，F分别在菱形的边．上滑动，且点E、F不与点A，B，C重合，与交于点G．
（1）证明：当点E，F在边上滑动时，总有．
（2）当时，求的长．
20．（2024九下·洞头模拟）为了了解九年级学生体育训练情况，随机抽取男生、女姓各名进行分钟跳绳测试，并对测试结果进行整理，分钟跳绳的个数用表示，分成了四个等级，其中：，：，：，：，下面给出了部分统计信息：
信息一：女生分钟跳绳个数等级扇形统计图
信息二：男生分钟跳绳个数等级频数统计表
等级
频数
信息三：男生和女生分钟跳绳个数的平均数，众数，中位数，等级所占百分比如下表：
平均数 众数 中位数 A等级所占百分比
男生
女姓
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ______， ______．
（2）根据以上数据分析，你认为九年级分钟跳绳男生成绩更优异，还是女生成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）
（3）在跳绳个数达到等级的同学中有两名男生和一名女生跳绳的个数超过了个，体育老师随机从这三位同学中选择两位同学做经验分享，请利用画树状图或列表的方法，求选到这名女生的概率是多少？
21．（2024九下·洞头模拟）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
（1）请用此方法拆分．
（2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
22．（2024九下·洞头模拟）已知二次函数．
（1）若它的图像经过点，求该函数的对称轴．
（2）若时，y的最小值为1，求出t的值．
（3）如果，两点都在这个二次函数的图象上，直线与该二次函数交于，两点，则是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由．
23．（2024九下·洞头模拟）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
（1）计算C，D两点的垂直高度差．
（2）求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为．
（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
24．（2024九下·洞头模拟）如图1，锐角内接于，点E是的中点，连结并延长交于D，点F在上，连结，，．
（1）求证：．
（2）当，时，
①求的值；
②求的长．
（3）如图2，延长AD交于点G，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A．满足轴对称图形的条件，是轴对称图形，故不符合题意，A错误；
B．满足轴对称图形的条件，是轴对称图形，故不符合题意，B错误；
C．不满足轴对称图形的条件，不是轴对称图形，故符合题意，C正确；
D．满足轴对称图形的条件，是轴对称图形，故不符合题意，D错误；
故选C．
【分析】考查轴对称图形，轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线叫做对称轴，这个图形是轴对称图形。根据轴对称图形的定义逐项判断
2．【答案】B
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、∵，∴，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据立方根的意义分别求出每一个选项所给数的立方根，即可判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，底层是2个小正方形，第二层是1个小正方形，第三层是1个小正方形，
∴几何体的左视图是：
，
故答案为：A．
【分析】根据从左面看到的图形判定即可．
4．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解楠溪江的水质，适合采用抽样调查，故此选项不合题意；
B、了解浙江省中学生的睡眠时间，适合采用抽样调查，故此选项不合题意；
C、检测祝融号火星探测器的零部件质量，适合采用全面调查，故此选项符合题意；
D、了解某校初三段数学老师的视力，适合采用全面调查，故此选项不合题意．
故答案为：C.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断即可.
5．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：四个实数，6，，中，、、是无理数， 6是有理数， ，<<其中最大的无理数是.
故答案为：C.
【分析】先选出四个实数中的无理数，再比较大小，最后找出其中的最大的即可.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（a，4），B（1，b），C（2，c）在反比例函数的图象上，
∴，，，
∴，b=-2，c=-1，
∴b＜c＜a.
故答案为：C.
