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广东省佛山市南海区三水区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．（2024七下·南海期末）以下图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·南海期末）氢是一种气体元素，它是已知元素中最“轻”的，氢原子的直径为．则数字“”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·南海期末）如图，直线AB//CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H．若1=135°，则2的度数为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
4．（2024七下·南海期末）下列算式的运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·南海期末）如图所示，在和中，，，要证，需补充的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·南海期末）当圆的半径由小到大变化时，圆的面积也随之发生变化．在这一变化过程中，以下说法错误的是（　　）
A．，是变量 B．是的函数
C．是的函数 D．随的增大而增大
7．（2024七下·南海期末）一个书架上有三本书，分别是语文、数学、历史，从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·南海期末）如题图，中，，点为中点，若，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·南海期末）按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第6个单项式为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·南海期末）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则的长是（　　）
A．2 B．3 C．3.2 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024七下·南海期末）化简：　 　．
12．（2024七下·南海期末）1～6个月的婴儿生长发育得非常快，他们的体重（克）和月龄（月）间的关系可以用来表示，其中是婴儿出生时体重．一个婴儿出生时的体重是4000克，则该婴儿第5个月的体重为　 　．
13．（2024七下·南海期末）一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在1号板上的概率是　 　．
14．（2024七下·南海期末）将一副直角三角板ABC和DEF如图放置（其中∠A=60，∠F=45），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为 .
15．（2024七下·南海期末）如图，在ABC中，AB＞AC．按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连接CD．若AB=6，AC=4，则ACD的周长为　 　．
三、解答题（一）（本大题共4小题，第16题10分，第17、18题每题7分，共24分）
16．（2024七下·南海期末）（1）计算：．
（2）海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示）．
17．（2024七下·南海期末）如图，平分交于点，，判断与的位置关系，并说明理由．
18．（2024七下·南海期末）如图，一个均匀转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界处则无效，需重新转动）．两人进行猜数游戏：甲猜“是大于6的数”，乙猜“不是大于6的数”，谁赢得这个游戏的可能性更大？请说明理由．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2024七下·南海期末）先化简，再求值：，其中．
20．（2024七下·南海期末）操作与实践：如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在题图1中，作边上的高，垂足为，在上找一点，使；
（2）在题图2中，作关于直线轴对称的图形，并在上确定一点，使得平分的面积．
21．（2024七下·南海期末）如题图，已知．
（1）请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）：
（2）若，比的2倍小，求的度数．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（2024七下·南海期末）综合运用：已知：如题图1，在四边形中，，，，为边的中点，为四边形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为．
（1）当时，求对应的值；
（2）当点在边上时，求与之间的函数关系式；
（3）如题图2，当点在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请画出此时点的位置，并写出必要的画图步骤；若不存在，请说明理由．
23．（2024七下·南海期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线．
【验证】（1）试说明平分，且；
【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分；
【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；同旁内角的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
解：∵ AB//CD，
∴∠2+∠1=180°，
∵1=135°，
∴∠2=45°，
故答案为：C.
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠2=180°-∠1=45°，即可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．∵，∴选项A不符合题意；
B．∵，∴选项B符合题意；
C．∵，∴选项C不符合题意；
D．∵，∴选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：补充，
∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据三角形全等的判定方法有：、、、、，结合题目已知条件补充，可得，在利用SAS判定全等即可得到答案；
6．【答案】C
【知识点】常量、变量；函数的概念
【解析】【解答】解：A、，是变量，故本选项正确，不符合题意；
B、是的函数，故本选项正确，不符合题意；
C、是的函数，故本选项错误，符合题意；
D、随的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中随机抽取一本是数学书的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，是的中点，，
平分，
．
故答案为：A.
【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AD平分，再利用角平分线的定义求出即可．
9．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，
得第6个单项式为，
故答案为：D．
【分析】根据前几项中数据的系数和指数的变化可得规律：每个单项式的系数为，字母指数等于，再求出第6个单项式即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：平分，，，
，
，
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式及割补法可得，再将数据代入求出AC的长即可.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
12．【答案】7500克
【知识点】函数值；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得：，，
克，
故答案为：7500克.
【分析】将，直接代入计算即可.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】
解：因为1号板的面积占了总面积的 ，故停在1号板上的概率= ．
【分析】
根据几何概率的求法 ：确定在图中1号板的面积在整个面积中占的比例，即可利用概率公式P=求解，解答即可.
