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浙江省宁波市余姚市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·余姚期末）如图所示，∠B与∠3是一对（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
2．（2024七下·余姚期末）杭州奥体中心游泳馆安装了独立的水处理系统，其过滤器的过滤精度可达0.0000015米，数据0.0000015用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·余姚期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·余姚期末）某中学七年级进行了一次数学测验，参加人数共500人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是（　　）
A．抽取前150名同学的数学成绩
B．抽取后150名同学的数学成绩
C．抽取其中150名女子的数学成绩
D．抽取各班学号为5的倍数的同学的数学成绩
5．（2024七下·余姚期末）已知二元一次方程x+2y＝7，当y＝2时，x的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024七下·余姚期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A． B．0 C． D．1
7．（2024七下·余姚期末）下列变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·余姚期末）已知，则代数式的值为（　　）
A．30 B．36 C．42 D．48
9．（2024七下·余姚期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种植480棵树.由于青年志愿者的加入，每日比原计划多种 ，结果提前4天完成任务.设志愿者加入后每天种树 棵，则所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·余姚期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图），折痕分别为，，若，且，则为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·余姚期末）因式分解： =　 　.
12．（2024七下·余姚期末）要了解一批灯泡的使用寿命，从10000只灯泡中抽取80只灯泡进行试验，在这个问题中，样本容量是　 　．
13．（2024七下·余姚期末）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数是　 　．
14．（2024七下·余姚期末）分式的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为　 　.
15．（2024七下·余姚期末）当m，n都是实数，且满足，就称点为“爱心点”，点是爱心点，则　 　．
16．（2024七下·余姚期末）将两个边长分别为a和b的正方形按图1所示方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为．若，，则　 　．
17．（2024七下·余姚期末）计算：
（1）
（2）
18．（2024七下·余姚期末）解方程组
（1）；
（2）．
19．（2024七下·余姚期末）先化简，并在，，1，3中选一个合适的值代入求值
20．（2024七下·余姚期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，如图，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题：
（1）将先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应的，画出平移后的；
（2）如图边上有一格点，连，计算的面积．
21．（2024七下·余姚期末）为了鼓励市民节约用水，某市水费实行阶梯式计量水价：每户每月用水量不超过25吨享受基本价格：超出25吨的部分实行加价收费．为了更好地决策，自来水公随机抽取部分用户的用水量，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点不包括左端点），请根据统计图解决以下问题：
（1）这次调查抽取了多少用户的用水量数据？
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角的度数；
（3）估计该地30万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
22．（2024七下·余姚期末）如图，已知，．
（1）求证：
（2）若，，求的度数．
23．（2024七下·余姚期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示．
（1）如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为；
（2）如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短
亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短；
木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短．
你认为谁的方法正确？并说明理由．
（3）如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短 画出示意图，并用平移的原理说明理由．
24．（2024七下·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】根据定义，知两个角是一对同旁内角．
故选：C．
【分析】
同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；同旁内角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；对顶角：有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法(底数不变，指数相加）、幂的乘方（底数不变，指数相乘）、积的乘方（乘方的积）、同底数幂的除法（底数不变，指数相减）分别计算即可判断求解．
4．【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A、B、C选项中进行的抽查，对抽查对象划定了范围，不具有代表性，因此不合理，
故答案为：D．
【分析】根据抽样调查要具有广泛性与代表性进行判断即可．
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题知，二元一次方程中，当时，
有，解得，
故答案为：B．
【分析】将y=2代入二元一次方程x+2y=7求解即可．
6．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
解得：，
故选：A．
【分析】
根据分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0．
7．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是2个单项式相乘，故是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】因式分解是指将一个多项式写成几个整式积的形式．根据因式分解的概念逐一进行分析即可．
8．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式进行因式分解，然后整体代入计算解题．
9．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得 ，
故答案为：D.
【分析】由题意可得原计划每天种x棵，则原计划所需的天数为，实际所需的天数为，然后根据结果提前4天完成任务就可列出方程.