【分析】将点A（a，4），B（1，b），C（2，c）分别代入，求得a、b、c的值，就可以判断．
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵等边的顶点，，
∴，
过A作轴于C，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，
∴与的位似比为，
∴点A的对应点的坐标是或，即或，
故答案为：D．
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的横、纵坐标的比等于k或解答．
8．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，，
，，，
为的中点，
，
根据折叠的性质得，，，，
又，
，
，，
，
，设，
，，
则，
，
在中，，
，
（负值已舍），
，
，
四边形的面积．
故答案为：B．
【分析】连接，利用折叠的性质可得，，再根据得到，即可得到，，进而求得，设，在中，利用勾股定理求得x的值解题即可．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：取的中点G，连接，如图，
∵中线的交点为O，
∴O点为的重心，
∴过O点，即C、O、G共线，，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】取的中点G，连接，先根据勾股定理求出CG长，再根据重心的性质解题即可．
10．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象知，当时，或，故①正确；
当时，图象有最低点，没有最高点，
∴y有最小值，没有最大值，故②正确；
当时，y隋x的增大而减小，故③不正确；
∵函数的图象与原函数的图象只有三个交点，
∴点在函数图象上，则m的值只有3个，故④正确
故答案为：B.
【分析】借助图象得到x轴上方图象对应的x值判断①；根据x>0的图象判断②；根据x>1的图象的增减性判断③；根据点P的坐标得到点P在直线上，作图看交点个数判断④解题．

11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：4x-3＞x，
移项，得4x-x＞3，
合并同类项，得3x＞3，
两边同除以3，得x＞1，
故答案为：x＞1．
【分析】通过移项，合并同类项以，两边同除以3，求出不等式的解.
12．【答案】20
【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a+b=5，ab=4，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=5×4=20．
故答案为：20.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后，再整体代入求值.
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设圆心角为n°．
可得，
解得n=45，
∴该扇形的圆心角度数为45°．
故答案为：45°.
【分析】设圆心角为n°．根据弧长公式，列出关于n的方程求解.
14．【答案】6
【知识点】圆周角定理；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：连接，交于G点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是直径，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∴，
∵，
∴，即．
故答案为：6．
【分析】连接，交于G点，可以得到，即可得到，然后根据平行线得到，然后平行线分线段成比例定理可得解题即可．
15．【答案】58
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；切线长定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，设的内切圆为，切点分别为，
则
连接则
又
∴四边形是正方形，
∵小正方形的面积为16，
∴
∴
设，则
∴
在中，
∴即，
解得，
∴
∵与是全等三角形，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：58．
【分析】设的内切圆为，切点分别为，根据切线长定理可得即可得到四边形是正方形，求出MF和EF长，设，在中，根据勾股定理得到x的值，即可得到再利用勾定理解题即可．
16．【答案】8
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，y=3，
抛物线y=x2-mx+m+2的对称轴为直线，
∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，
，
∴m≥2．
∴m+1≥3，
当x=-2时，y=6+3m，当时，，
∵-2≤x1≤m+1，-2≤x2≤m+1，
∴|y1-y2|的最大值为，
∵|y1-y2|≤16恒成立，
．
∴-12≤m≤4，
∵m≥2，
∴2≤m≤4，
∴m的最大值为4，
∴A、B两点的最大距离为4-（-4）=8．
故答案为：8.
【分析】利用二次函数的图象的性质求得m的取值范围，再利用二次函数的性质求得|y1-y2|的最大值，最后利用已知条件求得m的最大值，则结论可求．
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算0指数幂、算术平方根和代入正切值，再计算有理数的加减法即可；
（2）利用平方差公式及单项式乘以多项式法则分别去括号，再合并同类项即可．
18．【答案】（1）解：取格点，连接交于点，连接，如图：
由图可知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴为中点，
∴，
∴为的高．
（2）解：取格点，连接交于，如图：
由图可得，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点就是所求的点．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先根据矩形的对角线平分得到AC的中点D，连接BD即可解题；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，取格点，使得AP=3，BQ=2，连接交于解题.
