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2024年四川省达州市达川区九年级教育质量监测（中考适应性 ）数学试题
1．（2024九下·达川模拟）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、此选项是该几何体的主视图，故此选项不符合题意；
B、此选项是该几何体的左视图，故此选项不符合题意；
C、此选项是该几何体的俯视图，故此选项符合题意；
D、此选项是该几何体的右视图，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据俯视图是从上往下看，得到的平面图形，进行判断即可．
2．（2024九下·达川模拟）这四个数中，最大的数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
，
即在这四个数中，最大的数是．
故答案为：C．
【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数将需要化简的数进行化简，进而根据正数大于零，令大于负数，几个正数，绝对值大的就大，进行比较即可.
3．（2024九下·达川模拟）如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：
解得
即蜡烛火焰的高度是.
故答案为：A.
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质，可得蜡烛火焰的高度与火焰像的高度的比值等于物距与像距的比值，据此建立方程，求解即可.
4．（2024九下·达川模拟）已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①∵四边形为平行四边形，
∴，，
根据作图可知，垂直平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵AF⊥BE，
∴四边形ABFE为菱形，故①符合题意；
②根据作图可知，AF平分∠BAD，但没有相关痕迹确定EF的位置，故不能判定四边形ABFE为菱形，故②不符合题意；
③根据作图可知，，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故③符合题意；
④根据作图痕迹无法确定E、F的位置，EF不一定垂直平分AC，四边形ABFE不一定为菱形，故④不符合题意，
综上分析可知，正确的只有2个，故B正确．
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，AB∥CD，由作图痕迹得AF垂直平分BE，则BO=OE，从而用AAS判断出△AOE≌△FOB，由全等三角形的对应边相等得AE=BF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断图①；根据作图可知，AF平分∠BAD，但没有相关痕迹确定EF的位置，故不能判定四边形ABFE为菱形，据此可判断图②；由作图痕迹可得AB=BF=AE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断图③；根据作图痕迹无法确定E、F的位置，EF不一定垂直平分AC，四边形ABFE不一定为菱形，据此判断图④.
5．（2024九下·达川模拟）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
．
故答案为：D．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
6．（2024九下·达川模拟）如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB，交AB延长线于D，
，，，
，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】过C作CD⊥AB，交AB延长线于D，根据点的坐标与图形性质可得点D（5，1），根据平面内两点间的距离公式算出CD、AD，然后利用余弦函数的定义直接求出∠BAC的余弦值.
7．（2024九下·达川模拟）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为，
则，
∴，
∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴菱形的边长，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得ab=40，根据一元二次方程根和系数的关系得a+b=12，根据菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理可将菱形的边长表示为，进而根据完全平方公式的恒等变形将式子变形为，最后整体代入计算可得答案.
8．（2024九下·达川模拟）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，那么
C．若，则 D．等边三角形的三个内角都相等
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、 逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
B、 逆命题为：若，那么或，是假命题；
C、 逆命题为：若，则，是真命题；
D、 逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题.
故答案为：B．
【分析】一个命题包括题设和结论两部分，题设一般用“如果或若”领起，结论一般用“那么”领起，将一个命题的题设作为结论，将结论作为题设，即可得出原命题的逆命题，据此分别写出各个命题的逆命题，再根据平行线的性质、有理数乘方运算法则、绝对值性质及等边三角形的判定方法逐一判断即可.
9．（2024九下·达川模拟）如图，在平面直角坐标系中，等边，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵
∴
∵每次旋转
∴每6次旋转
因为……，
∴点在射线上，
因为每次旋转时，三角形的边扩大为原来的倍，
所以第次旋转所得三角形的边长为，
过点作轴于点H，
∴，
，
故点的坐标为
故答案为：D.
【分析】由于每次旋转60°，每6此旋转后，A的对应点又回到x轴负半轴上，而2024÷6=337……2，故A2024在射线OA2上；由于初始等边三角形的边长为1，而每次旋转时，三角形的边扩大为原来的2倍，故经过2024次旋转后边长为22024，过点A2024作A2024H⊥x轴于点H，根据等边三角形的性质及∠A2024OH的正弦和余弦函数可求出A2024H及OH的长，从而得到点A2024的坐标.
