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浙江省杭州市西湖区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·西湖期末）要使分式有意义，的取值应满足（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·西湖期末）计算：（　　）
A． B．2024 C． D．
3．（2024七下·西湖期末）下列调查中，①调查本班同学的视力；②调查一批节能灯管的使用寿命；③为保证“神舟九号”的成功发射，对其零部件进行检查；④对乘坐某班次客车的乘客进行安检．其中适合采用抽样调查的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2024七下·西湖期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·西湖期末）如图，把三角板的直角顶点放在直线b上．若，，则为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·西湖期末）某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、脂肪的含量分别为（g），（g），可列出方程（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·西湖期末）已知a2+b2=3，a-b＝2，那么ab的值是(　　)
A．-0.5 B．0.5 C．-2 D．2
8．（2024七下·西湖期末）若商品的买入价为，售出价为，则毛利率．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·西湖期末）如图，，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·西湖期末）设，，，有以下2个结论：①当时，；②当时，．下列判断正确的是（　　）
A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对
11．（2024七下·西湖期末）分解因式：4x2–1=　 　．
12．（2024七下·西湖期末）如图，将沿方向平移2个单位后得到．若，则的长是　 　．
13．（2024七下·西湖期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为　 　．
14．（2024七下·西湖期末）把一组样本数据分成五个组，第一、二、三、四组的频数之和为，第五组的频率为，则样本容量为　 　．
15．（2024七下·西湖期末）已知，且，则的值为　 　．
16．（2024七下·西湖期末）观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含的代数式表示第个等式：　 　　 　．
（2）计算：　 　．
17．（2024七下·西湖期末）（1）解方程组
（2）计算：．
18．（2024七下·西湖期末）（1）计算：．
（2）当时，求代数式的值．
19．（2024七下·西湖期末）为了解某区七年级男生的身体素质情况，随机抽取了名男生进行短跑测试，将测试成绩(精确到秒)绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值)．
名男生短跑成绩的频数表
组别(秒) 频数 频率
合计
名男生短跑成绩的频数直方图
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数表中，___________，___________，___________．
（2）把频数直方图补充完整．
（3）若该区七年级共有名男生，请估计短跑成绩小于或等于秒的人数．
20．（2024七下·西湖期末）如图，已知直线，分别与直线，相交，且．
（1）与平行吗？请说明理由．
（2）若，求的度数．
21．（2024七下·西湖期末）设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，．
（1）求的值．
（2）若，求的值．
（3）是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
22．（2024七下·西湖期末）如图1，将长方形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为点，，折叠后与交于点．
（1）若，直接写出的度数．
（2）如图2，设．
①若，求的度数．
②若，求的值．
23．（2024七下·西湖期末）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买了40元的豆沙棕和96元的肉棕，已知肉粽单价是豆沙棕单价的2倍，肉棕比豆沙棕多2个．
（1）求豆沙粽和肉棕的单价．
（2）端午节当天，超市为了促销推出降价优惠活动，下表列出了芳芳妈妈、媛媛妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）：
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
芳芳妈妈 10 15 135
媛媛妈妈 15 10 115
请根据上表，求豆沙棕和肉粽优惠后的价格．
（3）端午节后，超市为进一步减少库存，将两粽子打包成，两种包装销售，每包都是20个（包装成本忽略不计），每种粽子的销售价格按（1）中的单价五折出售．包装中有个豆沙棕，包装中有个肉棕．活动某天统计发现， 种包装销量为包，B种包装销量为包，A，B两种包装的销售总额为3880元，试求的值．
24．（2024七下·西湖期末）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接．
（1）如图1，若点在线段上，，，求的度数．
（2）如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数．
（3）当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故选：D．
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，即进行求解即可
2．【答案】D
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：；
故选D．
【分析】
．
3．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】①适合普查，故①不适合抽样调查；
②调查具有破坏性，故适合抽样调查，故②符合题意；
③调查要求准确性，故③不适合抽样调查；
④安检适合普查，故④不适合抽样调查．
故选B．
【分析】当调查结果要求零容忍误差或后续决策涉及重大公共利益时必须进行全面调查，当检测过程具有破坏性或时效性要求高或调查对象达千万级时可选择抽样调查.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题考查合并同类项（合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变 ）、同底数幂的乘法（ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ）、幂的乘方（ 底数保持不变，而指数相乘 ）、同底数幂的除法（ 同底数幂相除，底数不变，指数相减 ）。根据运算法则进行计算即可求
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
，
，
∵，
∴；
故选：B．
【分析】
如图所示，由平行线的性质可把转移到位置上，再由与互余即可．
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】：设蛋白质、眉肪的含量分别为（g），（g），则碳水化合物含量为（g），
∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g，
∴可列方程为：，即：．
故答案为：A．
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，正确找出等量关系式是列出二元一次方程的关键．本题的等量关系式是：碳水化合物含量+蛋白质含量+脂肪的含量=37g.