19．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，平分，
，
，
是等边三角形
，，
为正三角形，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，，
．
又∵，
，
，即，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先得到是等边三角形，然后根据SAS证明即可得到结论；
（2）先根据两角对应相等的两个三角形相似得到，即可根据对应边成比例得到，解题即可．
20．【答案】（1），
（2）解：九年级分钟跳绳男生成绩更优异，理由如下：
男生和女生分钟跳绳个数平均数相同，但男生的中位数和等级所占的百分比都高于女生，
九年级分钟跳绳男生成绩更优异（答案不唯一，言之有理即可）．
（3）解：将两名男生分别记为，，一名女生记为，
列表如下：
共有种可能得结果，其中选到这名女生的结果有：，，，，共种，
选到这名女生的概率为．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：由扇形统计图可知，等级所占的百分比为，
，
．
．
故答案为：；．
【分析】（1）用等级的圆心角除以360°再乘以100%求出所占的百分比，然后让减去其它组的百分比求出，得到m值；再运用减去，，等级的频数求出a即可；
（2）比较男生、女生分钟跳绳的平均数、众数、中位数、等级所占的百分比，作出判断即可．
（3）列表得到所有等可能结果，找出其中符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21．【答案】（1）根据材料中等式反映的规律知，

（2）．理由：
∵右边，
左边
，
∴左边＝右边，
∴成立．
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）根据所给等式的特点解答即可；
（2）借助所给等式，利用多项式的运算合并证明即可．
22．【答案】（1）解：将点代入二次函数，得
，
解得：，
对称轴直线为：
．
（2）解：当时，，∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，有最大值，
∵时，的最小值为1，
∴当时，，
解得：．
（3）解：是定值，理由：
∵，两点都在这个二次函数的图象上，
，
令，整理得：
，
∵直线与该二次函数交于，两点，
∴是方程的两个根，
是定值．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将代入解析式求出t值，然后利用对称轴公式解题即可；
（2）由抛物线开口向下，根据最小值列方程求出t值即可；
（3）先根据对称轴公式得出然后联立一次函数与二次函数解析式化为一般式，然后根据根与系数的关系解题即可．
23．【答案】解：（1）作交于点H，斜坡的坡比为，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
解得：
，，
C，D两点的垂直高度差；
（2）延长DG交于M，延长交延长线于N，
∵的正切值为2，仰角的正切值为，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，则，，，
，
解得，
，，，
顶点A到水平地面的垂直高度；
（3）小组一：∵的正切值为，
∴，
∵，
，
；
小组二：∵的正切值为，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥CF，垂足为H，根据已知可设DH =3x米， 则CH =4x米， 然后在Rt△CDH中，利用勾股定理进行计算，即解答；
（2）延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N， 根据题意可得： DH = NM =9米，DN = MH， 然后设CM =x米， 则
DN =MH =(x+12)米， 从而分别在Rt△ACM和Rt△ADN中，利用锐角三角函数的定义求出AN和AM的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答；
（3）若选择小组一的方案：在Rt△BCM中，利用锐角三角函数的定义求出BM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
若选择小组二的方案：在Rt△DNB中，利用锐角三角函数的定义求出BN的长，再在Rt△ADN中，利用锐角三角函数的定义求出AN的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答.
24．【答案】（1）证明： ∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
即DE为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠BAD =∠CDF，
∴∠B=∠CDF，
∴DF∥AB；
（2）解：①∵DF∥AB，
∴∠BAD=∠ADF，
∵AF=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∴∠B=∠BAD =∠ADF =∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∵AB=9， AF =FD=4，
∴AD=6，
∴BD=AD=6，
②∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CBA.
∴，
即：
（3）解：
∴∠GAC：∠B：∠ACB=：4：3，
设∠GAC=k， 则∠ABC=4k， ∠ACB=3k.
∵∠ADB=∠GAC+∠ACB=4k，
∴∠ABC=∠ADB，
∴AB=AD，
∵DB=DA，
∴AB=BD=DA，∴∠ABC =∠ADB=4k=60°，
∴k=15°，
∴∠ACB=3k=45°.
