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【江苏省考前冲刺特训】解答题模拟真题练习（二）-2025年高考数学
1．（2025 张家口三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2﹣sinAsinC＝sin2（A+C）+cos2（A+B）+cos2（B+C）．
（1）求B；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，且，，求BD的长．
2．（2025 张家口三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
A科室 2 3
B科室 3 3
（1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
（2）设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
3．（2025 金昌校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABD，PA＝AB＝4，C，D是平面ABCD内以AB为直径的半圆上的两点，且AD＝2，DC∥AB．
（1）证明：BD⊥平面PAD；
（2）证明：平面PAD⊥平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
4．（2025 保定二模）已知双曲线C的焦距为，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）若A是C的左顶点，直线l：y＝3x﹣3与C交于P，Q两点，求△APQ的面积．
5．（2025 湖北校级模拟）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是W上的两点，线段PQ的中点为R．当直线PA的倾斜角为时，有|PF|＝|AF|．
（1）求双曲线W的离心率；
（2）若，求直线PQ的一般式方程；
（3）若A，P，Q三点不共线，且2|AR|＝|PQ|，求证：直线PQ过定点．
6．（2025 重庆校级模拟）已知数列的前n项和为Sn，S3＝14，Sn+1＝2Sn+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
7．（2025 和平区校级二模）已知向量，设函数f（x）．
（1）求f（x）在上的最值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）＝4，b＝1，△ABC的面积为，求a的值．
8．（2025 河北模拟）如图，几何体ABCA′B′C′中，四边形ACC′B′为矩形，四边形ABB′A′为等腰梯形，其中AA′∥分别为BB′和CC′的中点．
（1）证明：PQ∥平面ABC；
（2）若直线B′C与平面ABC所成角为60°，求平面BQB′与平面ABC夹角的余弦值．
9．（2025 海珠区校级三模）已知直线x﹣y﹣1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且|AB|＝8．
（1）求p；
（2）M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点．若，求△MNF面积的最小值．
（3）若点P（﹣4，0），问x轴上是否存在点T，使得过点T的任一条直线与抛物线C交于点Q、R两点，且点T到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
10．（2025 和平区校级二模）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若在（0，+∞）上单调递增，则称f（x）为“强增函数”．
（1）若f（x）＝x2﹣xlnx+a是“强增函数”，求a的取值范围；
（2）若f（x）为“强增函数”，且f（x）＜0．当0＜x＜1时，比较e﹣xf（x）与的大小，并说明理由；
（3）已知f（x）＝2ex﹣x2lnx﹣2，r＞0，s＞0，t＞0．证明：f（r+s+t）＞f（r）+f（s）+f（t）．
参考结论：当x→0时，x2lnx→0．
11．（2025 历下区校级模拟）已知a∈R，函数f（x）＝aln（x+1）﹣2x﹣2，g（x）＝2x﹣ex+cosx．
（1）当a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：函数g（x）存在两个零点；
（3）当x＞﹣1时，不等式g（f（x））≤0恒成立，求a的取值范围．
12．（2025 德州模拟）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AD）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A＝“学生报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计P（A），P（B|A），
P（A|B）．
（1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？
性别 男生 女生 合计
未报名参加答题活动
报名参加答题活动
合计 100
（2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置m（m≥3）道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．