10．（2024九下·达川模拟）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图象可知，，，，
∴，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，
∴，故正确；
∵点是图象上任意两点，且，
∴点离对称轴近，点离对称轴远，
∵，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴抛物线为轴的另一个交点为，
∵，
∴方程的所有整数根为，
∴所有整数根的绝对值的和为，故错误；
∴正确的结论有，共个，
故答案为：C．
【分析】由抛物线开口向上得出a＞0，由抛物线交y轴的负半轴得c＜0，由抛物线的对称轴直线公式及抛物线的对称轴为x=-2可得，据此即可判断①；将点（1，0）代入抛物线解析式得，再将b=4a代入，即可判断②；由抛物线开口向上可得抛物线上的点离对称轴直线距离越大其函数值越大，即可判断③；根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，由可得方程的所有整数根为，即可判断④.
11．（2024九下·达川模拟）代数式的的取值范围是 　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
解得，且，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
【分析】根据分式的分母不能为及二次根式的被开平方数不能为负数，列出不等式组，求解即可.
12．（2024九下·达川模拟）在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：140万用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
13．（2024九下·达川模拟）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据垂直平分线性质，角平分线定义可得，，再根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．（2024九下·达川模拟）如图，已知，以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在反比例函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移d个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，d的值为　 　．
【答案】2
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴，交x轴于点E，过A作轴， 过点D作于点F，
∵，
，
∵四边形为正方形，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
∴，
把坐标代入反比例函数解析式得：
∴反比例函数解析式为
同理可证
，
∴，
把代入反比例函数解析式，解得：
即的坐标为，
则将正方形沿轴负方向平移个单位长度，使点恰好落在函数的图象上的点处，
∴
故答案为：2．
【分析】过点C作轴，交x轴于点E，过A作轴， 过点D作于点F，由A、B两点的坐标得OA=3，OB=1，由正方形性质得AB=BC，∠ABC=90°，由直角三角形的量锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠OAB=∠EBC，从而用AAS判断出△AOB≌△BEC，由全等三角形的对应边相等，得BE=AO=3，CE=OB=1，从而即可求出点C的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理可证△DFA≌△BOA，得DF=BO=1，AF=AO=3，从而求出点D的坐标；根据点的坐标平移规律可得点D与点D'得纵坐标都是4，然后将y=4代入反比例函数解析式算出对应的自变量x的值，得到点D'的坐标，观察D、D'的坐标即可得出平移距离d的值.
15．（2024九下·达川模拟）如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，
由旋转的性质得，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵当时，有最小值，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
∴当线段的长度最小时，的面积为．
故答案为：．
【分析】如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，由旋转的性质得，，，根据等式性质推出，从而用SAS判断出△ABP≌△EBP'，由全等三角形的对应角相等得，由角的构成、对顶角相等、直角三角形两锐角互余得，再由当时，有最小值；根据含30°角直角三角形的性质及∠GBE的余弦函数求出BG，∠GCP'的余弦函数求出CP'，过点作于点，由∠GCP'的正弦函数求出P'H，最后根据三角形面积公式计算可得结论．
16．（2024九下·达川模拟）（1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【答案】解：（1）(﹣)﹣2﹣(π﹣3)0+|﹣2|+2sin60°
＝
＝
＝5；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝．
【知识点】分式的化简求值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时由负整数指数幂性质“”、零指数幂性质“a0=1(a≠0)”、绝对值代数意义分别化简，再计算乘法，最后计算加减法运算即可；
（2）先将括号内第一个分式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后将此分式约分化简，进而通分计算括号内异分母分式的减法，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，接着计算分式乘法，约分化简；最后将x=-1代入化简结果计算得出答案.