7．【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a﹣b=2，两边平方得（a﹣b）2=4，即（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=4．
∵a2+b2=3，∴3﹣2ab=4，
解得：ab=﹣0.5．
故答案为：A．
【分析】先把a-b=2两边平方得出a2+b2﹣2ab=4．把a2+b2=3代入计算即可得到ab的值。
8．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
去分母得，
移项得，即：，
∵，
∴，
∴，
∴；
检验：把代入 中分母不等于0，
∴是原方程的解，
故答案为：C．
【分析】本题考查解分式方程，将，看作常数，通过去分母、移项、合并同类项、化系数为1，求出，由于它属于分式方程，记得检验．
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠AFE，
∴AF∥DE， ，
∴；
故选：B．
【分析】根据，，得到，再根据两直线平行，同位角相等，通过等量代换即可作出选择．
10．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
当时，，
∴，
∴，
当时，，，
当时，，则：，
∴，
所以①错
当时，，则：，
∴，
故②对；
所以①错②对
故答案为：A．
【分析】本题考查分式的减法运算，计算出，分，x=2，x＞2和x＜ 1讨论，即可得到答案.
11．【答案】（2x+1）（2x–1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=（2x+1）（2x－1）．
故答案为：（2x+1）（2x–1）．
【分析】利用平方差公式进行因式分解．
12．【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的概念得到，再求线段的和即可得到答案．
13．【答案】9
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【分析】
由方程组解的概念可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可得到a与b的值，则所求代数式的值可求．
14．【答案】50
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数与频率
【解析】【解答】解：样本容量为：
故答案为：．
【分析】第五组频率是0.3，则第一、二、三、四的频率是1-0.3=0.7，用第一、二、三、四组的频数之和除以第一、二、三、四组的频率之和即可．
15．【答案】1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵=1，
∴=1，
∴ab=b+2a，
∴=1.
故答案为：1.
【分析】对已知等式进行通分可得ab=b+2a，然后代入化简即可.
16．【答案】；；
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据分析，可得用含的代数式表示第个等式：
故答案为：；
（2）∵
∴
故答案为：．
【分析】（1）首先根据前四个等式的特征，第一步可得第个等式的分子是n+2，分母是；第二步两个数的分子都是1，第一个数的分母是，第二个数的分母是，据此解答即可．
（2）根据（1）的规律，先求出的值，再求出的值然后相除即可．
17．【答案】解：（1），
，得：，
解得：，
把代入②，得：，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2）原式．
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组；
（2）根据同分母分式的加法法则：分母不变，分子相加，然后约分解题即可．
18．【答案】解：（1）
；
（2）
；
当时，原式
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
19．【答案】（1）50；20；0.1.
（2）补全图形如下：
（3）解人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：（1），，
，
故答案为：、、；
【分析】（1）根据题意总人数是200，根据频数=总数×频率；则a=200×0.25； b=总人数减去其他组的频数； c=b÷总人数
（2）根据所求a、b的值即可补全图形；
（3）样本中短跑成绩小于或等于13.5秒频率是0.1+0.25=0.35，总人数乘以该频率得到 100m短跑成绩小于或等于13.5秒的人数．
（1）解：，，，
故答案为：、、；
（2）补全图形如下：
（3）人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人．
20．【答案】（1）解：，理由如下：
如图
∴，
∴
（2）解：∵，
∵，
∴，
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
21．【答案】（1）解：
（2）解：∴
∴；
经检验，是原方程的解，
∴
（3）存在；
当时，即：，
去分母得
移项合并同类项得
即x(x-1)=0
检验：
当是原方程的根。
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据新运算的计算法则，列式计算即可；
（2）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。
（3）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。增根的舍去.
