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浙江省宁波市2024年初中学业水平考试中考三模预测数学试题
1．（2024·宁波模拟）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温为零上8℃记作℃，则℃表示气温为（　　）
A．零上5℃ B．零下5℃ C．零上3℃ D．零下3℃
2．（2024·宁波模拟）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·宁波模拟）在比例尺为的宁波地图上，量得杭州湾大桥在地图上的距离为厘米，则桥实际长度用科学记数法可表示为（　　）米
A． B． C． D．
4．（2024·宁波模拟）某班30名学生的身高情况如下表：
身高（m） 1.45 1.48 1.50 1.53 1.56 1.60
人数 x y 6 8 5 4
关于身高的统计量中，不随x、y的变化而变化的有（　　）
A．众数，中位数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
5．（2024·宁波模拟）如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·宁波模拟）在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·宁波模拟）如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·宁波模拟）如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2024·宁波模拟）已知：，，，则下列说法中正确的是 （　　）
A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值
C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值
10．（2024·宁波模拟）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点于点于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，则的值等于（　　）
A． B．4 C． D．
11．（2024·宁波模拟）要使式子 有意义，则x可取的一个数是　 　．
12．（2024·宁波模拟）已知，请计算代数式的值为　 　．
13．（2024·宁波模拟）如图，利用一个半径为的定滑轮将砝码提起，如果定滑轮顺时针转动了，那么砝码被提起了 　 　（结果保留π）．
14．（2024·宁波模拟）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为　 　．
15．（2024·宁波模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是　 　米．
16．（2024·宁波模拟）如图，射线都与线段垂直，点E在上，过点A作的垂线，分别交于点F、C，过点C作于点D.若，则　 　.
17．（2024·宁波模拟）（）解不等式组： ；
（）解方程：．
18．（2024·宁波模拟）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：BD=AE．
（2）若线段AD=5，AB=17，求线段ED的长．
19．（2024·宁波模拟）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
（3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
（4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
20．（2024·宁波模拟）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
21．（2024·宁波模拟）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
红色文化衫 25 45
蓝色文化衫 20 35
（1）学校购进红、蓝文化衫各几件？
（2）若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
22．（2024·宁波模拟）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
（1）分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
（2）只考虑经费情况下，求出的最大值．
23．（2024·宁波模拟）综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明．
【问题解决】
（2）如图1，当，，时，连接，则的长为______．
【深入探究】
（3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？
24．（2024·宁波模拟）已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若把气温为零上8℃记作℃，则℃表示气温为零下5℃．
故选B．
【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意，A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意，B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，C错误；
D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故不符合题意，D错误；
故选：A．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可知， 桥实际长度为厘米米，的3后面有4个位数，根据科学记数法要求表示为，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数．
4．【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：由题意可知：x+y=30-6-8-5-4=7
∴众数为1.53，中位数为1.53
∴众数和中位数不会随着x、y的变化而变化。
故答案为：A
【分析】根据总数确定出x+y的值，再根据表格中的数据确定出众数和中位数，即可得出结论。
5．【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：A.由数轴可得，，
那么，则选项不符合题意，A错误；
B.，
则选项不符合题意，B错误；
C.，
则选项不符合题意，C错误；
D.，
则选项符合题意，D正确；
故选：．
【分析】本题考查实数与数轴的关系，不等式的基本性质．由数轴可得，，利用有理数的加法进计算可得：，据此可判断A选项；利用有理数的加法进计算可得：，据此可判断B选项；利用有理数的乘法进计算可得：，据此可判断C选项；利用不等式的性质进行计算可得：，据此可判断D选项.
6．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示，
共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．
故答案为：D．
【分析】运用画树状图法列出有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；内错角的概念
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理得，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接，先求出、，然后得到，根据圆周角定理解题即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：过点P作轴于点E， 如图：
依题意得：，，，，
在中 ，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
同理可证：，
∴，即
∴，，
∴，
∴点P的坐标为，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴．
故选：B.
【分析】过点P作轴于点E，根据题意得出，，，，根据直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方求得，根据有两个角对应线段的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，求出，， 同理可得，得到，求得，，进而得出，即可得出点P的坐标，将点P坐标代入函数中即可求出k的值．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
当时，m 有最小值，当时，m有最大值，
故当0≤a≤4时，；
，4＞0，
故当时，n随着b的增大而减小，
当时，n 有最小值1，当时，n有最大值4，
即当时，；
，
，
，
解得：，
，
，
n有最大值3，最小值1；
故选：C.
