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第5章《图形的轴对称》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下是清华大学、北京大学、浙江大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．“洛阳牡丹甲天下，丽景城楼世无双”，诗中提到的丽景门具有“中原第一楼”“古都第一门”的美誉．如图，丽景门的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G， D、C分别在M、N的位置上，若 ， 则（　　）.
A．55度 B．65度 C．60度 D．70度
5．如图，点D，E分别在的两条边上，将沿直线翻折，点B落在点A处，连接，若的周长比的周长大，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的面积是（ ）
A．60 B．40 C．30 D．20
8．如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，AB＝AC，点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，∠BAC=124°，AF为ACE中CE边上的中线，则∠ADB的度数为（ ）
A．24° B．28° C．30° D．38°
10．如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，得，则证明这两个角所在的三角形全等的依据是 ．
12．如图，在的正方形网格中，选1个空白的小正方形将其涂黑，使其与已涂黑的2个小正方形组成一个轴对称图形，所涂的小正方形位置为第 行第 列．
13．如图，是中边上的垂直平分线，如果，，则的周长为 ．
14．如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ．
15．如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点F．若，则 ．
16．如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当 时，是等腰三角形．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知，如图，中，，在上求作点P，使的周长等于（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）
18．（6分）如图，在中，点、是边上的两点，，连接、，，求证：．
19．（8分）图1是一个平分角的仪器，其中，．
(1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是45，求的长．
20．（8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)在图中作出关于直线对称的；（要求：与，与，与相对应）；
(2)用无刻度直尺画出线段的垂直平分线；
(3)已知是直线上一个动点，当取最小值时，请在图中作出此时点的位置；
21．（10分）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若的面积为8，，求的长．
22．（10分）如图，在中，
（1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交AB边于点M，延长线段CA，并在其延长线上截取线段AN，使得，连接MN（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中所作的图形中，若，证明：．
23．（12分）如图所示，在中，，于点，，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由．
24．（12分）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接．
(1)发现问题：如图①，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____；
②线段、、之间的关系是_____；
(2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长．
参考答案
一．选择题
1．A
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵，，
∴，即是的高线，
∵是等腰三角形，，
∴是的角平分线，故此选项不符合题意；
B、∵是等腰三角形，，
∴是的角平分线，故此选项不符合题意；
C、若，不能说明是的角平分线，故此选项符合题意；
D、∵，
∴是的角平分线，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键．
过D作于E，根据角平分线的性质得到即可．
【详解】解：如图，过D作于E，
∵在中，，是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，即点D到的距离为，
故选：B．
4．D
【分析】此题主要考查折叠的性质，平行线的性质和平角的定义．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．由折叠的性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据平角的定义即可求得．
【详解】解：，，
，，
由折叠的性质可得，，
，
故选：D．
5．A
【分析】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出是解题关键．由折叠的性质得出，，的周长为，根据的周长比的周长大，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵将沿直线翻折，点B落在点A处，
∴，，
∴的周长为：
，
∵的周长比的周长大，
∴，
∴．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了作图 基本作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中两个锐角互余；根据作图过程可得，是的垂直平分线，可得，根据三线合一可得，再根据，，即可求出的度数，进而即可求解．
【详解】解：由作图过程可知：是的垂直平分线，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7.B
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形．过点C分别作，交的延长线于点F，作于点G，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质及角的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据平行线间的距离处处相等求出，再根据的面积求解即可．
【详解】解：如图，过点C分别作，交的延长线于点F，作于点G，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查等腰三角性质，中垂线的性质，连接，三线合一推出垂直平分，进而得到，得到，得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据垂线段最短，得到当时，最小，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵，是的中线，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小为的长，
∵为上的动点，
∴当时，最小，
此时：，
∵
∴，
∴的最小值为8；
故选：C．
9．B
【分析】连接BE，依据垂直平分线的性质可得AB=AE，从而得到AC=AE，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得∠CAF=∠EAF，AF⊥DE，所以∠DAF=∠BAC=62°，根据直角三角形性质可得∠ADE的度数，根据轴对称的性质可得∠ADB的度数．
【详解】解：连接BE，
∵点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，DE=DB
∴∠EAD=∠BAD,∠EDA=∠BDA
∵AB＝AC，
∴AC=AE，
∵AF为ACE中CE边上的中线，
∴∠CAF=∠EAF，AF⊥DE，
∴∠DAF=∠BAC=62°，
∵∠AFE=90°，
∴在Rt△AFD中，∠ADE=90°-62°=28°，
∴∠ADB=∠ADE=28°．
故选B．
10．A
【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和角关系、三角形内角和可判断③；由，得，即可判断④．
【详解】解：∵，，，
∴；
故①正确；
如图，过点E作，垂足分别为F，H，
∵平分，
∴；
∵，，
∴平分，
∴,
即点E到AC的距离为8；
故②正确；
由折叠知，；
∵，
同理，，
∴
；
故③正确；
∵，
即，
∴，
∴；
故④正确；
综上，正确的有4个；
故选：A．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了作图-基本作图．也考查了全等三角形的判定与性质．先利用基本作图得到，，由于为公共边，则利用可判断，从而得到．
【详解】解：由作图痕迹得，，
因为为公共边，
所以，
所以．
故答案为：．
12． 3 2（答案不唯一）
【分析】本题考查设计轴对称图形，涂上小正方形后，使整个图形沿着某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合，即为轴对称图形，据此即可解答．
【详解】解：所涂的小正方形如图，
即所涂的小正方形位置为第3行第2列．
故答案为：3；2（答案不唯一）
13．15
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得出，故，再由的周长即可得出结论．
【详解】解：∵是中边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
故答案为：15．
14．70或45或25
【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形想性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分类讨论是解题的关键．分当时，当时，当时，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图，
，
由折叠性质，知，
，
；
当时，如图，
由折叠性质，知，
；
当时，如图，
由折叠性质，知，
；
当时与当时相同，
综上所述，的度数为或或．
故答案为：45或25或70．
15．2
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得， 可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
16．或或
【分析】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键；先求出，，，分三种情况讨论：①，则，②，则，③，则，分别求出α的角度即可.
【详解】解：和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，，，
当时，
，
；
当时，
，
，
，
当时，
，
，
．
故答案为：或或．
三．解答题
17．解：如图所示，点P为所求，
∵P在的垂直平分线上，
∴，
∴的周长为：．
18．证明：∵
∴
∴
在中，
∴
∴．
19．（1）解：是的平分线；
理由：在和中，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解： ∵平分，，
∴点P到的距离等于，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
20．（1）解：即为所求．
（2）解：直线即为线段的垂直平分线．
（3）解：点即为所求，
由轴对称的性质，可得，
∴，此时，，三点在一条直线上，有最小值，
∴点即为所求．
21．（1）证明：∵是的角平分线，，
∴，
在和中，
∴ ，
∴，
又∵是的角平分线，
∴是的垂直平分线；
（2）∵，
∴，
∴
∴，
解得：，
即的长为5．
22．（1）作图如下：
证明：（2）由（1）可得，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中
∴
∴．
23．（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
在Rt△FDC中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），理由如下：
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
24．（1）解：①如图1，∵，
∴，
∵，
，
在和中，
，
，
，
，
即；
故答案为：；
②由①可得，，
，
，
故答案为：；
（2）解：不成立，存在的数量关系为．
理由：如图2，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，当点在边的延长线上时，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．

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