17．（2024九下·达川模拟）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了_______名学生；
②A组人数_______，扇形统计图中，圆心角_______度；
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】（1）①；②，；
（2）解：人，
答：该校参加D组（阅读）的学生人；
（3）解：由题意可画树状图如下：
共有12中等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，
（恰好抽中甲、乙两人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：①此次调查的总人数为：（人），
②组人数为：（人），
C组的人数为：（人），
扇形统计图中，圆心角，
故答案为：①；②；；
【分析】（1）①根据统计图表提供的信息，利用B组人数除以B组所占百分比即可求出本次调查的总人数；
②利用本次调查的总人数乘以A组所占百分比得到A组人数，根据各组人数之和等于本次调查的总人数得到C组人数，用360°乘以C组人数所占的百分比即可求出扇形统计图中，圆心角的值；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中D组人数所占的百分比，即可估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12中等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
18．（2024九下·达川模拟）如图，在中，，点E在线段上，连结．
（1）用尺规完成以下基本作图，过点E作的垂线交于点F、交于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若点F为线段的中点，证明：．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）证明：连接，
，点为线段的中点，
∴垂直平分，
，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
∴，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）以点E为圆心，大于点E到AC的距离的长度为半径画弧，该弧交AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点H，过点E、H作直线，交AC于点F，交BC于点G，EG就是所求的线；
（2）连接AG，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AE=CE，AG=CG，由等边对等角得∠EAF=∠ECF及∠FAG=∠FCG，由平行四边形的对边平行得AE∥CG，哟二直线平行，内错角相等得∠EAC=∠ACG，则∠ACE=∠CAG，由内错角相等，两直线平行，得AG∥CE，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AGBE是平行四边形，进而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得四边形AGCE是菱形，根据菱形的四边相等及平行四边形的对边相等即可得到结论.
19．（2024九下·达川模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移个单位长度得到，请画出；
（2）画出与关于点对称的；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求图形；
（2）解：即为所求图形；
（3）解： 旋转过程中点A到点A2所经过的路径长度为5π.
【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转；中心对称的性质
【解析】【解答】（3）解：∵中，，，中点，，，如图所示，连接对应点，交于点，如图所示，
当绕点顺时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为；
当绕点逆时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为，
∴，
∴点到点所经过的路径长．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向右平移6个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A1、B1、C1关于点O的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可；
（3）根据各点坐标的特点与各点的特点，得出点A到点A2所经过的路程，其实质就是以点M为圆心，MA的长度为半径，圆心角为180°的一段弧长，利用弧长公式计算即可.
20．（2024九下·达川模拟）如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，）
（1）求液压杆顶端到底盘的距离的长；
（2）求的长．
【答案】（1）解： 在中，，．
，
，
即的长为米；
（2）解： 在中，，，
，
，
，
，
，
（米），
即的长为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；母子模型
【解析】【分析】（1）在中，根据正弦的定义求出BE长即可；
（2）根据正切的定义求出OE与AE的长，然后根据线段的和差解题即可．
21．（2024九下·达川模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C，已知点的坐标分别为和．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵直线过点
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解： 不等式的解集为：或
（3）解：把代入得：，
∴点的坐标为：，
，
，
，
，
当点的纵坐标为时，则，解得，
当点的纵坐标为时， 则解得
∴点的坐标为或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）观察图象，不等式的解集为或；
【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式；
（2）从图象角度看，求不等式的解集，就是求直线位于反比例函数图象下方部分相应的自变量的取值范围，结合A、B两点的横坐标即可得出答案；
（3）首先根据直线与x轴交点的坐标特点求出点C的坐标，得到OC的长度，然后根据三角形面积计算公式算出△AOC的面积，进而由，求出，最后根据三角形面积公式可求出点P的纵坐标，再将点P的纵坐标代入反比例函数解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标．
22．（2024九下·达川模拟）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
（1）分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
（2）若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；
（3）因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值．
【答案】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：，解得：（舍去）或，
经检验：是原方程的根；
∴；
答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元；
（2）解：设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒，由题意，得：
解得：，
∴的最大整数解为：35，甲坚果每盒利润68-48=20（元），乙坚果每盒利润50-40=10（元）
设总利润为，则：
∴当时，有最大值：
故总利润的最大值为元．
（3）解：由题意“甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率” ，得：，解得：，
设 第二次购进的甲坚果数量为n，乙坚果的数量为3n.
∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，
∴
整理，得：
∵均为正整数，
∴或，
∴或．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进甲坚果的数量为盒，用含有m的式子表示乙坚果的盒数，根据“乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍”求出m的取值范围，根据题意列出总利润为的函数关系式，由于甲坚果每盒利润高于乙坚果每盒利润，当m取最大值时，总利润最大，即可总利润的最大值。
（3）根据“甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率” 求出a的取值范围，设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意总利润3600元，二元一次方程，由于a、n均为整数，求出二元一次方程的整数解即可．
23．（2024九下·达川模拟）如图，在中，，点D在边上，且是的外接圆，是的直径，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明： ∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：作， 垂足为点，
∵，
∴，
，
，即，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，由同弧所对的圆周角相等得∠E=∠C，等量代换得到根据直径所对的圆周角是直角得到根据直角三角形两锐角互余、等量代换及角的构成得到于是得到结论；
（2）作AH⊥BC垂足为点H，由∠B的正弦函数可算出AH的长，进而根据勾股定理算出BH的长，在Rt△ADH中，利用勾股定理建立方程可算出AD的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AED∽△ABH，由相似三角形的对应边成比例建立方程求出AE的长.
24．（2024九下·达川模拟）已知抛物线与x轴相交于点），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使？若存在，直接写出Q点坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在 当时，，
∴，
∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线
的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
，
，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
∴直线的解析式为
当 时，，
，
∴，
，
；
（3）解：存在，点Q的坐标为：或或或.
【知识点】同角三角函数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵点D为OC的中点C(0，4)，
∴D(0，2)，
∴OD=2，
∵B(-4，0)，
∴OB=4，
∴tan∠OBD=，
又∵ ，
∴∠QDB=∠OBD，
①当点在点下方时：
过点作， 交抛物线于点， 则此时点纵坐标为，
设点横坐标为，
则：解得：，
或；
②当点在点上方时：设与轴交于点，
，
设，
，
解得：
，
易得DE的解析式为，
联立
解得： 或
或；
综上：或一或或
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=ax2+bx-4可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点C的坐标，利用抛物线的对称轴直线公式求出抛物线的对称轴直线为根据的周长等于以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：得到当三点共线时，，此时点为直线与对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后将代入直线BC的解析式，算出对应的函数值，可得点P的坐标；利用三角形面积计算公式分别算出两三角形面积，再求比值即可；
（3）根据中点坐标公式求出D点坐标为，根据正切函数定义得到由等角的同名三角函数值相等，得到；分类讨论：①当Q点在D点下方时，过点作， 交抛物线于点， 由二直线平行，内错角相等，得根据点的坐标与图形性质得此时点纵坐标为，将y=-2代入抛物线的解析式，求解得出对应得自变量x的值，从而求出满足条件的点Q的坐标；②当点Q在D点上方时：设DQ与x轴交于点E，由等角对等边得DE=BE，设E(p，0)，利用两点间的距离分别表示出DE2、BE2，从而可建立关于字母p的方程，求解得出P的值，从而得到点E的坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，然后联立直线DE与抛物线的解析式求解即可得出满足条件的点Q的坐标.
25．（2024九下·达川模拟）综合与实践，在中，为边的中点，以为顶点作．
（1）如图，当射线经过点时，交边于点，不添加辅助线，则图中与相似的三角形有_______．（填序号）
；；；．
（2）如图，将绕点沿逆时针方向旋转，分别交线段于点，（点与点不重合），求证：．
（3）在图中，若，当的面积等于的面积的时，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点作，，垂足分别为
∵，是的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（1）解：∵为边的中点，
∴，，，
∴，
在和中，只有，故无法判断相似，不符合题意；
∵，，
∴，故符合题意；
∵，，
∴，故符合题意；
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，故符合题意；
∴图中与相似的三角形有，
故答案为：；
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，由等边对等角得∠B=∠C，由等角的余角相等得∠BAD=∠CDE，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△ABD∽△ADC，△ABD∽△ADE，△ABD∽△DCE，此题得解；
（2）由三角形外角相等、角的构成及已知求出，由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△BDF∽△CED，由相似三角形对应边成比例得到，进而得到，从而根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出，即可得到；
（3）连接，过点作，，垂足分别为，根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，BD=BC=3，然后利用勾股定理算出AD的长，根据三角形面积计算公式算出△ABC的面积，进而可求出的面积，再根据等面积法求出的长，由相似三角形对应角相等得∠DFB=∠EFD，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=DG，最后根据三角形的面积即可求解.