10．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
11．【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
12．【答案】80
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：由题知，样本容量是80，
故答案为：80．
【分析】根据样本容量的定义求解即可．
13．【答案】α+β
【知识点】猪蹄模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】如图，作OE∥AB，则OE∥CD，
∴∠ABO=∠BOE=α，∠COE=∠DCO=β，
∴∠BOC=∠BOE+∠COE=∠ABO+∠DCO=α+β.
故答案为α+β.
【点睛】
过点O作OE∥AB，则由平行公理知OE∥AB∥CD，此时可利用平行线的性质把∠ABO和∠DCO都转化到∠BOC的内部，则∠BOC恰好是∠ABO与∠DCO的和.
14．【答案】m
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为：
，
若分式的值为m，
则所得分式的值是m．
故答案为：m．
【分析】将原分式中的x、y用2x、2y代替，再根据分式的基本性质化简，最后与原分式进行比较即可．
15．【答案】4
【知识点】点的坐标；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：点是爱心点，
，
即①，
②
②-①得③
把①、③代入2m=3+n中
，
，
解得．
故答案为：4．
【分析】本题主要考查了点的坐标，以及“爱心点”的定义，正确掌握“爱心点”的定义是解题关键．直接利用“爱心点”的定义用含的式子表示出m，n的值，再将其代入求解，即可得出答案．
16．【答案】77
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知：，；
∴，
由图可知：
∴
∴
∵ab=13
∴；
故答案为77．
【分析】先计算出，，，，根据完全平方公式变形计算的值。
17．【答案】（1）解：
，
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则分别进行运算，再进行加减运算，即可解题；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
18．【答案】（1）解：由整理得
由得：，
解得，
将代入②中得：，
解得，
方程组的解为
（2）解：
，
两边乘以x-3得
，
，
．
经检验是该方程的解
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）直接利用加减消元法求解，即可解题；
（2）去分母转化成一元一次方程，由于是分数方程，求出x后要检验，防止增根．
（1）解：由整理得，
由得：，
解得，
将代入②中得：，
解得，
方程组的解为；
（2）解：，
，
，
，
．
经检验是该方程的解．
19．【答案】【解答】
解：原式 ＝
，
∵，且，
∴，且
把代入得，原式=
【知识点】分式的化简求值-择值代入
20．【答案】（1）解：平移后的如图所示：
（2）解： =2
【知识点】作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）将点A、B、C按平移条件找出它的对应点、、，再顺次连接、、，即得到平移后的图形．
（2）△MBC的三个顶点在长为3、宽为2的矩形中．利用矩形面积减去周边三个三角形面积即可得到△MBC的面积.
（1）解：平移后的如图所示：
（2）解：由图知，，
，
．
21．【答案】【解答】
解：（1）∵10÷10%=100（户），∴此次调查抽取了100户用户的用水量数据．
（2）∵用水“15吨～20吨”部分的户数为100﹣10﹣40﹣25﹣5=100﹣80=20（户），
∴据此补全频数分布直方图如图：
扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为
（3）∵被抽查的100户中不超过25吨用水量的户数为：（户），
∴（万户）．
∴该地30万用户中约有21万户居民的用水全部享受基本价格
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【分析】（1）根据频数、频率和总量的关系，由用水“10吨～15吨”部分的用户数（10）和所占百分比（10%）即可求得此次调查抽取的用户数．
（2）求出用水“15吨～20吨”部分的户数，即可补全频数分布直方图．由用水“25吨～30吨”部分的户(40)所占百分比(40%)乘以360°即可求得扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数．
（3）享受基本价格的用户数占70÷100=70%．根据用样本估计总体的思想即30万的70%。可求得该地30万用户中用水全部享受基本价格的用户数．
22．【答案】（1）证明：
又
，
（2）解：在三角形AEF中，
∠EFA=∠EBA+∠2
∵
∴∠2=44°
，
，
，
即
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）先根据得到，结合证明，从而得到，
（2）根据三角形外角等于不相邻的两个内角和及 ，先求出∠2的度数。先证明，进而证明，即可求出．
（1）证明：，
，
又，
，
，
；
（2）解：
，
，，
，即，
，
23．【答案】（1）=
（2）木木的方法正确，理由如下：
由平移性质知，
亮亮的方法，从到的路程为
木木的方法，从到的路程为
，
木木的方法正确
（3）解：如图所示，FG是建桥位置。
∵BGEF是平行四边形，则BG=EF，A到B的距离=AF+FG+BG+=AF+EF+GF。GF是定值。当A、E、F三点共线时EF+AF=AE.