【分析】 先根据二次函数的性质得出：当0≤a≤4时，，根据反比例函数的性质得出：当时，，结合题意，即可推得，进一步确定n的取值范围，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设交于P，过C作于N，如图：
设正方形边长为m，
∴正方形面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为5，
∴正方形的面积为，
∴，
由已知可得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
AP=，
∴，即P为中点，
∵，
∴
∵，，
∴，
即
∴，，
∴
，
∴
故答案为：C．
【分析】设交于P，过C作于N，设正方形边长为m，可求出，即可得到，进而求出，然后求出，，即可得到，求出CN，PN的长，然后利用正切解题即可．
11．【答案】4（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-3≥0
解之：x≥3.
∴x可以取4.
故答案为：4（答案不唯一）.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，建立关于x的不等式，求出不等式的解集，再根据不等式的解集，可得到x的值.
12．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当，时，
，
故答案为：．
【分析】本题考查代数式的求值，平方差公式.先利用平方差公式进行计算可得：，只需将、的值代入式子进行计算可求出答案．
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：，
∴砝码被提起了．
故答案为：．
【分析】本题考查求弧长.根据砝码被提起的长度等于半径为，圆心角为，利弧长公式计算可得，再进行计算可求出答案．
14．【答案】人
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：根据：2艘大船游客+3艘小船游客=人，1艘大船游客+1艘小船游客=人．列出二元一次方程组，解方程组可求出x和y的值，进而可求出答案．
15．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：连接交于，连接，
点为运行轨道的最低点，
，
（米，
在中，（米，
点到弦所在直线的距离米，
故答案为：．
【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，最后根据线段间的数量关系即可求解．
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设；
∵，
∴；
∴；
∴；
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∴，即，
∴，解得或（舍去）；
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质与判定、直角三角形的性质、相似三角形的性质．设，根据垂直的定义可证明，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，利用垂直的定义可得，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，联立，可列出方程， 解方程可求出或（舍去）； 再根据，代入数据进行计算可求出答案.
17．【答案】解：（）解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为；
（），
方程两边同时乘以得，，
解得，
当时，，
原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（）分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到不等式组的解集；
（）方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出解后检验即可.
18．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE；
（2）∵AD=5，AB=17，
∴BD=17-5=12，
由（1）得AE=BD=12，
∵△ACE≌△BCD，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=∠B=∠BAC=45°，
∵∠EAD=90°，
∴ED==13．
答：ED的长为13.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，由同角的余角相等可得∠ACE=∠BCD，结合已知用边角边可证△ACE≌△BCD，然后由全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）由线段的构成BD=AB -AD求出BD的值，由（1）可知△ACE≌△BCD，结合△ABC是等腰直角三角形，得到∠EAC=∠B=45°，AE=BD=12，由角的构成可得∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，然后根据勾股定理计算即可求解．
19．【答案】（1）40；36；
（2）70；70；66.5
（3）解：等级达到优秀的人数大约有（人）.
（4）解：画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．

【知识点】用样本估计总体；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：(1)本次抽取的学生人数是（人），扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
(2)
由条形统计图可知众数为：70由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可求解；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）用总人数减去其他等级的人数得到B等级的人数，进而不全统计图如下；
（4）利用树状图发得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，最后利用概率计算公式计算即可．
20．【答案】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N，
由题意可知，，
在中，，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作于点N，然后根据解直角三角形可得，求出CN长解题即可；
（2）过A作交的延长线于点M，过点C作于点F，在中，利用三角函数的到AF长，然后利用线段的和差解题即可．
21．【答案】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得，，
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件
（2）解：设学校再次购进红文化衫件，蓝文化衫件， 则利润为 ，
∴，
由题意得，
解得，
∵ ， ，
∴随的增大而增大，
∴当时，最大利润元，
∴学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，列方程组求解即可；
（2）利用利润公式求出， 再求出 随的增大而增大， 最后求解即可。
22．【答案】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）解：如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
23．【答案】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下：设与交于点，如图，
由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）4；
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，
，，
，
设，则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
