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5.2《简单的轴对称图形》小节复习题
【题型1 等腰三角形的“等边对等角”】
1.如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为
3.如图，在中，，点，在边上，．求证：．
4.如图，在中，，点D是的中点，点F在边上，连接，过点B作，交的延长线于点E．求证：．
【题型2 等腰三角形的“三线合一”】
1.如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，∠BAD＝30°，AD＝AE，则∠EDC＝ ．
3.如图，在中，，是边上的中线，于点．试说明：．
4.已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．

【题型3 等边三角形】
1.如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（ ）
A．10° B．20° C．15° D．5°
2.如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（ ）
A．5 B．10 C．8 D．6
3.在中，，平分，一个等边三角形如图摆放， 交于点F．若，，则等边三角形的边长为 ．
4.如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【题型4 垂直平分线的性质】
1.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ）
A．26 B．17 C．20 D．23
2.如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4.如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为M，N，已知的周长为22，则的长为 ．

【题型5 尺规作线段的垂直平分线】
1.如图，点在的边上，请用尺规作图法在边上求作一点，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
2.如图，在中，．

尺规作图：作的垂直平分线，交于点，（不写作法，保留作图痕迹）；
3.如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

4.如图，已知，请用尺规作图的方法在边上求作一点D，连接，使得是以为底的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）

【题型6 角平分线的性质】
1.如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ．
2.如图，中，，的三条内角平分线交于点，于，若，则的周长是 ．
3.如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明．
4.【新情境】
图1是一个平分角的仪器，其中，．
(1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由；
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积．
【题型7 尺规作角平分线】
1.如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）
2.(1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）如图中．在图中求作的角平分线．
(2)在（1）的条件下．证明：．
3.如图， 政府准备在A、B、C、D四个小区中间的空地建造一个圆形的中心公园M，要求在三条道路上各开一个门，请你帮忙划定中心公园M的最大范围．
4.如图，某地有一个五边形花园为花园内一条小路，点、处分别为便利店和植物科普展览台的位置，现在打算在花园内修建一个休息区，要求休息区到便利店的距离和休息区到植物科普展览台的距离相等，且休息区到的距离与休息区到的距离也相等．请你在图中找出休息区的位置．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
参考答案
【题型1 等腰三角形的“等边对等角”】
1.C
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案．
【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2.或
【分析】等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论．
【详解】解：分两种情况：
当的角是底角时，则顶角度数为；
当的角是顶角时，则顶角为．
故答案为：或．
3.证明： ，
，
，
在和中，
，
，
．
4.证明：，
，
，
，
点D是的中点，
，
在和中，
，
，
．
【题型2 等腰三角形的“三线合一”】
1.D
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差求解即可得．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2.15°
【分析】根据题意结合等腰三角形三线合一可知，．再由三角形内角和定理和等腰三角形的两个底角相等，可求出，最后即可求出．
【详解】∵在△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，
∴为的角平分线，，
∴．
∵在△ADE中，AD＝AE，，
∴，
∴．
故答案为：．
3.解：因为，是边上的中线，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
4.证明：，
，
，
．
，平分，
．
在和中，
，
．
【题型3 等边三角形】
1.A
【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
故选：A．
2.B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积额，利用等积法求解是解答本题的关键．连接，根据，再代入数值可得答案．
【详解】解：连接，
∵是等边三角形，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
故选：B．
3.5
【分析】设，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，再利用等边三角形的性质可得，，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：设，
∵，平分，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴2+2x=3.5+x ，
解得：，
∴，
∴等边三角形的边长为5，
故答案为：5．
4.（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵在等边中，，
∴．
【题型4 垂直平分线的性质】
1.D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式、等量代换可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：D．
2.D
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差求解即可得．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
3.C
【分析】本题考查等腰三角性质，中垂线的性质，连接，三线合一推出垂直平分，进而得到，得到，得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据垂线段最短，得到当时，最小，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵，是的中线，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小为的长，
∵为上的动点，
∴当时，最小，
此时：，
∵
∴，
∴的最小值为8；
故选：C．
4.22
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由，的垂直平分线分别交于D，E，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长等于的长．
【详解】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，E，
∴，
∴，即为的周长，
∵的周长为22，
∴．
故答案为：22．
【题型5 尺规作线段的垂直平分线】
1.解：如图，点即为所作.
2.解：如图，点为所作；

3.解：如图，点C即为所求．

4.解：如图，即为所求．

【题型6 角平分线的性质】
1.3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案．
【详解】解：过点D作，交于点E，
平分，，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：3．
2.100
【分析】本题综合考查三角形内角平分线的性质和三角形的面积计算公式． 由三角形内角平分线的性质，可得点O到三边的距离都等于的长，将面积看作3个三角形面积之和，即可得到的周长．
【详解】解：∵点O是三角形三条角平分线的交点，，
∴点O到三边的距离等于的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：100
3.证明：，证明：
连接，
在与中，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
4.（1）解：是的平分线，
理由如下：
在和中，
，
，
平分；
（2）解：过点作于点，
平分，
，
，
．
【题型7 尺规作角平分线】
1.解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，交点P即为所作．
2.（1）解：以为圆心，任意长为半径画圆弧交，于两点，再分别以两点为圆心大于两点间距离为半径画圆弧交于一点，连接交点与顶点，交于一点D，如图所示即为的角平分线，
；
（2）证明：∵是的角平分线，
∴，
在与中，
∵，
∴ ，
∴，
∴．
3.解：∵要求在三条道路上各开一个门，
∴画和的角平分线交于点M，再过M作（或）的垂线，作圆M，
∴即得到中心公园M的范围，作图如下：
4.解：∵点P到边、的距离相等，
∴点P在的角平分线上，
∵点P到点A、点D的距离相等，
∴P在线段的垂直平分线上，
即P为的角平分线与线段垂直平分线的交点，
如图，点P即为所作：

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