过点A作AH⊥BC于点H， 过点F作FK⊥BC于点K，如图，
设BD=2a， 则BH =HD=a， AD=AD =2a，
∵∠ACB=45°，
∴△ACH和△FCK为等腰直角三角形，
设CK=FK =x，
∵DF∥AB，
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)利用垂径定理，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD， 则∠B=∠CDF， 利用平行线的判定定理解答即可；
(2)①利用平行线的性质和等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD=∠ADF =∠DAF， 利用相似三角形的判定与性质求得AD，再利用垂径定理和勾股定理求得DE，则利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
②利用相似三角形的判定与性质求得CD，则BC=CD+BD；
(3)利用圆周角定理的推论得到∠GAC：∠B：∠ACB=1：4：3， 设∠GAC =k，则∠ABC =4k， ∠ACB=3k， 利用三角形的内角和定理的推论和等边三角形的判定与性质得到△ABD为等边三角形，求得k值，则∠ACB=3k=45°； 过点A作AH⊥BC于点H， 过点F作FK⊥BC于点K， 设BD =2a， 则BH=HD=a， AD=AD=2a， 利用直角三角形的边角关系定理和特殊角的三角函数值求得线段BE，CD，FK的值，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论.
1 / 12024年浙江省温州市外国语学校中考一模数学试题
1．（2024九下·洞头模拟）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A．满足轴对称图形的条件，是轴对称图形，故不符合题意，A错误；
B．满足轴对称图形的条件，是轴对称图形，故不符合题意，B错误；
C．不满足轴对称图形的条件，不是轴对称图形，故符合题意，C正确；
D．满足轴对称图形的条件，是轴对称图形，故不符合题意，D错误；
故选C．
【分析】考查轴对称图形，轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线叫做对称轴，这个图形是轴对称图形。根据轴对称图形的定义逐项判断
2．（2024九下·洞头模拟）下列各数中立方根为的是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、∵，∴，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据立方根的意义分别求出每一个选项所给数的立方根，即可判断得出答案.
3．（2024九下·洞头模拟）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，底层是2个小正方形，第二层是1个小正方形，第三层是1个小正方形，
∴几何体的左视图是：
，
故答案为：A．
【分析】根据从左面看到的图形判定即可．
4．（2024九下·洞头模拟）下列调查所采用的调查方式，不合适的是（　　）
A．了解楠溪江的水质，采用抽样调查
B．了解浙江省中学生的睡眠时间，采用抽样调查
C．检测祝融号火星探测器的零部件质量，采用抽样调查
D．了解某校初三段数学老师的视力，采用全面调查
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解楠溪江的水质，适合采用抽样调查，故此选项不合题意；
B、了解浙江省中学生的睡眠时间，适合采用抽样调查，故此选项不合题意；
C、检测祝融号火星探测器的零部件质量，适合采用全面调查，故此选项符合题意；
D、了解某校初三段数学老师的视力，适合采用全面调查，故此选项不合题意．
故答案为：C.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断即可.
5．（2024九下·洞头模拟）四个实数，6，，中，最大的无理数是（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：四个实数，6，，中，、、是无理数， 6是有理数， ，<<其中最大的无理数是.
故答案为：C.
【分析】先选出四个实数中的无理数，再比较大小，最后找出其中的最大的即可.
6．（2024九下·洞头模拟）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（a，4），B（1，b），C（2，c）在反比例函数的图象上，
∴，，，
∴，b=-2，c=-1，
∴b＜c＜a.
故答案为：C.