∴当时，始终有与对角线平行．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）四边形是矩形，，，，
，，，
，，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
；
【分析】（1）根据折叠得到，，即可得到，进而得到，即可得到结论；
（2）设与交于点，过点作于，根据勾股定理得到，再推导，即可得到，进而求出，然后根据，得到，，，再利用勾股定理解题即可；
（3）设，则，利用折叠得到，然后根据三角形内角和定理得到，再根据解直角三角形解题即可．
24．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由三角形外角得到，然后根据圆周角定理得到，即可得到，即可得到，证明结论；
（2）在和中得到，即可转化成与，，相关的角，求得，即可解题；
（3）过作于，连接，根据（1）（2）中结论，即可得到，设，即可得到，然后得到，根据对应边成比例得到的值，再在中，利用勾股定理解题即可．
1 / 1浙江省宁波市2024年初中学业水平考试中考三模预测数学试题
1．（2024·宁波模拟）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温为零上8℃记作℃，则℃表示气温为（　　）
A．零上5℃ B．零下5℃ C．零上3℃ D．零下3℃
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若把气温为零上8℃记作℃，则℃表示气温为零下5℃．
故选B．
【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论．
2．（2024·宁波模拟）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意，A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意，B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，C错误；
D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故不符合题意，D错误；
故选：A．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（2024·宁波模拟）在比例尺为的宁波地图上，量得杭州湾大桥在地图上的距离为厘米，则桥实际长度用科学记数法可表示为（　　）米
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可知， 桥实际长度为厘米米，的3后面有4个位数，根据科学记数法要求表示为，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数．
4．（2024·宁波模拟）某班30名学生的身高情况如下表：
身高（m） 1.45 1.48 1.50 1.53 1.56 1.60
人数 x y 6 8 5 4
关于身高的统计量中，不随x、y的变化而变化的有（　　）
A．众数，中位数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：由题意可知：x+y=30-6-8-5-4=7
∴众数为1.53，中位数为1.53
∴众数和中位数不会随着x、y的变化而变化。
故答案为：A
【分析】根据总数确定出x+y的值，再根据表格中的数据确定出众数和中位数，即可得出结论。
5．（2024·宁波模拟）如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：A.由数轴可得，，
那么，则选项不符合题意，A错误；
B.，
则选项不符合题意，B错误；
C.，
则选项不符合题意，C错误；
D.，
则选项符合题意，D正确；
故选：．
【分析】本题考查实数与数轴的关系，不等式的基本性质．由数轴可得，，利用有理数的加法进计算可得：，据此可判断A选项；利用有理数的加法进计算可得：，据此可判断B选项；利用有理数的乘法进计算可得：，据此可判断C选项；利用不等式的性质进行计算可得：，据此可判断D选项.
6．（2024·宁波模拟）在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示，
共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．
故答案为：D．
【分析】运用画树状图法列出有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．
7．（2024·宁波模拟）如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；内错角的概念
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理得，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接，先求出、，然后得到，根据圆周角定理解题即可．
8．（2024·宁波模拟）如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：过点P作轴于点E， 如图：
依题意得：，，，，
在中 ，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
同理可证：，
∴，即
∴，，
∴，
∴点P的坐标为，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴．
故选：B.
【分析】过点P作轴于点E，根据题意得出，，，，根据直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方求得，根据有两个角对应线段的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，求出，， 同理可得，得到，求得，，进而得出，即可得出点P的坐标，将点P坐标代入函数中即可求出k的值．
9．（2024·宁波模拟）已知：，，，则下列说法中正确的是 （　　）
A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值
C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
当时，m 有最小值，当时，m有最大值，
故当0≤a≤4时，；
，4＞0，
故当时，n随着b的增大而减小，
当时，n 有最小值1，当时，n有最大值4，
即当时，；
，
，
，
解得：，
，
，
n有最大值3，最小值1；
故选：C.
【分析】 先根据二次函数的性质得出：当0≤a≤4时，，根据反比例函数的性质得出：当时，，结合题意，即可推得，进一步确定n的取值范围，即可求解.
10．（2024·宁波模拟）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点于点于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，则的值等于（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设交于P，过C作于N，如图：
设正方形边长为m，
∴正方形面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为5，
∴正方形的面积为，
∴，
由已知可得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
AP=，
∴，即P为中点，
∵，
∴
∵，，
∴，
即
∴，，
∴
，
∴
故答案为：C．
【分析】设交于P，过C作于N，设正方形边长为m，可求出，即可得到，进而求出，然后求出，，即可得到，求出CN，PN的长，然后利用正切解题即可．
11．（2024·宁波模拟）要使式子 有意义，则x可取的一个数是　 　．
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-3≥0
解之：x≥3.
∴x可以取4.
故答案为：4（答案不唯一）.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，建立关于x的不等式，求出不等式的解集，再根据不等式的解集，可得到x的值.
