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2024年浙江省杭州市九年级中考数学三模冲刺训练试题
1．（2024九下·杭州模拟）在4，，0，四个数中，最小的为（　　）
A．4 B． C．0 D．
2．（2024九下·杭州模拟）如图所示的是零件三通的立体图，则这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·杭州模拟）2023年“亚运双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·杭州模拟）某中学将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图示．将图①抽象成图②的数学问题：在平面内，，的延长线交于点；若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·杭州模拟）如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·杭州模拟）点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ， ， 中最小的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·杭州模拟）如图，中，，，D，E分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（　　）
A． B．1 C．2 D．
8．（2024九下·杭州模拟）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024九下·杭州模拟）如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连接并延长，交于点E．连接，若，则的长为（　　）
A．5 B．8 C．12 D．15
10．（2024九下·杭州模拟）“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点作交于点，过点作于点．若，则为（　　）
A．4 B． C． D．
11．（2024九下·杭州模拟）因式分解： 　 　.
12．（2024九下·杭州模拟）在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有　 　个．
13．（2024九下·杭州模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．（2024九下·杭州模拟）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为　 　．
15．（2024九下·杭州模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是　 　．
16．（2024九下·杭州模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连接并延长交于点M，交于点N，连接．当时，　 　．
17．（2024九下·杭州模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
18．（2024九下·杭州模拟）如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．
（1）若，试说明；
（2）在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
19．（2024九下·杭州模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程．
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少．
20．（2024九下·杭州模拟）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格；9分及9分以上为优秀），绘制了如下统计图表：根据信息，解答下列问题：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 7.55
中位数 8
众数 7
（1）学生成绩统计表中______，______．
（2）求七年级学生成绩的平均数；
（3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由．
21．（2024九下·杭州模拟）如图，反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于、两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请直接写出满足的取值范围；
（3）若Q为y轴上的一点，使最小，求点Q的坐标．
22．（2024九下·杭州模拟）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．
（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）．
（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，）
23．（2024九下·杭州模拟）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
（1）喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
（2）现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围．
24．（2024九下·杭州模拟）如图1，内接于⊙，，点D为上的动点，连结交于点E，连结并延长交于点F，连结．
（1）当时，求的度数；
（2）如图2，当，，时，求的长；
（3）如图3，当为⊙的直径，，时，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数为﹣2，
故答案为：B．
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数比较各数的大小，即可求解．
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，看到的图形是一个倒“T”形，即看到的图形如下：
，
故答案为：B．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：13000000 =
故答案为：B.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左往右数第一个数后面整数的位数.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】
解：，，，
∵，
故选：B
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，再根据三角形外角性质：三角形的外角等于不相邻的两内角之和可知：∠DCE=∠AEC+∠EFC，代入数据求解即可．
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”即可求解．
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由反比例函数解析式 可知： ，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质求解即可。
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∵平分，
∴，
∵D，E分别为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB的值， 由角平分线的概念可得，根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，根据等角对等边得，然后由线段的和差计算即可求解．
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两
则五只雀为5x，六只燕为6y
共重16两，则有
互换其中一只则
五只雀变为四只雀一只燕，即4x+y
六只燕变为五只燕一只雀，即5y+x
且一样重即
由此可得方程组．
故答案为：B．
【分析】由题意列出二元一次方程组，解方程
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，连接FE，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB=AF，AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∴AO=OE=4，BO=OF=3，
在Rt△AOB中，，
故答案为：A．
【分析】如图，连接FE，设AE交BF于点O．由题意，根据平行四边形的判定“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABEF是平行四边形，然后由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证四边形ABEF是菱形，在Rt△AOB中，用勾股定理即可求解．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，，，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，四边形是正方形，
，，
点在边上，点在边上，
，
，
，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
解得或，
若，则，
不符合题意，舍去，
故答案为：B．
【分析】由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由同角的余角相等可得∠ADH=∠EDG，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，则根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形是正方形，所以，而，则，所以，由，得，，，所以，解关于DE的方程即可求解．
11．【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
12．【答案】10
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设袋中共有x个球，
∵袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为，
∴，
解得x=10．
经检验，x=10是分式方程的解，且符合题意，
故答案为：10．
【分析】设袋中共有x个球，再由袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为，即可得到方程：，解此方程即可．
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FA交⊙A于点G，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB=2，，
∴∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为：．
【分析】延长FA交⊙A于点G，根据正多边形的性质得AB=2，，从而得∠FAB=120°，进而利用扇形面积公式进行求解.
14．【答案】人
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：根据：2艘大船游客+3艘小船游客=人，1艘大船游客+1艘小船游客=人．列出二元一次方程组，解方程组可求出x和y的值，进而可求出答案．
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图象上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，根据正方形的性质，利用AAS得到≌≌，即可得到点C和点D的坐标，进而得到，求出k值即可．
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；“赵爽弦图”模型；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点M作于点P，于点Q，如图所示：
则，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】过点M作于点P，于点Q，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，设，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式，求出，根据正切函数的定义tan∠MFB=可求解．
17．【答案】解：（1）
．
（2）
．
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂
【解析】【分析】
（1）根据负整数指数幂的意义“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得（）-2=4，然后由有理数的加法法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”和单项式乘以多项式法则“单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”去括号，然后根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”进行计算即可求解．
18．【答案】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：连接、，
由（1）可知
，
在和中
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到：，，由证明全等即可．
（2）连接、，根据全等三角形的性质得到：，再利用"SAS"证明，进而即可求解.
19．【答案】（1）解：原方程为，
方程两边同时乘以得
，
解得
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：设？为m，方程两边同时乘以，
得
∵原方程无解
∴是原分式方程的增根，
所以把代入上面的等式得
解得，
∴原分式方程中“？”代表的数是．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（1）“？”当成5，根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程，检验”即可求解，
（2）分式方程有增根是去分母时产生的，于是先去分母，再将代入即可求解．
20．【答案】（1）
（2）解：；
（3）解：七年级掌握更好，理由如下：
七年级和八年级的平均数相同，七年级的中位数和众数都比八年级的大，故七年级掌握更好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
解：（1）七年级中8分的人数所占的比重最大，
∴；
八年级的成绩排序后，第10个和第11个数据为7和8；
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”和中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”计算即可求解；
（2）根据加权平均数的计算公式“”计算即可求解；
（3）根据题中的中位数和众数进行判断即可求解．
21．【答案】解：（1）∵反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
∴，3＝ 1＋b，
∴k＝3，b＝4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝ x＋4；
（2）由图象可得：满足的取值范围是1≤x≤3或x＜0；
（3）∵A（1，3），
∴A关于y轴的对称点A’的坐标为（ 1，3），
设直线A’B的解析式为y＝mx＋n，
∴，解得，
∴直线A’B的解析式为y＝x＋，
令x＝0，则y＝，
∴Q（0，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意，将A、B两点的坐标代入反比例函数和一次函数的解析式可得关于k、b的方程，解之即可求解；
（2）根据图象可知：不等式的解集就是反比例函数图象在一次函数图象下方部分所对应的x的范围，结合A、B两点的横坐标即可求解；
（3）作A’关于y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为Q点，此时AQ＋BQ的和最小，根据待定系数法求得直线A’B的解析式，进而即可求得Q的坐标．
22．【答案】（1）解：∵直径，
．
∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为，
，
．
（2）解：过点D作交于点M（如图），
∵
∵
，
∵，
镜面上的点到桌面的最短距离
．