【分析】将点A（a，4），B（1，b），C（2，c）分别代入，求得a、b、c的值，就可以判断．
7．（2024九下·洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵等边的顶点，，
∴，
过A作轴于C，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，
∴与的位似比为，
∴点A的对应点的坐标是或，即或，
故答案为：D．
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的横、纵坐标的比等于k或解答．
8．（2024九下·洞头模拟）如图，在矩形中，点为的中点，将沿所在直线翻折压平，得到，延长与交于点，若，，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，，
，，，
为的中点，
，
根据折叠的性质得，，，，
又，
，
，，
，
，设，
，，
则，
，
在中，，
，
（负值已舍），
，
，
四边形的面积．
故答案为：B．
【分析】连接，利用折叠的性质可得，，再根据得到，即可得到，，进而求得，设，在中，利用勾股定理求得x的值解题即可．
9．（2024九下·洞头模拟）如图，网格小正方形边长为3，的三个顶点均在网格的格点上，中线的交点为O，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：取的中点G，连接，如图，
∵中线的交点为O，
∴O点为的重心，
∴过O点，即C、O、G共线，，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】取的中点G，连接，先根据勾股定理求出CG长，再根据重心的性质解题即可．
10．（2024九下·洞头模拟）如图，已知函数图象与x轴只有三个交点，分别是，，．
①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（　　）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象知，当时，或，故①正确；
当时，图象有最低点，没有最高点，
∴y有最小值，没有最大值，故②正确；
当时，y隋x的增大而减小，故③不正确；
∵函数的图象与原函数的图象只有三个交点，
∴点在函数图象上，则m的值只有3个，故④正确
故答案为：B.
【分析】借助图象得到x轴上方图象对应的x值判断①；根据x>0的图象判断②；根据x>1的图象的增减性判断③；根据点P的坐标得到点P在直线上，作图看交点个数判断④解题．

11．（2024九下·洞头模拟）关于的不等式的解是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：4x-3＞x，
移项，得4x-x＞3，
合并同类项，得3x＞3，
两边同除以3，得x＞1，
故答案为：x＞1．
【分析】通过移项，合并同类项以，两边同除以3，求出不等式的解.
12．（2024九下·洞头模拟）已知，，则多项式的值为　 　．
【答案】20
【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a+b=5，ab=4，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=5×4=20．
故答案为：20.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后，再整体代入求值.
13．（2024九下·洞头模拟）若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设圆心角为n°．
可得，
解得n=45，
∴该扇形的圆心角度数为45°．
故答案为：45°.
【分析】设圆心角为n°．根据弧长公式，列出关于n的方程求解.
14．（2024九下·洞头模拟）如图，的内接四边形，，的直径与交于点F，连接．若，，，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】圆周角定理；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：连接，交于G点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是直径，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∴，
∵，
∴，即．
故答案为：6．
【分析】连接，交于G点，可以得到，即可得到，然后根据平行线得到，然后平行线分线段成比例定理可得解题即可．
15．（2024九下·洞头模拟）第二十四届国际数学家大会会微的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．若的内切圆半径为1，小正方形的面积为16，则大正方形的面积为　 　．
【答案】58
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；切线长定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，设的内切圆为，切点分别为，
则
连接则
又
∴四边形是正方形，
∵小正方形的面积为16，
∴
∴
设，则
∴
在中，
∴即，
解得，
∴
∵与是全等三角形，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：58．
【分析】设的内切圆为，切点分别为，根据切线长定理可得即可得到四边形是正方形，求出MF和EF长，设，在中，根据勾股定理得到x的值，即可得到再利用勾定理解题即可．
16．（2024九下·洞头模拟）已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为　 　．
【答案】8
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，y=3，
抛物线y=x2-mx+m+2的对称轴为直线，
∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，
，
∴m≥2．
∴m+1≥3，
当x=-2时，y=6+3m，当时，，
∵-2≤x1≤m+1，-2≤x2≤m+1，
∴|y1-y2|的最大值为，
∵|y1-y2|≤16恒成立，
．
∴-12≤m≤4，
∵m≥2，
∴2≤m≤4，
∴m的最大值为4，
∴A、B两点的最大距离为4-（-4）=8．
故答案为：8.