12．（2024·宁波模拟）已知，请计算代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当，时，
，
故答案为：．
【分析】本题考查代数式的求值，平方差公式.先利用平方差公式进行计算可得：，只需将、的值代入式子进行计算可求出答案．
13．（2024·宁波模拟）如图，利用一个半径为的定滑轮将砝码提起，如果定滑轮顺时针转动了，那么砝码被提起了 　 　（结果保留π）．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：，
∴砝码被提起了．
故答案为：．
【分析】本题考查求弧长.根据砝码被提起的长度等于半径为，圆心角为，利弧长公式计算可得，再进行计算可求出答案．
14．（2024·宁波模拟）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为　 　．
【答案】人
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：根据：2艘大船游客+3艘小船游客=人，1艘大船游客+1艘小船游客=人．列出二元一次方程组，解方程组可求出x和y的值，进而可求出答案．
15．（2024·宁波模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是　 　米．
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：连接交于，连接，
点为运行轨道的最低点，
，
（米，
在中，（米，
点到弦所在直线的距离米，
故答案为：．
【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，最后根据线段间的数量关系即可求解．
16．（2024·宁波模拟）如图，射线都与线段垂直，点E在上，过点A作的垂线，分别交于点F、C，过点C作于点D.若，则　 　.
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设；
∵，
∴；
∴；
∴；
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∴，即，
∴，解得或（舍去）；
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质与判定、直角三角形的性质、相似三角形的性质．设，根据垂直的定义可证明，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，利用垂直的定义可得，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，联立，可列出方程， 解方程可求出或（舍去）； 再根据，代入数据进行计算可求出答案.
17．（2024·宁波模拟）（）解不等式组： ；
（）解方程：．
【答案】解：（）解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为；
（），
方程两边同时乘以得，，
解得，
当时，，
原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（）分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到不等式组的解集；
（）方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出解后检验即可.
18．（2024·宁波模拟）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：BD=AE．
（2）若线段AD=5，AB=17，求线段ED的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE；
（2）∵AD=5，AB=17，
∴BD=17-5=12，
由（1）得AE=BD=12，
∵△ACE≌△BCD，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=∠B=∠BAC=45°，
∵∠EAD=90°，
∴ED==13．
答：ED的长为13.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，由同角的余角相等可得∠ACE=∠BCD，结合已知用边角边可证△ACE≌△BCD，然后由全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）由线段的构成BD=AB -AD求出BD的值，由（1）可知△ACE≌△BCD，结合△ABC是等腰直角三角形，得到∠EAC=∠B=45°，AE=BD=12，由角的构成可得∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，然后根据勾股定理计算即可求解．
19．（2024·宁波模拟）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
（3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
（4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）40；36；
（2）70；70；66.5
（3）解：等级达到优秀的人数大约有（人）.
（4）解：画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．

【知识点】用样本估计总体；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：(1)本次抽取的学生人数是（人），扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
(2)
由条形统计图可知众数为：70由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可求解；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）用总人数减去其他等级的人数得到B等级的人数，进而不全统计图如下；
（4）利用树状图发得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，最后利用概率计算公式计算即可．
20．（2024·宁波模拟）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N，
由题意可知，，
在中，，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作于点N，然后根据解直角三角形可得，求出CN长解题即可；
（2）过A作交的延长线于点M，过点C作于点F，在中，利用三角函数的到AF长，然后利用线段的和差解题即可．
21．（2024·宁波模拟）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
红色文化衫 25 45
蓝色文化衫 20 35
（1）学校购进红、蓝文化衫各几件？
（2）若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得，，
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件
（2）解：设学校再次购进红文化衫件，蓝文化衫件， 则利润为 ，
∴，
由题意得，
解得，
∵ ， ，
∴随的增大而增大，
∴当时，最大利润元，
∴学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，列方程组求解即可；
（2）利用利润公式求出， 再求出 随的增大而增大， 最后求解即可。
22．（2024·宁波模拟）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
（1）分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
（2）只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）解：如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
23．（2024·宁波模拟）综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明．
【问题解决】
（2）如图1，当，，时，连接，则的长为______．
【深入探究】
（3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？
【答案】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下：设与交于点，如图，
由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）4；
（3）当时，始终有与对角线平行．
理由：如图，设、交于点，
四边形是矩形，
，，
，
设，则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
∴当时，始终有与对角线平行．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）四边形是矩形，，，，
，，，
，，
如图，设与交于点，过点作于，
由折叠得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
；
【分析】（1）根据折叠得到，，即可得到，进而得到，即可得到结论；
（2）设与交于点，过点作于，根据勾股定理得到，再推导，即可得到，进而求出，然后根据，得到，，，再利用勾股定理解题即可；
（3）设，则，利用折叠得到，然后根据三角形内角和定理得到，再根据解直角三角形解题即可．
24．（2024·宁波模拟）已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由三角形外角得到，然后根据圆周角定理得到，即可得到，即可得到，证明结论；
（2）在和中得到，即可转化成与，，相关的角，求得，即可解题；
（3）过作于，连接，根据（1）（2）中结论，即可得到，设，即可得到，然后得到，根据对应边成比例得到的值，再在中，利用勾股定理解题即可．
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