（1）解：；
（2），
∴，
∴；
经检验，是原方程的解，
∴．
（3）存在；
，
当时，即：，
当时，满足题意，
当时，则：，则：，
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故．
22．【答案】（1）
（2）解：①∵长方形纸片沿直线折叠，∴
∵，
∵CN∥DM
即70°+70°+∠AMD=180°
∴∠AMD=40°
②由①知：
∵，
在三角形MNE中
∴
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：（1）∵长方形纸片沿直线折叠，
∴AD∥BC，∠MEN=∠ CNE=90°，
∴；
故答案为：45°.
【分析】（1）根据垂直的定义，平行线的性质，得到，再根据折痕是角平分线，求出的度数即可；
（2）①折叠的性质，得到，平行得到=，，再根据角的和差关系进行求解即可；
②根据问题①中得到和三角形的内角和定理求解即可．
（1）解：∵长方形纸片沿直线折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②由①知：，
∵，且，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：豆沙粽的单价是4元，肉粽的单价是8元
（2）解：设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，
根据题意得：
，
解得，
答：豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元
（3）解：根据题意得：
整理得：
解得：，，
答：m的值为15或9
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元， 肉棕个数是；豆沙棕个数是． 等量关系式是肉棕的个数减去豆沙棕的个数=2个．解分式方程求解即可；
（2）设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，根据表中信息列出二元一次方程组，解方程组即可；
（3）根据题意A包装有m个豆沙粽，（20-m）个肉粽，卖出（60-2m）包；B包装有(20-m)个豆沙粽，m个肉粽，卖出（2m+4）包。单价是豆沙粽2元/个，肉粽4元/个，根据两种包装的销售总额为3880元，列出一元二次方程，解方程即可．
（1）解：设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：豆沙粽的单价是4元，肉粽的单价是8元；
（2）解：设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，
根据题意得：
，
解得，
答：豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元；
（3）解：根据题意得：
，
整理得：，
解得：，，
答：m的值为15或9．
24．【答案】（1）解：∵
∴∠EQP=180°-115°=65°
∵，
∴∠QEP=∠PFD=75°
（2）解：设∵
∵
∵平分
∵
∵，
∵是的角平分线，
又∵，即
解得：
∴
（3）
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
1 / 1浙江省杭州市西湖区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·西湖期末）要使分式有意义，的取值应满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故选：D．
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，即进行求解即可
2．（2024七下·西湖期末）计算：（　　）
A． B．2024 C． D．
【答案】D
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：；
故选D．
【分析】
．
3．（2024七下·西湖期末）下列调查中，①调查本班同学的视力；②调查一批节能灯管的使用寿命；③为保证“神舟九号”的成功发射，对其零部件进行检查；④对乘坐某班次客车的乘客进行安检．其中适合采用抽样调查的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】①适合普查，故①不适合抽样调查；
②调查具有破坏性，故适合抽样调查，故②符合题意；
③调查要求准确性，故③不适合抽样调查；
④安检适合普查，故④不适合抽样调查．
故选B．
【分析】当调查结果要求零容忍误差或后续决策涉及重大公共利益时必须进行全面调查，当检测过程具有破坏性或时效性要求高或调查对象达千万级时可选择抽样调查.
4．（2024七下·西湖期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题考查合并同类项（合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变 ）、同底数幂的乘法（ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ）、幂的乘方（ 底数保持不变，而指数相乘 ）、同底数幂的除法（ 同底数幂相除，底数不变，指数相减 ）。根据运算法则进行计算即可求
5．（2024七下·西湖期末）如图，把三角板的直角顶点放在直线b上．若，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
，
，
∵，
∴；
故选：B．
【分析】
如图所示，由平行线的性质可把转移到位置上，再由与互余即可．
6．（2024七下·西湖期末）某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、脂肪的含量分别为（g），（g），可列出方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】：设蛋白质、眉肪的含量分别为（g），（g），则碳水化合物含量为（g），
∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g，
∴可列方程为：，即：．
故答案为：A．
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，正确找出等量关系式是列出二元一次方程的关键．本题的等量关系式是：碳水化合物含量+蛋白质含量+脂肪的含量=37g.