BG+GF+AF最短。
【知识点】两点之间线段最短；平行线之间的距离；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）∵桥与河岸垂直，，EF∥CD，∴EFCD是平行四边形。根据平行线间的距离处处相等相等，则
【分析】（1）证明CDFE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，进而得出答案；
（2）分别用两种方法求处于从到的路程，根据三角形两边之和大于第三边，进行比较即可；
（3）过点B作河岸的垂线BE，使BE=CD，连接AE交河岸于F点，过F作FG垂直于，交对岸与G，FG就是建桥位置。由于GF是定值。当A、E、F三点共线时AE最短.
（1）解：∵桥与河岸垂直，
根据平行线间的线段相等，则
（2）木木的方法正确，理由如下：
由平移性质知，
亮亮的方法，从到的路程为
木木的方法，从到的路程为
，
，
木木的方法正确．
（3）如图b．①作交于，．②把平移至，连结，交于．
③作于
在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．
理由：由作图，，可以看做平移的结果，
，
若设另在 处架桥，同理可得，则，
在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．
24．【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，
根据题意得：，
，
，为非负整数，
或
或，
方法二：裁切靠背张和坐垫张；
方法三：裁切靠背张和坐垫张；
任务二：
每张学生椅用料35+15=50（cm）
（50×240）÷50=240（张）
该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅；
任务三：
设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，
根据题意得：
解得： （张），
需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：先求出每张学生椅用料，用总材料除以每张学生椅用料计算出能多少张学生椅；
任务三：根据题意靠背需要500张，坐垫需要500-8张，设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，列出二元一次方程组，解方程组可得答案．
1 / 1浙江省宁波市余姚市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·余姚期末）如图所示，∠B与∠3是一对（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】C
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】根据定义，知两个角是一对同旁内角．
故选：C．
【分析】
同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；同旁内角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；对顶角：有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角．
2．（2024七下·余姚期末）杭州奥体中心游泳馆安装了独立的水处理系统，其过滤器的过滤精度可达0.0000015米，数据0.0000015用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
3．（2024七下·余姚期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法(底数不变，指数相加）、幂的乘方（底数不变，指数相乘）、积的乘方（乘方的积）、同底数幂的除法（底数不变，指数相减）分别计算即可判断求解．
4．（2024七下·余姚期末）某中学七年级进行了一次数学测验，参加人数共500人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是（　　）
A．抽取前150名同学的数学成绩
B．抽取后150名同学的数学成绩
C．抽取其中150名女子的数学成绩
D．抽取各班学号为5的倍数的同学的数学成绩
【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A、B、C选项中进行的抽查，对抽查对象划定了范围，不具有代表性，因此不合理，
故答案为：D．
【分析】根据抽样调查要具有广泛性与代表性进行判断即可．
5．（2024七下·余姚期末）已知二元一次方程x+2y＝7，当y＝2时，x的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题知，二元一次方程中，当时，
有，解得，
故答案为：B．
【分析】将y=2代入二元一次方程x+2y=7求解即可．
6．（2024七下·余姚期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
解得：，
故选：A．
【分析】
根据分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0．
7．（2024七下·余姚期末）下列变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是2个单项式相乘，故是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】因式分解是指将一个多项式写成几个整式积的形式．根据因式分解的概念逐一进行分析即可．
8．（2024七下·余姚期末）已知，则代数式的值为（　　）
A．30 B．36 C．42 D．48
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式进行因式分解，然后整体代入计算解题．
9．（2024七下·余姚期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种植480棵树.由于青年志愿者的加入，每日比原计划多种 ，结果提前4天完成任务.设志愿者加入后每天种树 棵，则所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得 ，
故答案为：D.