【知识点】圆的相关概念；解直角三角形的其他实际应用；求正弦值
23．【答案】（1）解：①以点O为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为
把代入得
解得：
抛物线的表达式为；
②令，得，
解得：，（舍去）
喷灌器底端O到点B的距离；
（2）解：如图所示：
，
，
设
把代入得
解得：
当时，
设，
把代入得
解得：
当时，
使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法将点A的坐标代入求出ａ的值，即可求得抛物线的函数表达式；
②令，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值，得到点B的坐标，进而即可求解；
（2）由题意可得，，分别代入，求出的最小值和最大值，再令，求得的最小值和最大值，即可求出ｈ的取值范围.
24．【答案】（1）解：连结，，
∵，，
∵
；

（2）解：连结，
∵，
由（1）得：，
∵
∵
∵，，
．

（3）解：∵，，
，，．
延长交于点H，
由（1）可得：，
∵是直径
∵，
∴是的中位线．
∵
．
设，，半径：
则，在中
得
即：．

【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连结，，由题意用边边边可证，由全等三角形的对应角相等得可求解；
（2）连结，由题意用边角边可证，由全等三角形的对应角相等得，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知即可求解；
（3）由题意可得，，，．延长交于点H，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可证，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可得，由锐角三角函数可得．设，，半径：，在Rt△OHC中，用勾股定理可得关于x、R的方程，解之可将R用含x的代数式表示出来，然后根据可得关于k的方程，解之即可求解．
1 / 12024年浙江省杭州市九年级中考数学三模冲刺训练试题
1．（2024九下·杭州模拟）在4，，0，四个数中，最小的为（　　）
A．4 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数为﹣2，
故答案为：B．
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数比较各数的大小，即可求解．
2．（2024九下·杭州模拟）如图所示的是零件三通的立体图，则这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，看到的图形是一个倒“T”形，即看到的图形如下：
，
故答案为：B．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可．
3．（2024九下·杭州模拟）2023年“亚运双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：13000000 =
故答案为：B.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左往右数第一个数后面整数的位数.
4．（2024九下·杭州模拟）某中学将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图示．将图①抽象成图②的数学问题：在平面内，，的延长线交于点；若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】
解：，，，
∵，
故选：B
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，再根据三角形外角性质：三角形的外角等于不相邻的两内角之和可知：∠DCE=∠AEC+∠EFC，代入数据求解即可．
5．（2024九下·杭州模拟）如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”即可求解．
6．（2024九下·杭州模拟）点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ， ， 中最小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由反比例函数解析式 可知： ，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质求解即可。
7．（2024九下·杭州模拟）如图，中，，，D，E分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∵平分，
∴，
∵D，E分别为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB的值， 由角平分线的概念可得，根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，根据等角对等边得，然后由线段的和差计算即可求解．
8．（2024九下·杭州模拟）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两
则五只雀为5x，六只燕为6y
共重16两，则有
互换其中一只则
五只雀变为四只雀一只燕，即4x+y
六只燕变为五只燕一只雀，即5y+x
且一样重即
由此可得方程组．
故答案为：B．
【分析】由题意列出二元一次方程组，解方程
9．（2024九下·杭州模拟）如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连接并延长，交于点E．连接，若，则的长为（　　）
A．5 B．8 C．12 D．15
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，连接FE，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB=AF，AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∴AO=OE=4，BO=OF=3，
在Rt△AOB中，，
故答案为：A．
【分析】如图，连接FE，设AE交BF于点O．由题意，根据平行四边形的判定“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABEF是平行四边形，然后由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证四边形ABEF是菱形，在Rt△AOB中，用勾股定理即可求解．
10．（2024九下·杭州模拟）“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点作交于点，过点作于点．若，则为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，，，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，四边形是正方形，
，，
点在边上，点在边上，
，
，
，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
解得或，
若，则，
不符合题意，舍去，
故答案为：B．
【分析】由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由同角的余角相等可得∠ADH=∠EDG，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，则根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形是正方形，所以，而，则，所以，由，得，，，所以，解关于DE的方程即可求解．
11．（2024九下·杭州模拟）因式分解： 　 　.
【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
12．（2024九下·杭州模拟）在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有　 　个．
【答案】10
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设袋中共有x个球，
∵袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为，
∴，
解得x=10．
经检验，x=10是分式方程的解，且符合题意，
故答案为：10．