7．（2024七下·西湖期末）已知a2+b2=3，a-b＝2，那么ab的值是(　　)
A．-0.5 B．0.5 C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a﹣b=2，两边平方得（a﹣b）2=4，即（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=4．
∵a2+b2=3，∴3﹣2ab=4，
解得：ab=﹣0.5．
故答案为：A．
【分析】先把a-b=2两边平方得出a2+b2﹣2ab=4．把a2+b2=3代入计算即可得到ab的值。
8．（2024七下·西湖期末）若商品的买入价为，售出价为，则毛利率．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
去分母得，
移项得，即：，
∵，
∴，
∴，
∴；
检验：把代入 中分母不等于0，
∴是原方程的解，
故答案为：C．
【分析】本题考查解分式方程，将，看作常数，通过去分母、移项、合并同类项、化系数为1，求出，由于它属于分式方程，记得检验．
9．（2024七下·西湖期末）如图，，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠AFE，
∴AF∥DE， ，
∴；
故选：B．
【分析】根据，，得到，再根据两直线平行，同位角相等，通过等量代换即可作出选择．
10．（2024七下·西湖期末）设，，，有以下2个结论：①当时，；②当时，．下列判断正确的是（　　）
A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
当时，，
∴，
∴，
当时，，，
当时，，则：，
∴，
所以①错
当时，，则：，
∴，
故②对；
所以①错②对
故答案为：A．
【分析】本题考查分式的减法运算，计算出，分，x=2，x＞2和x＜ 1讨论，即可得到答案.
11．（2024七下·西湖期末）分解因式：4x2–1=　 　．
【答案】（2x+1）（2x–1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=（2x+1）（2x－1）．
故答案为：（2x+1）（2x–1）．
【分析】利用平方差公式进行因式分解．
12．（2024七下·西湖期末）如图，将沿方向平移2个单位后得到．若，则的长是　 　．
【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的概念得到，再求线段的和即可得到答案．
13．（2024七下·西湖期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为　 　．
【答案】9
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【分析】
由方程组解的概念可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可得到a与b的值，则所求代数式的值可求．
14．（2024七下·西湖期末）把一组样本数据分成五个组，第一、二、三、四组的频数之和为，第五组的频率为，则样本容量为　 　．
【答案】50
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数与频率
【解析】【解答】解：样本容量为：
故答案为：．
【分析】第五组频率是0.3，则第一、二、三、四的频率是1-0.3=0.7，用第一、二、三、四组的频数之和除以第一、二、三、四组的频率之和即可．
15．（2024七下·西湖期末）已知，且，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵=1，
∴=1，
∴ab=b+2a，
∴=1.
故答案为：1.
【分析】对已知等式进行通分可得ab=b+2a，然后代入化简即可.
16．（2024七下·西湖期末）观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含的代数式表示第个等式：　 　　 　．
（2）计算：　 　．
【答案】；；
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据分析，可得用含的代数式表示第个等式：
故答案为：；
（2）∵
∴
故答案为：．
【分析】（1）首先根据前四个等式的特征，第一步可得第个等式的分子是n+2，分母是；第二步两个数的分子都是1，第一个数的分母是，第二个数的分母是，据此解答即可．
（2）根据（1）的规律，先求出的值，再求出的值然后相除即可．
17．（2024七下·西湖期末）（1）解方程组
（2）计算：．
【答案】解：（1），
，得：，
解得：，
把代入②，得：，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2）原式．
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组；
（2）根据同分母分式的加法法则：分母不变，分子相加，然后约分解题即可．
18．（2024七下·西湖期末）（1）计算：．
（2）当时，求代数式的值．
【答案】解：（1）
；
（2）
；
当时，原式
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
19．（2024七下·西湖期末）为了解某区七年级男生的身体素质情况，随机抽取了名男生进行短跑测试，将测试成绩(精确到秒)绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值)．
名男生短跑成绩的频数表
组别(秒) 频数 频率
合计
名男生短跑成绩的频数直方图
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数表中，___________，___________，___________．
（2）把频数直方图补充完整．
（3）若该区七年级共有名男生，请估计短跑成绩小于或等于秒的人数．
【答案】（1）50；20；0.1.