【分析】由题意可得原计划每天种x棵，则原计划所需的天数为，实际所需的天数为，然后根据结果提前4天完成任务就可列出方程.
10．（2024七下·余姚期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图），折痕分别为，，若，且，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
11．（2024七下·余姚期末）因式分解： =　 　.
【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
12．（2024七下·余姚期末）要了解一批灯泡的使用寿命，从10000只灯泡中抽取80只灯泡进行试验，在这个问题中，样本容量是　 　．
【答案】80
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：由题知，样本容量是80，
故答案为：80．
【分析】根据样本容量的定义求解即可．
13．（2024七下·余姚期末）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数是　 　．
【答案】α+β
【知识点】猪蹄模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】如图，作OE∥AB，则OE∥CD，
∴∠ABO=∠BOE=α，∠COE=∠DCO=β，
∴∠BOC=∠BOE+∠COE=∠ABO+∠DCO=α+β.
故答案为α+β.
【点睛】
过点O作OE∥AB，则由平行公理知OE∥AB∥CD，此时可利用平行线的性质把∠ABO和∠DCO都转化到∠BOC的内部，则∠BOC恰好是∠ABO与∠DCO的和.
14．（2024七下·余姚期末）分式的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为　 　.
【答案】m
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为：
，
若分式的值为m，
则所得分式的值是m．
故答案为：m．
【分析】将原分式中的x、y用2x、2y代替，再根据分式的基本性质化简，最后与原分式进行比较即可．
15．（2024七下·余姚期末）当m，n都是实数，且满足，就称点为“爱心点”，点是爱心点，则　 　．
【答案】4
【知识点】点的坐标；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：点是爱心点，
，
即①，
②
②-①得③
把①、③代入2m=3+n中
，
，
解得．
故答案为：4．
【分析】本题主要考查了点的坐标，以及“爱心点”的定义，正确掌握“爱心点”的定义是解题关键．直接利用“爱心点”的定义用含的式子表示出m，n的值，再将其代入求解，即可得出答案．
16．（2024七下·余姚期末）将两个边长分别为a和b的正方形按图1所示方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为．若，，则　 　．
【答案】77
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知：，；
∴，
由图可知：
∴
∴
∵ab=13
∴；
故答案为77．
【分析】先计算出，，，，根据完全平方公式变形计算的值。
17．（2024七下·余姚期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
，
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则分别进行运算，再进行加减运算，即可解题；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
18．（2024七下·余姚期末）解方程组
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：由整理得
由得：，
解得，
将代入②中得：，
解得，
方程组的解为
（2）解：
，
两边乘以x-3得
，
，
．
经检验是该方程的解
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）直接利用加减消元法求解，即可解题；
（2）去分母转化成一元一次方程，由于是分数方程，求出x后要检验，防止增根．
（1）解：由整理得，
由得：，
解得，
将代入②中得：，
解得，
方程组的解为；
（2）解：，
，
，
，
．
经检验是该方程的解．
19．（2024七下·余姚期末）先化简，并在，，1，3中选一个合适的值代入求值
【答案】【解答】
解：原式 ＝
，
∵，且，
∴，且
把代入得，原式=
【知识点】分式的化简求值-择值代入
20．（2024七下·余姚期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，如图，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题：
（1）将先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应的，画出平移后的；
（2）如图边上有一格点，连，计算的面积．
【答案】（1）解：平移后的如图所示：
（2）解： =2
【知识点】作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）将点A、B、C按平移条件找出它的对应点、、，再顺次连接、、，即得到平移后的图形．
（2）△MBC的三个顶点在长为3、宽为2的矩形中．利用矩形面积减去周边三个三角形面积即可得到△MBC的面积.