14．【答案】15
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由图形可知：∠ACB=30，∠DEF=45
∵ED∥BC，
∴∠DEC=∠ACB=30
∴∠CEF=∠DEF－∠DEC =45－30=15.
【分析】
首先从题目给定的信息得出两个直角三角板中：∠ACB=30，∠DEF=45；即可由平行线的性质得到∠DEC=∠ACB=30，再利用角度的和差运算即可解答.
15．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵分别以点B和点C为圆心，以大于BC一半的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN．直线MN交AB于点D，连接CD，
∴直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴BD+AD=CD+AD=AB，
∵AB=6，AC=4，
∴△ADC的周长=（CD+AD）+AC=AB+AC=6+4=10．
故答案为：10．
【分析】先证出直线MN是线段BC的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ADC的周长=（CD+AD）+AC=AB+AC=6+4=10．
16．【答案】解：（1）解：原式
；
（2）解：（米），
答：海王星距离太阳大约米．
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；科学记数法表示数的乘法
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂和负整式指数幂化简，再计算即可；
（2）利用同底数幂的乘法的计算方法和科学记数法的书写格式分析求解即可.
17．【答案】解：，理由如下：
平分，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角平分线的定义可得，再结合，利用等量代换可得，从而可证出．
18．【答案】解：乙赢得这个游戏的可能性更大，理由如下：
共有10种等可能结果，其中大于6的数有4个，不大于6的数有6个，
，，
，
乙赢得这个游戏的可能性更大．
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求出大于6和小于6的概率，再比较大小即可.
19．【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将代入计算即可.
20．【答案】（1）解：取格点D，连接，则是边上的高；取格点F，连接交于点，则，如图所示；
（2）解：如图，取格点P，连接，得到关于直线轴对称的图形；取格点G、H，连接交于点Q，连接，则平分的面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图-平行线
【解析】【分析】（1）结合网格，再在网格中取格点D，连接即得高，再取格点F，连接即可；
（2）结合网格，再在网格中取格点P，连接即可，再取格点G、H，连接交于点Q，连接，从而得解.
（1）解：取格点D，连接，则是边上的高；取格点F，连接交于点，则，如图所示；
（2）解：如图，取格点P，连接，得到关于直线轴对称的图形；取格点G、H，连接交于点Q，连接，则平分的面积．
21．【答案】（1）解：如图所示：
理由如下：
以点C为顶点，为的一条边，作，，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵比的2倍小，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
∴．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1） 以点B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点E、F，再以点C为圆心，相同的半径作弧，交于点G，以点G为圆心，为半径作弧，交另一条弧于点O，连接并延长，再以点C为圆心，为半径作弧，交射线于点D， 从而得解；
（2）先求出，再结合，利用角的运算求出即可．
（1）解：以点C为顶点，为的一条边，作，，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵比的2倍小，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
∴．
22．【答案】（1）解：，
当时，在上，如图所示：
，
，为中点

（2）解：当点在上时有以下2种情况：
①当在线段上时，即时，
．
②当在线段上时，即时，
．
综上所述：．
（3）解：存在点使得周长最小，
如图所示，作法：延长到，使得，
即点与点关于对称，连接交于点，
则点为所求作的点．
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；四边形-动点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出，再利用三角形的面积公式、梯形的面积公式及割补法求出的面积即可；
（2）分类讨论：①当在线段上时，即时，②当在线段上时，即时，再利用三角形的面积公式分别列出函数解析式即可；
（3）延长到，使得，连接交于点，则点为所求作的点．
（1），
当时，在上，如图所示：
，
，为中点
（2）当点在上时有以下2种情况：
①当在线段上时，即时，
．
②当在线段上时，即时，
．
综上所述：．
（3）存在点使得周长最小，
如图所示，作法：延长到，使得，
即点与点关于对称，连接交于点，
则点为所求作的点．
23．【答案】解：（1），，，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
即，
射线平分；
（2），
，
，
，
，
由（1）可得平分；
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）补全图形如下，过点分别作于，于，
是的平分线，
，，
当时，
在和中，
，
，
；
当时，
同理得，
；
，
，
综上所述，与的数量关系为或；
故答案为：或.
【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得，再证出，利用全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，从而可证出射线平分；
（2）先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而得证；
（3）过点分别作于，于，分类讨论：①当时，②当时，先利用“HL”证出和，再利用全等三角形的性质及角的运算分析求解即可.