1 / 12024年四川省达州市达川区九年级教育质量监测（中考适应性 ）数学试题
1．（2024九下·达川模拟）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·达川模拟）这四个数中，最大的数是（　　）
A． B．0 C． D．
3．（2024九下·达川模拟）如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·达川模拟）已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2024九下·达川模拟）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·达川模拟）如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·达川模拟）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·达川模拟）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，那么
C．若，则 D．等边三角形的三个内角都相等
9．（2024九下·达川模拟）如图，在平面直角坐标系中，等边，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·达川模拟）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．（2024九下·达川模拟）代数式的的取值范围是 　 　．
12．（2024九下·达川模拟）在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为　 　．
13．（2024九下·达川模拟）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得　 　．
14．（2024九下·达川模拟）如图，已知，以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在反比例函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移d个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，d的值为　 　．
15．（2024九下·达川模拟）如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为　 　．
16．（2024九下·达川模拟）（1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
17．（2024九下·达川模拟）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了_______名学生；
②A组人数_______，扇形统计图中，圆心角_______度；
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
18．（2024九下·达川模拟）如图，在中，，点E在线段上，连结．
（1）用尺规完成以下基本作图，过点E作的垂线交于点F、交于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若点F为线段的中点，证明：．
19．（2024九下·达川模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移个单位长度得到，请画出；
（2）画出与关于点对称的；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度．
20．（2024九下·达川模拟）如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，）
（1）求液压杆顶端到底盘的距离的长；
（2）求的长．
21．（2024九下·达川模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C，已知点的坐标分别为和．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
22．（2024九下·达川模拟）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
（1）分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
（2）若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；
（3）因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值．
23．（2024九下·达川模拟）如图，在中，，点D在边上，且是的外接圆，是的直径，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
24．（2024九下·达川模拟）已知抛物线与x轴相交于点），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使？若存在，直接写出Q点坐标．
25．（2024九下·达川模拟）综合与实践，在中，为边的中点，以为顶点作．
（1）如图，当射线经过点时，交边于点，不添加辅助线，则图中与相似的三角形有_______．（填序号）
；；；．
（2）如图，将绕点沿逆时针方向旋转，分别交线段于点，（点与点不重合），求证：．
（3）在图中，若，当的面积等于的面积的时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、此选项是该几何体的主视图，故此选项不符合题意；
B、此选项是该几何体的左视图，故此选项不符合题意；
C、此选项是该几何体的俯视图，故此选项符合题意；
D、此选项是该几何体的右视图，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据俯视图是从上往下看，得到的平面图形，进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
，
即在这四个数中，最大的数是．
故答案为：C．
【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数将需要化简的数进行化简，进而根据正数大于零，令大于负数，几个正数，绝对值大的就大，进行比较即可.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：
解得
即蜡烛火焰的高度是.
故答案为：A.
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质，可得蜡烛火焰的高度与火焰像的高度的比值等于物距与像距的比值，据此建立方程，求解即可.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①∵四边形为平行四边形，
∴，，
根据作图可知，垂直平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵AF⊥BE，
∴四边形ABFE为菱形，故①符合题意；
②根据作图可知，AF平分∠BAD，但没有相关痕迹确定EF的位置，故不能判定四边形ABFE为菱形，故②不符合题意；
③根据作图可知，，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故③符合题意；
④根据作图痕迹无法确定E、F的位置，EF不一定垂直平分AC，四边形ABFE不一定为菱形，故④不符合题意，
综上分析可知，正确的只有2个，故B正确．
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，AB∥CD，由作图痕迹得AF垂直平分BE，则BO=OE，从而用AAS判断出△AOE≌△FOB，由全等三角形的对应边相等得AE=BF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断图①；根据作图可知，AF平分∠BAD，但没有相关痕迹确定EF的位置，故不能判定四边形ABFE为菱形，据此可判断图②；由作图痕迹可得AB=BF=AE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断图③；根据作图痕迹无法确定E、F的位置，EF不一定垂直平分AC，四边形ABFE不一定为菱形，据此判断图④.
5．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
．
故答案为：D．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB，交AB延长线于D，
，，，
，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】过C作CD⊥AB，交AB延长线于D，根据点的坐标与图形性质可得点D（5，1），根据平面内两点间的距离公式算出CD、AD，然后利用余弦函数的定义直接求出∠BAC的余弦值.