【分析】利用二次函数的图象的性质求得m的取值范围，再利用二次函数的性质求得|y1-y2|的最大值，最后利用已知条件求得m的最大值，则结论可求．
17．（2024九下·洞头模拟）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
．
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算0指数幂、算术平方根和代入正切值，再计算有理数的加减法即可；
（2）利用平方差公式及单项式乘以多项式法则分别去括号，再合并同类项即可．
18．（2024九下·洞头模拟）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】（1）解：取格点，连接交于点，连接，如图：
由图可知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴为中点，
∴，
∴为的高．
（2）解：取格点，连接交于，如图：
由图可得，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点就是所求的点．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先根据矩形的对角线平分得到AC的中点D，连接BD即可解题；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，取格点，使得AP=3，BQ=2，连接交于解题.
19．（2024九下·洞头模拟）如图，在菱形中，，，为正三角形，点E，F分别在菱形的边．上滑动，且点E、F不与点A，B，C重合，与交于点G．
（1）证明：当点E，F在边上滑动时，总有．
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，平分，
，
，
是等边三角形
，，
为正三角形，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，，
．
又∵，
，
，即，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先得到是等边三角形，然后根据SAS证明即可得到结论；
（2）先根据两角对应相等的两个三角形相似得到，即可根据对应边成比例得到，解题即可．
20．（2024九下·洞头模拟）为了了解九年级学生体育训练情况，随机抽取男生、女姓各名进行分钟跳绳测试，并对测试结果进行整理，分钟跳绳的个数用表示，分成了四个等级，其中：，：，：，：，下面给出了部分统计信息：
信息一：女生分钟跳绳个数等级扇形统计图
信息二：男生分钟跳绳个数等级频数统计表
等级
频数
信息三：男生和女生分钟跳绳个数的平均数，众数，中位数，等级所占百分比如下表：
平均数 众数 中位数 A等级所占百分比
男生
女姓
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ______， ______．
（2）根据以上数据分析，你认为九年级分钟跳绳男生成绩更优异，还是女生成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）
（3）在跳绳个数达到等级的同学中有两名男生和一名女生跳绳的个数超过了个，体育老师随机从这三位同学中选择两位同学做经验分享，请利用画树状图或列表的方法，求选到这名女生的概率是多少？
【答案】（1），
（2）解：九年级分钟跳绳男生成绩更优异，理由如下：
男生和女生分钟跳绳个数平均数相同，但男生的中位数和等级所占的百分比都高于女生，
九年级分钟跳绳男生成绩更优异（答案不唯一，言之有理即可）．
（3）解：将两名男生分别记为，，一名女生记为，
列表如下：
共有种可能得结果，其中选到这名女生的结果有：，，，，共种，
选到这名女生的概率为．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：由扇形统计图可知，等级所占的百分比为，
，
．
．
故答案为：；．
【分析】（1）用等级的圆心角除以360°再乘以100%求出所占的百分比，然后让减去其它组的百分比求出，得到m值；再运用减去，，等级的频数求出a即可；
（2）比较男生、女生分钟跳绳的平均数、众数、中位数、等级所占的百分比，作出判断即可．
（3）列表得到所有等可能结果，找出其中符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21．（2024九下·洞头模拟）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
（1）请用此方法拆分．
（2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】（1）根据材料中等式反映的规律知，

（2）．理由：
∵右边，
左边
，
∴左边＝右边，
∴成立．
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）根据所给等式的特点解答即可；
（2）借助所给等式，利用多项式的运算合并证明即可．
22．（2024九下·洞头模拟）已知二次函数．
（1）若它的图像经过点，求该函数的对称轴．
（2）若时，y的最小值为1，求出t的值．
（3）如果，两点都在这个二次函数的图象上，直线与该二次函数交于，两点，则是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：将点代入二次函数，得
，
解得：，
对称轴直线为：
．
（2）解：当时，，∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，有最大值，
∵时，的最小值为1，
∴当时，，
解得：．
（3）解：是定值，理由：
∵，两点都在这个二次函数的图象上，
，
令，整理得：
，
∵直线与该二次函数交于，两点，
∴是方程的两个根，