1 / 1广东省佛山市南海区三水区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．（2024七下·南海期末）以下图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．（2024七下·南海期末）氢是一种气体元素，它是已知元素中最“轻”的，氢原子的直径为．则数字“”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．（2024七下·南海期末）如图，直线AB//CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H．若1=135°，则2的度数为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】C
【知识点】角的运算；同旁内角的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
解：∵ AB//CD，
∴∠2+∠1=180°，
∵1=135°，
∴∠2=45°，
故答案为：C.
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠2=180°-∠1=45°，即可得出答案．
4．（2024七下·南海期末）下列算式的运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．∵，∴选项A不符合题意；
B．∵，∴选项B符合题意；
C．∵，∴选项C不符合题意；
D．∵，∴选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2024七下·南海期末）如图所示，在和中，，，要证，需补充的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：补充，
∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据三角形全等的判定方法有：、、、、，结合题目已知条件补充，可得，在利用SAS判定全等即可得到答案；
6．（2024七下·南海期末）当圆的半径由小到大变化时，圆的面积也随之发生变化．在这一变化过程中，以下说法错误的是（　　）
A．，是变量 B．是的函数
C．是的函数 D．随的增大而增大
【答案】C
【知识点】常量、变量；函数的概念
【解析】【解答】解：A、，是变量，故本选项正确，不符合题意；
B、是的函数，故本选项正确，不符合题意；
C、是的函数，故本选项错误，符合题意；
D、随的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可.
7．（2024七下·南海期末）一个书架上有三本书，分别是语文、数学、历史，从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中随机抽取一本是数学书的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
8．（2024七下·南海期末）如题图，中，，点为中点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，是的中点，，
平分，
．
故答案为：A.
【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AD平分，再利用角平分线的定义求出即可．
9．（2024七下·南海期末）按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第6个单项式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，
得第6个单项式为，
故答案为：D．
【分析】根据前几项中数据的系数和指数的变化可得规律：每个单项式的系数为，字母指数等于，再求出第6个单项式即可.
10．（2024七下·南海期末）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则的长是（　　）
A．2 B．3 C．3.2 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：平分，，，
，
，
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式及割补法可得，再将数据代入求出AC的长即可.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024七下·南海期末）化简：　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
12．（2024七下·南海期末）1～6个月的婴儿生长发育得非常快，他们的体重（克）和月龄（月）间的关系可以用来表示，其中是婴儿出生时体重．一个婴儿出生时的体重是4000克，则该婴儿第5个月的体重为　 　．
【答案】7500克
【知识点】函数值；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得：，，
克，
故答案为：7500克.
【分析】将，直接代入计算即可.
13．（2024七下·南海期末）一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在1号板上的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】
解：因为1号板的面积占了总面积的 ，故停在1号板上的概率= ．
【分析】
根据几何概率的求法 ：确定在图中1号板的面积在整个面积中占的比例，即可利用概率公式P=求解，解答即可.
14．（2024七下·南海期末）将一副直角三角板ABC和DEF如图放置（其中∠A=60，∠F=45），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为 .
【答案】15
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由图形可知：∠ACB=30，∠DEF=45
∵ED∥BC，
∴∠DEC=∠ACB=30
∴∠CEF=∠DEF－∠DEC =45－30=15.
【分析】
首先从题目给定的信息得出两个直角三角板中：∠ACB=30，∠DEF=45；即可由平行线的性质得到∠DEC=∠ACB=30，再利用角度的和差运算即可解答.
15．（2024七下·南海期末）如图，在ABC中，AB＞AC．按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连接CD．若AB=6，AC=4，则ACD的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵分别以点B和点C为圆心，以大于BC一半的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN．直线MN交AB于点D，连接CD，
∴直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴BD+AD=CD+AD=AB，
∵AB=6，AC=4，
∴△ADC的周长=（CD+AD）+AC=AB+AC=6+4=10．
故答案为：10．
【分析】先证出直线MN是线段BC的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ADC的周长=（CD+AD）+AC=AB+AC=6+4=10．
三、解答题（一）（本大题共4小题，第16题10分，第17、18题每题7分，共24分）
16．（2024七下·南海期末）（1）计算：．
（2）海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示）．
【答案】解：（1）解：原式
；
（2）解：（米），
答：海王星距离太阳大约米．
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；科学记数法表示数的乘法
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂和负整式指数幂化简，再计算即可；
（2）利用同底数幂的乘法的计算方法和科学记数法的书写格式分析求解即可.