①求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望；
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为Pn（n∈N*），求Pn的最大值．
参考公式与数据：χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
13．（2025 天津一模）已知等差数列{an}满足a2+a5＝16，a4＝3a1，记数列{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列1，2，3，一阶“H拓展”得到数列1，3，2，5，3；二阶“H拓展”得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3；…设n阶“H拓展”得到数列1，x1，x2，…，xm，3（m∈N*），设bn＝1+x1+x2+…+xm+3，则b1＝1+3+2+5+3＝14，b2＝1+4+3+5+2+7+5+8+3＝38．
（i）求数列{bn}的通项公式；
（ii）设数列{cn}满足cn求数列{cn}的前2n项和T2n．
14．（2025 德州模拟）已知双曲线的焦距为4，点在Γ上．
（1）求Γ的方程；
（2）设过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A，B，过Γ的右焦点F2的直线交Γ的右支于点C，D，若以A，B，C，D为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线AB的方程．
15．（2025 湖北模拟）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱OO'中底面长轴AB＝A'B'＝4，短轴长，F1，F2为下底面椭圆的左右焦点，F2'为上底面椭圆的右焦点，AA'＝4，P为BB'上的中点，E为直线A'B'上的动点，MN为过点F2的下底面的一条动弦（不与AB重合）．
（1）求证：F1F2'∥平面PMN．
（2）若点Q是下底面椭圆上的动点，Q'是点Q在上底面的投影，且Q'F1，Q′F2与下底面所成的角分别为α，β，试求出tan（α+β）的最小值．
（3）求三棱锥E﹣PMN的体积的取值范围．
【江苏省考前冲刺特训】解答题模拟真题练习（二）-2025年高考数学
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．（2025 张家口三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2﹣sinAsinC＝sin2（A+C）+cos2（A+B）+cos2（B+C）．
（1）求B；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，且，，求BD的长．
【解答】解：（1）因为2﹣sinAsinC＝sin2（A+C）+cos2（A+B）+cos2（B+C）＝sin2B+cos2C+cos2A
＝sin2b+1﹣sin2C+1﹣sin2A，
整理可得sin2B＝sin2A+sin2C﹣sinAsinC，
由正弦定理可知b2＝a2+c2﹣ac，即a2+c2﹣b2＝ac，
又由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accosB，
可得cosB，
又B∈（0，π），
则；
（2）由△ABC的外接圆面积为π，得外接圆半径为1，
由正弦定理可得2R＝2，
可得b＝2sinB＝2，
因为ac，，
由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，
即，
化简得，解得（负根舍去），
所以，
因为，所以，
（），
所以2＝（）22+（）22+2 ，
＝（）22+（）22+2 || ||cosB，
＝（）2×3+（）2（）2+2
，
可得||．
所以BD的长是．
2．（2025 张家口三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
A科室 2 3
B科室 3 3
（1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
（2）设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，有60种情况，
所以所求的概率为P；
（2）由题意可知，X的所有可能取值为0、1、2、3、4，
，，
，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以．
3．（2025 金昌校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABD，PA＝AB＝4，C，D是平面ABCD内以AB为直径的半圆上的两点，且AD＝2，DC∥AB．
（1）证明：BD⊥平面PAD；
（2）证明：平面PAD⊥平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为PA⊥平面ABD，BD 平面ABD，
所以PA⊥BD．
因为D是以AB为直径的半圆上的一点，
所以AD⊥BD，
因为PA，AD 平面PAD，PA∩AD＝A，
所以BD⊥平面PAD．
（2）证明：因为BD 平面PBD，由（1）得BD⊥平面PAD，