（1）解：平移后的如图所示：
（2）解：由图知，，
，
．
21．（2024七下·余姚期末）为了鼓励市民节约用水，某市水费实行阶梯式计量水价：每户每月用水量不超过25吨享受基本价格：超出25吨的部分实行加价收费．为了更好地决策，自来水公随机抽取部分用户的用水量，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点不包括左端点），请根据统计图解决以下问题：
（1）这次调查抽取了多少用户的用水量数据？
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角的度数；
（3）估计该地30万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
【答案】【解答】
解：（1）∵10÷10%=100（户），∴此次调查抽取了100户用户的用水量数据．
（2）∵用水“15吨～20吨”部分的户数为100﹣10﹣40﹣25﹣5=100﹣80=20（户），
∴据此补全频数分布直方图如图：
扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为
（3）∵被抽查的100户中不超过25吨用水量的户数为：（户），
∴（万户）．
∴该地30万用户中约有21万户居民的用水全部享受基本价格
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【分析】（1）根据频数、频率和总量的关系，由用水“10吨～15吨”部分的用户数（10）和所占百分比（10%）即可求得此次调查抽取的用户数．
（2）求出用水“15吨～20吨”部分的户数，即可补全频数分布直方图．由用水“25吨～30吨”部分的户(40)所占百分比(40%)乘以360°即可求得扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数．
（3）享受基本价格的用户数占70÷100=70%．根据用样本估计总体的思想即30万的70%。可求得该地30万用户中用水全部享受基本价格的用户数．
22．（2024七下·余姚期末）如图，已知，．
（1）求证：
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：
又
，
（2）解：在三角形AEF中，
∠EFA=∠EBA+∠2
∵
∴∠2=44°
，
，
，
即
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）先根据得到，结合证明，从而得到，
（2）根据三角形外角等于不相邻的两个内角和及 ，先求出∠2的度数。先证明，进而证明，即可求出．
（1）证明：，
，
又，
，
，
；
（2）解：
，
，，
，即，
，
23．（2024七下·余姚期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示．
（1）如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为；
（2）如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短
亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短；
木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短．
你认为谁的方法正确？并说明理由．
（3）如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短 画出示意图，并用平移的原理说明理由．
【答案】（1）=
（2）木木的方法正确，理由如下：
由平移性质知，
亮亮的方法，从到的路程为
木木的方法，从到的路程为
，
木木的方法正确
（3）解：如图所示，FG是建桥位置。
∵BGEF是平行四边形，则BG=EF，A到B的距离=AF+FG+BG+=AF+EF+GF。GF是定值。当A、E、F三点共线时EF+AF=AE.
BG+GF+AF最短。
【知识点】两点之间线段最短；平行线之间的距离；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）∵桥与河岸垂直，，EF∥CD，∴EFCD是平行四边形。根据平行线间的距离处处相等相等，则
【分析】（1）证明CDFE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，进而得出答案；
（2）分别用两种方法求处于从到的路程，根据三角形两边之和大于第三边，进行比较即可；
（3）过点B作河岸的垂线BE，使BE=CD，连接AE交河岸于F点，过F作FG垂直于，交对岸与G，FG就是建桥位置。由于GF是定值。当A、E、F三点共线时AE最短.
（1）解：∵桥与河岸垂直，
根据平行线间的线段相等，则
（2）木木的方法正确，理由如下：
由平移性质知，
亮亮的方法，从到的路程为
木木的方法，从到的路程为
，
，
木木的方法正确．
（3）如图b．①作交于，．②把平移至，连结，交于．
③作于
在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．
理由：由作图，，可以看做平移的结果，
，
若设另在 处架桥，同理可得，则，
在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．
24．（2024七下·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，
根据题意得：，
，
，为非负整数，
或
或，
方法二：裁切靠背张和坐垫张；
方法三：裁切靠背张和坐垫张；
任务二：
每张学生椅用料35+15=50（cm）
（50×240）÷50=240（张）
该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅；
任务三：
设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，
根据题意得：
解得： （张），
需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：先求出每张学生椅用料，用总材料除以每张学生椅用料计算出能多少张学生椅；
任务三：根据题意靠背需要500张，坐垫需要500-8张，设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，列出二元一次方程组，解方程组可得答案．
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