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为，
则，
∴，
∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴菱形的边长，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得ab=40，根据一元二次方程根和系数的关系得a+b=12，根据菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理可将菱形的边长表示为，进而根据完全平方公式的恒等变形将式子变形为，最后整体代入计算可得答案.
8．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、 逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
B、 逆命题为：若，那么或，是假命题；
C、 逆命题为：若，则，是真命题；
D、 逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题.
故答案为：B．
【分析】一个命题包括题设和结论两部分，题设一般用“如果或若”领起，结论一般用“那么”领起，将一个命题的题设作为结论，将结论作为题设，即可得出原命题的逆命题，据此分别写出各个命题的逆命题，再根据平行线的性质、有理数乘方运算法则、绝对值性质及等边三角形的判定方法逐一判断即可.
9．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵
∴
∵每次旋转
∴每6次旋转
因为……，
∴点在射线上，
因为每次旋转时，三角形的边扩大为原来的倍，
所以第次旋转所得三角形的边长为，
过点作轴于点H，
∴，
，
故点的坐标为
故答案为：D.
【分析】由于每次旋转60°，每6此旋转后，A的对应点又回到x轴负半轴上，而2024÷6=337……2，故A2024在射线OA2上；由于初始等边三角形的边长为1，而每次旋转时，三角形的边扩大为原来的2倍，故经过2024次旋转后边长为22024，过点A2024作A2024H⊥x轴于点H，根据等边三角形的性质及∠A2024OH的正弦和余弦函数可求出A2024H及OH的长，从而得到点A2024的坐标.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图象可知，，，，
∴，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，
∴，故正确；
∵点是图象上任意两点，且，
∴点离对称轴近，点离对称轴远，
∵，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴抛物线为轴的另一个交点为，
∵，
∴方程的所有整数根为，
∴所有整数根的绝对值的和为，故错误；
∴正确的结论有，共个，
故答案为：C．
【分析】由抛物线开口向上得出a＞0，由抛物线交y轴的负半轴得c＜0，由抛物线的对称轴直线公式及抛物线的对称轴为x=-2可得，据此即可判断①；将点（1，0）代入抛物线解析式得，再将b=4a代入，即可判断②；由抛物线开口向上可得抛物线上的点离对称轴直线距离越大其函数值越大，即可判断③；根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，由可得方程的所有整数根为，即可判断④.
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
解得，且，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
【分析】根据分式的分母不能为及二次根式的被开平方数不能为负数，列出不等式组，求解即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：140万用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据垂直平分线性质，角平分线定义可得，，再根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴，交x轴于点E，过A作轴， 过点D作于点F，
∵，
，
∵四边形为正方形，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
∴，
把坐标代入反比例函数解析式得：
∴反比例函数解析式为
同理可证
，
∴，
把代入反比例函数解析式，解得：
即的坐标为，
则将正方形沿轴负方向平移个单位长度，使点恰好落在函数的图象上的点处，
∴
故答案为：2．
【分析】过点C作轴，交x轴于点E，过A作轴， 过点D作于点F，由A、B两点的坐标得OA=3，OB=1，由正方形性质得AB=BC，∠ABC=90°，由直角三角形的量锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠OAB=∠EBC，从而用AAS判断出△AOB≌△BEC，由全等三角形的对应边相等，得BE=AO=3，CE=OB=1，从而即可求出点C的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理可证△DFA≌△BOA，得DF=BO=1，AF=AO=3，从而求出点D的坐标；根据点的坐标平移规律可得点D与点D'得纵坐标都是4，然后将y=4代入反比例函数解析式算出对应的自变量x的值，得到点D'的坐标，观察D、D'的坐标即可得出平移距离d的值.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，
由旋转的性质得，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵当时，有最小值，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
∴当线段的长度最小时，的面积为．
故答案为：．
【分析】如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，由旋转的性质得，，，根据等式性质推出，从而用SAS判断出△ABP≌△EBP'，由全等三角形的对应角相等得，由角的构成、对顶角相等、直角三角形两锐角互余得，再由当时，有最小值；根据含30°角直角三角形的性质及∠GBE的余弦函数求出BG，∠GCP'的余弦函数求出CP'，过点作于点，由∠GCP'的正弦函数求出P'H，最后根据三角形面积公式计算可得结论．
16．【答案】解：（1）(﹣)﹣2﹣(π﹣3)0+|﹣2|+2sin60°
＝
＝
＝5；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝．
【知识点】分式的化简求值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时由负整数指数幂性质“”、零指数幂性质“a0=1(a≠0)”、绝对值代数意义分别化简，再计算乘法，最后计算加减法运算即可；
（2）先将括号内第一个分式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后将此分式约分化简，进而通分计算括号内异分母分式的减法，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，接着计算分式乘法，约分化简；最后将x=-1代入化简结果计算得出答案.