（2）补全图形如下：
（3）解人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：（1），，
，
故答案为：、、；
【分析】（1）根据题意总人数是200，根据频数=总数×频率；则a=200×0.25； b=总人数减去其他组的频数； c=b÷总人数
（2）根据所求a、b的值即可补全图形；
（3）样本中短跑成绩小于或等于13.5秒频率是0.1+0.25=0.35，总人数乘以该频率得到 100m短跑成绩小于或等于13.5秒的人数．
（1）解：，，，
故答案为：、、；
（2）补全图形如下：
（3）人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人．
20．（2024七下·西湖期末）如图，已知直线，分别与直线，相交，且．
（1）与平行吗？请说明理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
如图
∴，
∴
（2）解：∵，
∵，
∴，
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
21．（2024七下·西湖期末）设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，．
（1）求的值．
（2）若，求的值．
（3）是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：
（2）解：∴
∴；
经检验，是原方程的解，
∴
（3）存在；
当时，即：，
去分母得
移项合并同类项得
即x(x-1)=0
检验：
当是原方程的根。
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据新运算的计算法则，列式计算即可；
（2）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。
（3）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。增根的舍去.
（1）解：；
（2），
∴，
∴；
经检验，是原方程的解，
∴．
（3）存在；
，
当时，即：，
当时，满足题意，
当时，则：，则：，
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故．
22．（2024七下·西湖期末）如图1，将长方形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为点，，折叠后与交于点．
（1）若，直接写出的度数．
（2）如图2，设．
①若，求的度数．
②若，求的值．
【答案】（1）
（2）解：①∵长方形纸片沿直线折叠，∴
∵，
∵CN∥DM
即70°+70°+∠AMD=180°
∴∠AMD=40°
②由①知：
∵，
在三角形MNE中
∴
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：（1）∵长方形纸片沿直线折叠，
∴AD∥BC，∠MEN=∠ CNE=90°，
∴；
故答案为：45°.
【分析】（1）根据垂直的定义，平行线的性质，得到，再根据折痕是角平分线，求出的度数即可；
（2）①折叠的性质，得到，平行得到=，，再根据角的和差关系进行求解即可；
②根据问题①中得到和三角形的内角和定理求解即可．
（1）解：∵长方形纸片沿直线折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②由①知：，
∵，且，
∴，
∴．
23．（2024七下·西湖期末）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买了40元的豆沙棕和96元的肉棕，已知肉粽单价是豆沙棕单价的2倍，肉棕比豆沙棕多2个．
（1）求豆沙粽和肉棕的单价．
（2）端午节当天，超市为了促销推出降价优惠活动，下表列出了芳芳妈妈、媛媛妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）：
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
芳芳妈妈 10 15 135
媛媛妈妈 15 10 115
请根据上表，求豆沙棕和肉粽优惠后的价格．
（3）端午节后，超市为进一步减少库存，将两粽子打包成，两种包装销售，每包都是20个（包装成本忽略不计），每种粽子的销售价格按（1）中的单价五折出售．包装中有个豆沙棕，包装中有个肉棕．活动某天统计发现， 种包装销量为包，B种包装销量为包，A，B两种包装的销售总额为3880元，试求的值．
【答案】（1）解：设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：豆沙粽的单价是4元，肉粽的单价是8元
（2）解：设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，
根据题意得：
，
解得，
答：豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元
（3）解：根据题意得：
整理得：
解得：，，
答：m的值为15或9
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元， 肉棕个数是；豆沙棕个数是． 等量关系式是肉棕的个数减去豆沙棕的个数=2个．解分式方程求解即可；
（2）设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，根据表中信息列出二元一次方程组，解方程组即可；
（3）根据题意A包装有m个豆沙粽，（20-m）个肉粽，卖出（60-2m）包；B包装有(20-m)个豆沙粽，m个肉粽，卖出（2m+4）包。单价是豆沙粽2元/个，肉粽4元/个，根据两种包装的销售总额为3880元，列出一元二次方程，解方程即可．
（1）解：设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：豆沙粽的单价是4元，肉粽的单价是8元；
（2）解：设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，
根据题意得：
，
解得，
答：豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元；
（3）解：根据题意得：
，
整理得：，
解得：，，
答：m的值为15或9．
24．（2024七下·西湖期末）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接．
（1）如图1，若点在线段上，，，求的度数．
（2）如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数．
（3）当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】（1）解：∵
∴∠EQP=180°-115°=65°
∵，
∴∠QEP=∠PFD=75°
（2）解：设∵
∵
∵平分
∵
∵，
∵是的角平分线，
又∵，即
解得：
∴
（3）
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
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