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~长郡中学2025届模拟试卷（二）
数学
长郡中学高三数学备课组组稿
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.)
1.已知集合A={x|x3<9},集合B=N,则A∩B=
A.{1,2}
B.{1,2,3}
C.{-1,-2,0,1,2)
D.{0,1,2
2.已知a∈R,若a一2十(a一3)i(i为虚数单位)是实数，则a=
A.3
B.-3
C.-2
D.2
3.已知平面向量a,b满足|a=2,a⊥(a十b),则a·b=
A.-2
B.2
C.-4
D.4
4已知点P(停，号)在角9的终边上，且9∈0，爱引，则0的值为
A晋
B晋
c
D.登
毁
5.球面上有三点A,B,C,若AB=6,BC=8,AC=10,且球心到△ABC所在平面的距离等于球的
半径的一半，则该球的表面积为
A.100z
C400a
3
B.100元
3
D.400π
6.已知函数f(x)=sinx十cosx十ax(a∈R)在R上单调递减，则实数a的取值范围是
A[V2,+∞)
B.(-o∞，W2]
C.[-√2，十∞)
D.(-∞，-√2]
数学试卷（长郡版）第1页（共5页）
7.已知点D(4,m)在抛物线2：x2=8y上，点A为圆C:x2+(y一2)2=2(0且|AD的最小值为3，则圆C的半径r为
A.1
B.2
C.3
D.4
8.已知函数f(x)=lhx+x一2，若fa)+f(6)=0,则a2+的最小值为
A.1
B.2
C.√2
D.2√2
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.已知随机变量X服从正态分布，即X~N(3,9),则
A.E(X)=27
B.D(X)=9
C.P(X≥8)>P(X≤-1)
D.P(X≤1)+P(X≤5)=1
10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 bcos A=acos C+ccos A,b=4,边BC的中线
AD=√7，则下列结论正确的有
A.A=号
B.AB·AC=8
C.△ABC的面积为2√3
D.△ABC的外接圆的面积为4π
11.已知函数f(x)=a2一1ogx(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则下列选项中正确的是
A当a=4时，若fx)<0在区间0，]恒成立，则实数6的取值范图为（受，）
B.当a=b=e(e为自然对数的底数)时，f(x)的最小值为2
C.当a=∥，b=e(e为自然对数的底数)时，若f(x)≥(1一)x恒成立，则实数入的最小值为】
D.当a=b时，若函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围为(1，e)
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知函数f(x)=
2,(x≥0)，若fa)=4,则a=
x十2，(x<0),
13.某中学2025年度青年教师讲题比赛分为文科、理科两个组别进行.文科组和理科组分别有4
位和5位教师参赛.根据比赛规则，要求共评出一等奖4名，一等奖中的最高分设为特等奖，
其余均为二等奖，且每个组至少有1名一等奖（包含一等奖中的特等奖）.则最终的可能比赛
结果共有
种。
14.已知双曲线C若-苦=1a>0,b6>0)的右焦点为F,以OF(0为坐标原点)为直径的圆与C
的渐近线的一个交点为P,若引OP|=√2b,则双曲线C的离心率为
数学试卷（长郡版）第2页（共5页）长郡中学2025届模拟试卷（二）
数学参考答案
题号
1
2
3
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
C
B
C
B
BD
ACD
ACD
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.D【解析】A={xx<9}={xx<},所以A∩B={0,1,2}.
2.A【解析】由题意得a一3=0，故a=3.
3.C【解析】由a⊥(a十b),得a·(a十b)=a十a·b=0,所以a·b=-a2=-4.
1
4.B【解析】由题意可得tan0=
-号◆CD号》成6吾
2
5.C【解析】令△ABC外接圆的半径为r,球的半径为R,由AB=6,BC=8,AC=10,得AB+BC=36十64=100=
AC,所以△ABC为直角三角形，则2r=10,即r=5,因为球心到△ABC所在平面的距离等于球的半径的一半，所以
R-5=(2R)°，解得R-9,所以球的表面积为4R=40
√3
3
6.D【解析】由题意得广(.x)=cosx一sinx十a≤0在R上恒成立，则a≤sinx一cosx,
因为sinx-cosx=②sin(x-于）∈[-②，w2],则a≤-②.
7.A【解析】根据题意，得4=8，解得m=2,即D(4,2),因为圆心C(0,2)恰好为抛物线2的焦点，则|CD=4一0
=4,又CD=4>r,所以，点D在固C的外部，所以|AD的最小值为CD一r=4一r=3,解得r=1.
&B【解折】函数f)=nr叶一子的定义线为(0，十o),可得函数f)=1nx+一子在(0，十o)上单调道增，
又f公)=n方+名士-=-h6-6什石=-(a什6石)=-f6,
由fa)+f6)=0,得fa)=-f6)=f(分），
因为函数f(x)在(0，卡s∞)上单调递增，所以a=方，所以ab=1,所以。+≥2ab=2,当且仅当a=b=1时取等号，
所以a2十6的最小值为2.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）
9.BD【解析】由XN(3,9)可得，E(X)=3,D(X)=9,故A错误；B正确；
对于C,因为E(X)=3,则P(X≥8)=P(X≤-2)对于D,因为E(X)=3,则P(X≤1)=P(X≥5)，故P(X≤1)十P(X≤5)=1，即D正确
10.ACD【解析】由2 bcos A=acos C.+ccos A,根据正弦定理，得2 sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A,
整理得2 sin Beos A=sim(A+C=simB,因为inB>0,所以cosA=号，解得A=否，故A正确：
因为AD为边BC的中线，所以AD=号(AB+AC),整理得4A=|A:+|AC+2A11 ACI cos A,
即28=AB2+|AC|2+|AB|AC,又|AC1=b=4,解得|AB|=2或|AB=-6(舍)，
所以A市.AC-A·ACl cos A=-2X4X2=4,故B错误：
Se=号AB1ACnA=号×2X4×号=28，故C正痛：
根据余弦定理，|BC|2=|AB引+|AC2-2|AB引|ACl cos A,即|BC2=4+16-4×2=12,解得|BC=23,又
由正孩定理得BC=25=4=2R,解得R=2,所以△ABC的外接圆的面积为K=4怀，故D正确.
sin A 3
2
数学参考答案（长那版）一1

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