17．【答案】（1）①；②，；
（2）解：人，
答：该校参加D组（阅读）的学生人；
（3）解：由题意可画树状图如下：
共有12中等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，
（恰好抽中甲、乙两人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：①此次调查的总人数为：（人），
②组人数为：（人），
C组的人数为：（人），
扇形统计图中，圆心角，
故答案为：①；②；；
【分析】（1）①根据统计图表提供的信息，利用B组人数除以B组所占百分比即可求出本次调查的总人数；
②利用本次调查的总人数乘以A组所占百分比得到A组人数，根据各组人数之和等于本次调查的总人数得到C组人数，用360°乘以C组人数所占的百分比即可求出扇形统计图中，圆心角的值；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中D组人数所占的百分比，即可估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12中等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
18．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）证明：连接，
，点为线段的中点，
∴垂直平分，
，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
∴，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）以点E为圆心，大于点E到AC的距离的长度为半径画弧，该弧交AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点H，过点E、H作直线，交AC于点F，交BC于点G，EG就是所求的线；
（2）连接AG，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AE=CE，AG=CG，由等边对等角得∠EAF=∠ECF及∠FAG=∠FCG，由平行四边形的对边平行得AE∥CG，哟二直线平行，内错角相等得∠EAC=∠ACG，则∠ACE=∠CAG，由内错角相等，两直线平行，得AG∥CE，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AGBE是平行四边形，进而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得四边形AGCE是菱形，根据菱形的四边相等及平行四边形的对边相等即可得到结论.
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求图形；
（2）解：即为所求图形；
（3）解： 旋转过程中点A到点A2所经过的路径长度为5π.
【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转；中心对称的性质
【解析】【解答】（3）解：∵中，，，中点，，，如图所示，连接对应点，交于点，如图所示，
当绕点顺时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为；
当绕点逆时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为，
∴，
∴点到点所经过的路径长．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向右平移6个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A1、B1、C1关于点O的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可；
（3）根据各点坐标的特点与各点的特点，得出点A到点A2所经过的路程，其实质就是以点M为圆心，MA的长度为半径，圆心角为180°的一段弧长，利用弧长公式计算即可.
20．【答案】（1）解： 在中，，．
，
，
即的长为米；
（2）解： 在中，，，
，
，
，
，
，
（米），
即的长为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；母子模型
【解析】【分析】（1）在中，根据正弦的定义求出BE长即可；
（2）根据正切的定义求出OE与AE的长，然后根据线段的和差解题即可．
21．【答案】（1）解：∵直线过点
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解： 不等式的解集为：或
（3）解：把代入得：，
∴点的坐标为：，
，
，
，
，
当点的纵坐标为时，则，解得，
当点的纵坐标为时， 则解得
∴点的坐标为或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）观察图象，不等式的解集为或；
【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式；
（2）从图象角度看，求不等式的解集，就是求直线位于反比例函数图象下方部分相应的自变量的取值范围，结合A、B两点的横坐标即可得出答案；
（3）首先根据直线与x轴交点的坐标特点求出点C的坐标，得到OC的长度，然后根据三角形面积计算公式算出△AOC的面积，进而由，求出，最后根据三角形面积公式可求出点P的纵坐标，再将点P的纵坐标代入反比例函数解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标．
22．【答案】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：，解得：（舍去）或，
经检验：是原方程的根；
∴；
答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元；
（2）解：设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒，由题意，得：
解得：，
∴的最大整数解为：35，甲坚果每盒利润68-48=20（元），乙坚果每盒利润50-40=10（元）
设总利润为，则：
∴当时，有最大值：
故总利润的最大值为元．
（3）解：由题意“甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率” ，得：，解得：，
设 第二次购进的甲坚果数量为n，乙坚果的数量为3n.
∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，
∴
整理，得：
∵均为正整数，
∴或，
∴或．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进甲坚果的数量为盒，用含有m的式子表示乙坚果的盒数，根据“乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍”求出m的取值范围，根据题意列出总利润为的函数关系式，由于甲坚果每盒利润高于乙坚果每盒利润，当m取最大值时，总利润最大，即可总利润的最大值。
（3）根据“甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率” 求出a的取值范围，设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意总利润3600元，二元一次方程，由于a、n均为整数，求出二元一次方程的整数解即可．
23．【答案】（1）证明： ∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：作， 垂足为点，
∵，
∴，
，
，即，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，由同弧所对的圆周角相等得∠E=∠C，等量代换得到根据直径所对的圆周角是直角得到根据直角三角形两锐角互余、等量代换及角的构成得到于是得到结论；
（2）作AH⊥BC垂足为点H，由∠B的正弦函数可算出AH的长，进而根据勾股定理算出BH的长，在Rt△ADH中，利用勾股定理建立方程可算出AD的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AED∽△ABH，由相似三角形的对应边成比例建立方程求出AE的长.
24．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在 当时，，
∴，
∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线
的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
，
，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
∴直线的解析式为
当 时，，
，
∴，
，
；
（3）解：存在，点Q的坐标为：或或或.
【知识点】同角三角函数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵点D为OC的中点C(0，4)，
∴D(0，2)，
∴OD=2，
∵B(-4，0)，
∴OB=4，
∴tan∠OBD=，
又∵ ，
∴∠QDB=∠OBD，
①当点在点下方时：
过点作， 交抛物线于点， 则此时点纵坐标为，
设点横坐标为，
则：解得：，
或；
②当点在点上方时：设与轴交于点，
，
设，
，
解得：
，
易得DE的解析式为，
联立
解得： 或
或；
综上：或一或或
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=ax2+bx-4可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点C的坐标，利用抛物线的对称轴直线公式求出抛物线的对称轴直线为根据的周长等于以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：得到当三点共线时，，此时点为直线与对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后将代入直线BC的解析式，算出对应的函数值，可得点P的坐标；利用三角形面积计算公式分别算出两三角形面积，再求比值即可；
（3）根据中点坐标公式求出D点坐标为，根据正切函数定义得到由等角的同名三角函数值相等，得到；分类讨论：①当Q点在D点下方时，过点作， 交抛物线于点， 由二直线平行，内错角相等，得根据点的坐标与图形性质得此时点纵坐标为，将y=-2代入抛物线的解析式，求解得出对应得自变量x的值，从而求出满足条件的点Q的坐标；②当点Q在D点上方时：设DQ与x轴交于点E，由等角对等边得DE=BE，设E(p，0)，利用两点间的距离分别表示出DE2、BE2，从而可建立关于字母p的方程，求解得出P的值，从而得到点E的坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，然后联立直线DE与抛物线的解析式求解即可得出满足条件的点Q的坐标.
25．【答案】（1）；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点作，，垂足分别为
∵，是的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（1）解：∵为边的中点，
∴，，，
∴，
在和中，只有，故无法判断相似，不符合题意；
∵，，
∴，故符合题意；
∵，，
∴，故符合题意；
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，故符合题意；
∴图中与相似的三角形有，
故答案为：；
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，由等边对等角得∠B=∠C，由等角的余角相等得∠BAD=∠CDE，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△ABD∽△ADC，△ABD∽△ADE，△ABD∽△DCE，此题得解；
（2）由三角形外角相等、角的构成及已知求出，由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△BDF∽△CED，由相似三角形对应边成比例得到，进而得到，从而根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出，即可得到；
（3）连接，过点作，，垂足分别为，根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，BD=BC=3，然后利用勾股定理算出AD的长，根据三角形面积计算公式算出△ABC的面积，进而可求出的面积，再根据等面积法求出的长，由相似三角形对应角相等得∠DFB=∠EFD，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=DG，最后根据三角形的面积即可求解.
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