是定值．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将代入解析式求出t值，然后利用对称轴公式解题即可；
（2）由抛物线开口向下，根据最小值列方程求出t值即可；
（3）先根据对称轴公式得出然后联立一次函数与二次函数解析式化为一般式，然后根据根与系数的关系解题即可．
23．（2024九下·洞头模拟）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
（1）计算C，D两点的垂直高度差．
（2）求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为．
（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
【答案】解：（1）作交于点H，斜坡的坡比为，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
解得：
，，
C，D两点的垂直高度差；
（2）延长DG交于M，延长交延长线于N，
∵的正切值为2，仰角的正切值为，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，则，，，
，
解得，
，，，
顶点A到水平地面的垂直高度；
（3）小组一：∵的正切值为，
∴，
∵，
，
；
小组二：∵的正切值为，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥CF，垂足为H，根据已知可设DH =3x米， 则CH =4x米， 然后在Rt△CDH中，利用勾股定理进行计算，即解答；
（2）延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N， 根据题意可得： DH = NM =9米，DN = MH， 然后设CM =x米， 则
DN =MH =(x+12)米， 从而分别在Rt△ACM和Rt△ADN中，利用锐角三角函数的定义求出AN和AM的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答；
（3）若选择小组一的方案：在Rt△BCM中，利用锐角三角函数的定义求出BM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
若选择小组二的方案：在Rt△DNB中，利用锐角三角函数的定义求出BN的长，再在Rt△ADN中，利用锐角三角函数的定义求出AN的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答.
24．（2024九下·洞头模拟）如图1，锐角内接于，点E是的中点，连结并延长交于D，点F在上，连结，，．
（1）求证：．
（2）当，时，
①求的值；
②求的长．
（3）如图2，延长AD交于点G，若，求的值．
【答案】（1）证明： ∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
即DE为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠BAD =∠CDF，
∴∠B=∠CDF，
∴DF∥AB；
（2）解：①∵DF∥AB，
∴∠BAD=∠ADF，
∵AF=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∴∠B=∠BAD =∠ADF =∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∵AB=9， AF =FD=4，
∴AD=6，
∴BD=AD=6，
②∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CBA.
∴，
即：
（3）解：
∴∠GAC：∠B：∠ACB=：4：3，
设∠GAC=k， 则∠ABC=4k， ∠ACB=3k.
∵∠ADB=∠GAC+∠ACB=4k，
∴∠ABC=∠ADB，
∴AB=AD，
∵DB=DA，
∴AB=BD=DA，∴∠ABC =∠ADB=4k=60°，
∴k=15°，
∴∠ACB=3k=45°.
过点A作AH⊥BC于点H， 过点F作FK⊥BC于点K，如图，
设BD=2a， 则BH =HD=a， AD=AD =2a，
∵∠ACB=45°，
∴△ACH和△FCK为等腰直角三角形，
设CK=FK =x，
∵DF∥AB，
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)利用垂径定理，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD， 则∠B=∠CDF， 利用平行线的判定定理解答即可；
(2)①利用平行线的性质和等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD=∠ADF =∠DAF， 利用相似三角形的判定与性质求得AD，再利用垂径定理和勾股定理求得DE，则利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
②利用相似三角形的判定与性质求得CD，则BC=CD+BD；
(3)利用圆周角定理的推论得到∠GAC：∠B：∠ACB=1：4：3， 设∠GAC =k，则∠ABC =4k， ∠ACB=3k， 利用三角形的内角和定理的推论和等边三角形的判定与性质得到△ABD为等边三角形，求得k值，则∠ACB=3k=45°； 过点A作AH⊥BC于点H， 过点F作FK⊥BC于点K， 设BD =2a， 则BH=HD=a， AD=AD=2a， 利用直角三角形的边角关系定理和特殊角的三角函数值求得线段BE，CD，FK的值，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论.
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