【分析】设袋中共有x个球，再由袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为，即可得到方程：，解此方程即可．
13．（2024九下·杭州模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FA交⊙A于点G，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB=2，，
∴∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为：．
【分析】延长FA交⊙A于点G，根据正多边形的性质得AB=2，，从而得∠FAB=120°，进而利用扇形面积公式进行求解.
14．（2024九下·杭州模拟）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为　 　．
【答案】人
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：根据：2艘大船游客+3艘小船游客=人，1艘大船游客+1艘小船游客=人．列出二元一次方程组，解方程组可求出x和y的值，进而可求出答案．
15．（2024九下·杭州模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图象上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，根据正方形的性质，利用AAS得到≌≌，即可得到点C和点D的坐标，进而得到，求出k值即可．
16．（2024九下·杭州模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连接并延长交于点M，交于点N，连接．当时，　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；“赵爽弦图”模型；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点M作于点P，于点Q，如图所示：
则，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】过点M作于点P，于点Q，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，设，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式，求出，根据正切函数的定义tan∠MFB=可求解．
17．（2024九下·杭州模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）
．
（2）
．
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂
【解析】【分析】
（1）根据负整数指数幂的意义“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得（）-2=4，然后由有理数的加法法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”和单项式乘以多项式法则“单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”去括号，然后根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”进行计算即可求解．
18．（2024九下·杭州模拟）如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．
（1）若，试说明；
（2）在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：连接、，
由（1）可知
，
在和中
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到：，，由证明全等即可．
（2）连接、，根据全等三角形的性质得到：，再利用"SAS"证明，进而即可求解.
19．（2024九下·杭州模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程．
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少．
【答案】（1）解：原方程为，
方程两边同时乘以得
，
解得
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：设？为m，方程两边同时乘以，
得
∵原方程无解
∴是原分式方程的增根，
所以把代入上面的等式得
解得，
∴原分式方程中“？”代表的数是．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（1）“？”当成5，根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程，检验”即可求解，
（2）分式方程有增根是去分母时产生的，于是先去分母，再将代入即可求解．
20．（2024九下·杭州模拟）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格；9分及9分以上为优秀），绘制了如下统计图表：根据信息，解答下列问题：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 7.55
中位数 8
众数 7
（1）学生成绩统计表中______，______．
（2）求七年级学生成绩的平均数；
（3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：；
（3）解：七年级掌握更好，理由如下：
七年级和八年级的平均数相同，七年级的中位数和众数都比八年级的大，故七年级掌握更好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
解：（1）七年级中8分的人数所占的比重最大，
∴；
八年级的成绩排序后，第10个和第11个数据为7和8；
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”和中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”计算即可求解；
（2）根据加权平均数的计算公式“”计算即可求解；
（3）根据题中的中位数和众数进行判断即可求解．
21．（2024九下·杭州模拟）如图，反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于、两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请直接写出满足的取值范围；
（3）若Q为y轴上的一点，使最小，求点Q的坐标．
【答案】解：（1）∵反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于A（1，3）、B（3，1）两点．
∴，3＝ 1＋b，
∴k＝3，b＝4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝ x＋4；
（2）由图象可得：满足的取值范围是1≤x≤3或x＜0；
（3）∵A（1，3），
∴A关于y轴的对称点A’的坐标为（ 1，3），
设直线A’B的解析式为y＝mx＋n，
∴，解得，
∴直线A’B的解析式为y＝x＋，
令x＝0，则y＝，
∴Q（0，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意，将A、B两点的坐标代入反比例函数和一次函数的解析式可得关于k、b的方程，解之即可求解；
（2）根据图象可知：不等式的解集就是反比例函数图象在一次函数图象下方部分所对应的x的范围，结合A、B两点的横坐标即可求解；
（3）作A’关于y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为Q点，此时AQ＋BQ的和最小，根据待定系数法求得直线A’B的解析式，进而即可求得Q的坐标．
22．（2024九下·杭州模拟）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．
（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）．
（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）解：∵直径，
．
∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为，
，
．
（2）解：过点D作交于点M（如图），
∵
∵
，
∵，
镜面上的点到桌面的最短距离
．