17．（2024七下·南海期末）如图，平分交于点，，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】解：，理由如下：
平分，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角平分线的定义可得，再结合，利用等量代换可得，从而可证出．
18．（2024七下·南海期末）如图，一个均匀转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界处则无效，需重新转动）．两人进行猜数游戏：甲猜“是大于6的数”，乙猜“不是大于6的数”，谁赢得这个游戏的可能性更大？请说明理由．
【答案】解：乙赢得这个游戏的可能性更大，理由如下：
共有10种等可能结果，其中大于6的数有4个，不大于6的数有6个，
，，
，
乙赢得这个游戏的可能性更大．
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求出大于6和小于6的概率，再比较大小即可.
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2024七下·南海期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将代入计算即可.
20．（2024七下·南海期末）操作与实践：如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在题图1中，作边上的高，垂足为，在上找一点，使；
（2）在题图2中，作关于直线轴对称的图形，并在上确定一点，使得平分的面积．
【答案】（1）解：取格点D，连接，则是边上的高；取格点F，连接交于点，则，如图所示；
（2）解：如图，取格点P，连接，得到关于直线轴对称的图形；取格点G、H，连接交于点Q，连接，则平分的面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图-平行线
【解析】【分析】（1）结合网格，再在网格中取格点D，连接即得高，再取格点F，连接即可；
（2）结合网格，再在网格中取格点P，连接即可，再取格点G、H，连接交于点Q，连接，从而得解.
（1）解：取格点D，连接，则是边上的高；取格点F，连接交于点，则，如图所示；
（2）解：如图，取格点P，连接，得到关于直线轴对称的图形；取格点G、H，连接交于点Q，连接，则平分的面积．
21．（2024七下·南海期末）如题图，已知．
（1）请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）：
（2）若，比的2倍小，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示：
理由如下：
以点C为顶点，为的一条边，作，，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵比的2倍小，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
∴．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1） 以点B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点E、F，再以点C为圆心，相同的半径作弧，交于点G，以点G为圆心，为半径作弧，交另一条弧于点O，连接并延长，再以点C为圆心，为半径作弧，交射线于点D， 从而得解；
（2）先求出，再结合，利用角的运算求出即可．
（1）解：以点C为顶点，为的一条边，作，，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵比的2倍小，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
∴．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（2024七下·南海期末）综合运用：已知：如题图1，在四边形中，，，，为边的中点，为四边形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为．
（1）当时，求对应的值；
（2）当点在边上时，求与之间的函数关系式；
（3）如题图2，当点在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请画出此时点的位置，并写出必要的画图步骤；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
当时，在上，如图所示：
，
，为中点

（2）解：当点在上时有以下2种情况：
①当在线段上时，即时，
．
②当在线段上时，即时，
．
综上所述：．
（3）解：存在点使得周长最小，
如图所示，作法：延长到，使得，
即点与点关于对称，连接交于点，
则点为所求作的点．
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；四边形-动点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出，再利用三角形的面积公式、梯形的面积公式及割补法求出的面积即可；
（2）分类讨论：①当在线段上时，即时，②当在线段上时，即时，再利用三角形的面积公式分别列出函数解析式即可；
（3）延长到，使得，连接交于点，则点为所求作的点．
（1），
当时，在上，如图所示：
，
，为中点
（2）当点在上时有以下2种情况：
①当在线段上时，即时，
．
②当在线段上时，即时，
．
综上所述：．
（3）存在点使得周长最小，
如图所示，作法：延长到，使得，
即点与点关于对称，连接交于点，
则点为所求作的点．
23．（2024七下·南海期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线．
【验证】（1）试说明平分，且；
【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分；
【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系．
【答案】解：（1），，，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
即，
射线平分；
（2），
，
，
，
，
由（1）可得平分；
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）补全图形如下，过点分别作于，于，
是的平分线，
，，
当时，
在和中，
，
，
；
当时，
同理得，
；
，
，
综上所述，与的数量关系为或；
故答案为：或.
【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得，再证出，利用全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，从而可证出射线平分；
（2）先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而得证；
（3）过点分别作于，于，分类讨论：①当时，②当时，先利用“HL”证出和，再利用全等三角形的性质及角的运算分析求解即可.
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