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2024-2025学年度第二学期上犹中学南校区高一年级
数学五月月考试卷
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2.下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内
C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面体
3．正四棱台形状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容积是（ ）
A．108 B．114 C．120 D．126
4．已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．-1 B． C．0 D．1
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．已知函数的图象在上恰好有2个最高点，1个最低点，且这3个点可以组成一个锐角三角形，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，若则（ ）
A． B． C． D．
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.以下命题中，正确的有（ ）
A.若向量，满足，则
B.若复数，满足，则
C.若向量，满足，则
D.若复数，满足，则
10．如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象向左平移个单位长度后，
所得图象对应的函数是偶函数
11．下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数y＝的定义域为 ▲ .
13．复数满足，则的最大值为 ▲ .
14.如图在圆锥中，底面圆的直径，轴截面的面积为，点在母线上，且，一只蚂蚁若从点出发，沿圆锥侧面爬行到达点，则它爬行的最短距离为 ▲ .
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值．
16．如图，在平行四边形中，，，.
(1)用，表示，；
(2)若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论.
17．2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）
(1)若，求折断前树的高度；
(2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个，解答以下问题
①；②；③
(1)求证：；
(2)若求边长
(3)求的最小值.
19．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．
(1)设，写出函数的相伴向量；
(2)已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围；
(3)已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
《数学五月月考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D D B B D A A ACD ABD ABD
(k∈Z) 【注：答案没写成集合形式或没写k∈Z为0分】
13． 14．
15．(1) (2)
【详解】（1）若，则，即， …………………………3分
则，. …………………………6分
【注：若写成k作分母形式而未讨论k=0情形的，扣一分】
（2） ，则， …………………………9分
则， ，得. …………………………13分
16．(1)， (2)是直角三角形，证明见解析
【详解】（1）由题意得，， …………………………1分
则． …………………………4分
． ……………7分
（2）是直角三角形．证明如下：由题意得， ……………9分， …………………………11分
则 ……14分
所以．故是直角三角形． …………………………15分
【注：1.向量没写箭头扣1分；2.若有另解酌情给分】
17．(1) (2)救援车不能从此处通过，理由见解析
【详解】（1）解：在中，，，所以， …………1分
由正弦定理，得. ……………3分
所以 ……………6分
如图，设的内接矩形的边在上
且，设，因为，，所以， ………7分
所以，所以， ……………9分
则 ……………12分
因为，所以所以，所以 ………14分
因为，所以救援车不能从此处通过. ……………15分
【直接写的不扣分，可打满分】
18．(1)选择见解析，证明见解析 (2)4 (3)
【详解】（1）若选①
由余弦定理则 ……………1分
化简可得根据正弦定理可得 ……………3分
因为所以
即即 ……………5分
所以，此时或此时因为所以 …………6分
若选②
由正弦定理可得 ……………2分
所以即 ……………4分
所以，此时或此时因为所以…………6分
若选③因为 ……………2分
所以所以 ……………3分
因为则所以或 ……………4分
若则则不符合题意，所以即 …………6分
【注：没写内角取值范围并讨论的扣一分】
（2）因为则 …………7分
由可得 …………8分
所以 …………9分
已知由正弦定理可得 …………10分
设则解得所以 …………11分
根据余弦定理可得所以 …………12分
（3）
…………14分
所以
因为所以 …………16分
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为 ………17分
【注：没写取等条件的扣一分】
19．(1)； (2) (3)存在点
【详解】（1） ……………2分
所以函数的相伴向量； ……………4分
（2）由题知， ……………5分
由，得．
又因为，即，所以． ……………6分
又因为，由正弦定理，得，
即
， ……………8分
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值1， ……………9分
即的最大值为，最小值大于b边．
所以的取值范围为 ……………10分
（3）由（2）知，，
所以， ……………11分
设，因为，
所以， ……………12分
又因为，所以，
所以 ……………13分
即，
所以 ……………15分
因为，所以，
所以， ……………16分
又因为，所以当且仅当时，和同时等于，
所以在图像上存在点，使得. ……………17分
【注：若有另解酌情给分】

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