【知识点】圆的相关概念；解直角三角形的其他实际应用；求正弦值
23．（2024九下·杭州模拟）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
（1）喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
（2）现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围．
【答案】（1）解：①以点O为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为
把代入得
解得：
抛物线的表达式为；
②令，得，
解得：，（舍去）
喷灌器底端O到点B的距离；
（2）解：如图所示：
，
，
设
把代入得
解得：
当时，
设，
把代入得
解得：
当时，
使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法将点A的坐标代入求出ａ的值，即可求得抛物线的函数表达式；
②令，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值，得到点B的坐标，进而即可求解；
（2）由题意可得，，分别代入，求出的最小值和最大值，再令，求得的最小值和最大值，即可求出ｈ的取值范围.
24．（2024九下·杭州模拟）如图1，内接于⊙，，点D为上的动点，连结交于点E，连结并延长交于点F，连结．
（1）当时，求的度数；
（2）如图2，当，，时，求的长；
（3）如图3，当为⊙的直径，，时，求k的值．
【答案】（1）解：连结，，
∵，，
∵
；

（2）解：连结，
∵，
由（1）得：，
∵
∵
∵，，
．

（3）解：∵，，
，，．
延长交于点H，
由（1）可得：，
∵是直径
∵，
∴是的中位线．
∵
．
设，，半径：
则，在中
得
即：．

【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连结，，由题意用边边边可证，由全等三角形的对应角相等得可求解；
（2）连结，由题意用边角边可证，由全等三角形的对应角相等得，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知即可求解；
（3）由题意可得，，，．延长交于点H，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可证，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可得，由锐角三角函数可得．设，，半径：，在Rt△OHC中，用勾股定理可得关于x、R的方程，解之可将R用含x的代数式表示出来，然后根据可得关于k的方程，解之即可求解．
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