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第五章《图形的轴对称》综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，是的中点，点，分别在边，上，且满足，则四边形的面积为（）
A．36 B．18 C．9 D．
3．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
4．在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　）
A．8 B．10 C．14 D．10或14
6．如图是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（ ）
A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉
9．如图，在中，平分，下列说法：
①若，则；
②若，则；
③若，，，则；
④若，，，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
10．如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
12．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．
13．如图， ，和分别平分和，过点P，且与垂直，若， ，则四边形的面积是 ．
14．如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为 ．
15．在中，，的垂直平分线与边所在的直线相交所得的锐角为，则的度数为 ．
16．如图，Rt ABC中，，角平分线，交于点F，若，则 度．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图中四边形就是一个“格点四边形”．
(1)求图中四边形的面积；
(2)在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形关于直线成轴对称．（要求与，与，与，与相对应）
(3)在直线上找到一点，使的值最大（保作图痕迹）．
18．（6分）在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接．
(1)如图1，当时，
①求证：；
②求的度数．
(2)当时，补全图2，并求证：．
19．（8分）如图，在长方形中，，点在边上运动，连接，点关于直线的对称点为．

(1)点落在边上，求线段的长；
(2)点落在线段上，求线段的长；
(3)当点运动到点时，连接．请问是否与平行？若平行，请加以证明，若不平行，请说明理由．
20．（8分）下列正方形网格图中，部分方格涂上了颜色，请按照不同要求作图．
(1)作出图①的对称轴；
(2)将图②中的某一个方格涂上颜色，使整个图形成仅有一条对称轴的轴对称图形；
(3)将图③中的某两个方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴的轴对称图形．
21．（10分）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．

(1)如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”；
(2)在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．
(3)如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”；
(4)如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由．
22．（10分）在四边形中，仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图，在边上确定点，使点到边、的距离相等．
(2)如图，在四边形的边上确定点的位置，使，若点有不同位置，请用、…区分；
23．（12分）如图
(1)动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为______．
(2)观察发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
24．（12分）综合与实践：
如图1，直线与直线相互垂直，垂足为点O，．
初步感知：
（1）如图1，C为延长线上一点，连接．过点A作，垂足为点H，交于点P．
①求证：；
②若，试求的面积．
拓展延伸：
（2）如图2，若点D为的中点，点M为延长线上一动点，连结，过点D作交直线于点N，当M点在延长线上运动的过程中，的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质．首先根据平行的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据邻补角的定义可得，根据折叠的性质可得．
【详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
，
根据折叠的性质可知．
故选：A ．
2．C
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．由，，得，，由是的中点，得，，，则，而，即可根据“”证明，则，推导出，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，
，，
是的中点，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可．
【详解】解：过点作，
则：，
∴，
∵点为直线上的一个动点，
∴当时，最短，
∵是的平分线，
∴当时，，
∴线段的长不可能是2；
故选A．
4．A
【分析】本题考查正方形性质，旋转的旋转，等腰三角形性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质和等腰三角形性质表示出，结合正方形性质得到，再利用等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用等腰三角形性质即可得到的度数．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案．熟练掌握垂直平分线性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
【详解】解：当点在点左侧时，如图所示：
由垂直平分线性质可知，
∴；
当点在点的右侧时，如图所示：
由垂直平分线性质可知，
∴；
综上所述，的周长为10或14，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后的图形．设，根据折叠的性质得，则，再由第2次折叠得到，于是利用平角定义可计算出，接着根据平行线的性质得，据此即可求得．
【详解】解：如图，设，
∵纸条沿折叠，
∴，
∴，
∵纸条沿折叠，
∴，
而，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，延长，交于点G，先根据矩形的性质证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质证明，所以，继而证明，即可得到答案．
【详解】解：如图，延长，交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵点E为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查三角形中的折叠问题，先折叠再根据三角形角平分线、中线、高线定义判断即可得到答案．
【详解】解：如图，
过折叠三角形纸片，使与重合，此时折痕即是过点的角平分线，经过了一次折叠；
先折出中点，再过中点和折叠三角形纸片，折痕即是过点的中线，经过了两次折叠；
过折叠三角形纸片，使在折痕两侧的部分在同一直线上，此时折痕即是过点的高线，经过了一次折叠；
∴通过一次折叠，一定能折出三角形的角平分线、高线，故小琪的说法正确，
故选：C．
9．D
【分析】分别根据角平分线的性质结合三角形面积法进行求解即可
【详解】解：①设边上的高为h，则，若，则，故①错误；
②过D作，，
∵平分，
∴,
∵
∴
因此，若，则，故②正确；
③若，过D作，
∵平分，
∴,
∴
故③正确；
④若，，，
∴设，则由勾股定理得：
∴，解得，
∴
∵，
∴，即
解得，．故④正确
故选：D
10．D
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称．

所以在图中与成轴对称的格点三角形可以画出6个．
故选：D．
二．填空题
11．A或C
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
12．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：过A作于H，过E作于F，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
作于点，根据，，得到，根据平分，平分得到，，即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴()，
∴，
同理可得：，
，
∴四边形的面积，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等角对等边，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质得，，根据三角形内角和，则，再根据对顶角相等，则，根据三角形内角和，则，，最后根据，即可求解．
【详解】解：∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．或
【分析】此题考查了线段垂直平分线和三等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论，分当的垂直平分线与边相交和当的垂直平分线与的延长线相交两种情况求解即可．
【详解】解：当的垂直平分线与边相交时，如图①，边的垂直平分线与边交于点D，，则，
∵，
∴．
当的垂直平分线与的延长线相交时，如图②，边的垂直平分线与的延长线交于点D，，则，
∴．
∵，
∴．
综上所述：为或．
故答案为：或．
16．
【分析】本题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．过点F作于点G，于点H，于点T，连结，先根据角平分线定理证明，，从而得到，再根据“斜边直角边”证明，得到，设，列出方程并求解，得到，由此即得答案．
【详解】解：过点F作于点G，于点H，于点T，连接，
平分，
，，
平分，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
，
解得，
．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（1）解：四边形的面积为
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）∵
∴当在上时取得等于号，
∴
∴
∴延长交于点，则点即为所求；如图所示
18．（1）解：①证明：是的高，，
，
是的高，
，
在和中，
，
，
；
②解：如图：
由①知：，
，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，
，
故是等腰直角三角形，
；
（2）解：补全图形如下：
，
，
是的高，
是等腰直角三角形，
，
是的高，
，
，
，
，
，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，
，
，
，
．
19．（1）解：如图1中，

∵四边形是长方形，
点落在边上，
为等腰直角三角形，
．
（2）如图2中，点落在线段上，

，即点到的距离为2，
，
，
，
，
的高等于，
，
，
.
（3）如图3，方法1：长方形，

，
又三角形沿对折，
，即，
与共底，
所以上的高相等，故过点的高等于过点的高，
即点与点到直线的距离相等，
又点与点在的同一侧，
故；
方法2：三角形沿对折，
，
又长方形，
，
为等腰三角形，
，
又，
，
，
在和中，
，
又
，
20．（1）如图①所示的对称轴即为所求：
（2）（2）如图②所示：
（3）如图③所示：
21．（1）解：，
为等腰三角形，
则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线，
，
，，
如图所示，所在的直线即为所求：

（2）解：不能，
理由：如图2，

若直线平分的面积，那么，
，
，
，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”．
（3）证明：连接、，设，如图：
垂直平分，
，，，
，，，，
和中，根据勾股定理可得出：
，即，
解得：，
，，
，，
，
，
，
，
∴直线为四边形的“等分积周线”．
（4）解：如图4，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，
作直线，则是的“等分积周线”，

理由：由作图可得：，
在上取一点G，使得，则有，
，
，
在和中
，
，
，
又易得，
，
，
，
是的“等分积周线”．
22．（1）解：如图中，点即为所求：
（2）解：如图中，点，，即为所求．
23．（1）解：∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°，
∴∠BED=110°，
根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
∵AD∥BC，
∴∠EFC=125°，
再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．
故答案为：125°；
（2）解：同意．
如图，设AD与EF交于点G．
由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．
所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形．
24．（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴．
（2）的值是否为定值．理由如下：
连接，
∵，
∴，（三线合一），
∴．即，
∵，
∴．即．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
又∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴
．

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