所以平面PAD⊥平面PBD．
（3）解：以A为坐标原点，垂直于平面PAB的方向为x轴，的方向分别为y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则，，
故．
设平面PBD的法向量为，
则，即，
令y＝1，得，
可得 3+3﹣4＝2，||2，||，
所以cos，．
设直线PC与平面PBD所成的角为θ，
所以sinθ＝|cos，|．
4．（2025 保定二模）已知双曲线C的焦距为，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）若A是C的左顶点，直线l：y＝3x﹣3与C交于P，Q两点，求△APQ的面积．
【解答】解：（1）因为双曲线的焦距为，
所以2c，
解得，
因为双曲线离心率为，
所以，
解得a＝1，
则b2＝c2﹣a2＝4，
故双曲线C的方程为．
（2）由（1）知双曲线C的左顶点A（﹣1，0），点A到直线l：3x﹣y﹣3＝0的距离，
联立，消去y并整理得5x2﹣18x+13＝0，
解得x1＝1，，
所以．
则．
5．（2025 湖北校级模拟）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是W上的两点，线段PQ的中点为R．当直线PA的倾斜角为时，有|PF|＝|AF|．
（1）求双曲线W的离心率；
（2）若，求直线PQ的一般式方程；
（3）若A，P，Q三点不共线，且2|AR|＝|PQ|，求证：直线PQ过定点．
【解答】解：（1）设双曲线的半焦距为c，则c2＝b2+1，
当直线PA的倾斜角为时，有|PF|＝|AF|，则，
所以，即AF⊥PF，此时点P的横坐标为c，
代入W的方程，得y2＝b2c2﹣b2＝b2（c2﹣1）＝b4，故y＝±b2，即|PF|＝b2，
因|PF|＝|AF|，所以c+1＝b2，故c2＝c+2，解得c＝2，
故W的离心率为．
（2）由（1）知双曲线W的方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为P，Q是W上的两点，故，
两式相减得：，
若x1＝x2，则直线PQ的斜率不存在，
由双曲线的对称性可知，此时线段PQ的中点位于x轴，故不符合题意；
若x1≠x2，则，
因为是线段PQ的中点，所以x1+x2＝1，y1+y2＝3，
则，
所以直线PQ的方程为，即x﹣y+1＝0，
经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意，
则直线PQ的一般式方程为x﹣y+1＝0．
（3）证明：由A，P，Q三点不共线，故设直线PQ：x＝my+n，
联立，得（3m2﹣1）y2+6mny+3n2﹣3＝0，
Δ＝36m2n2﹣12（3m2﹣1）（n2﹣1）＞0，即3m2+n2﹣1＞0，
则，，
因为2|AR|＝|PQ|，且R是线段PQ的中点，则|AR|＝|PR|＝|QR|，
所以AP⊥AQ，则，
因，，
所以（my1+n+1）（my2+n+1）+y1y2＝0，
即，
即，
即（m2+1）（3n2﹣3）﹣6m2n（n+1）+（3m2﹣1）（n+1）2＝0，
得2n2﹣2n﹣4＝0，解得n＝2或n＝﹣1，
若n＝﹣1，则直线PQ：x＝my﹣1，过点A，不符合题意；
若n＝2，则直线PQ：x＝my+2，满足Δ＞0，则过定点（2，0），
则直线PQ过定点（2，0）．
6．（2025 重庆校级模拟）已知数列的前n项和为Sn，S3＝14，Sn+1＝2Sn+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
【解答】解：（1）因为Sn+1＝2Sn+2，
所以Sn+1+2＝2（Sn+2），
则，所以S1+2＝4，
所以{Sn+2}是首项为4，公比为2的等比数列．
所以，
所以，
当n≥2时，，
又n＝1时，，也满足上式，
所以；
（2）证明：因为，
所以①，
则②，
所以①﹣②得，
所以，
所以2．
7．（2025 和平区校级二模）已知向量，设函数f（x）．
（1）求f（x）在上的最值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）＝4，b＝1，△ABC的面积为，求a的值．
【解答】解：（1）∵
，
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，
又，
∴f（x）min＝4，f（x）max＝5；
（2）∵，
∴，
∵∈（），∴，则A，
∵，
∴c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝3，
∴a．
8．（2025 河北模拟）如图，几何体ABCA′B′C′中，四边形ACC′B′为矩形，四边形ABB′A′为等腰梯形，其中AA′∥分别为BB′和CC′的中点．
（1）证明：PQ∥平面ABC；
（2）若直线B′C与平面ABC所成角为60°，求平面BQB′与平面ABC夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：取AB的中点D，连接PD，CD，
又∵点P为BB′的中点，∴PD是△ABB′的中位线，
∴PQ∥AB′，，
又∵四边形ACC′B′为矩形，
∴AB′∥CC′，AB′＝CC′，∵Q为CC′的中点，
∴，
∴PD∥CQ，PD＝CQ，
∴四边形PDCQ为平行四边形，
∴PQ∥CD，又∵CD 平面ABC，PQ 平面ABC，
∴PQ∥平面ABC．
（2）∵四边形ABB′A′是底角为60°的等腰梯形，
∴∠A′AB＝∠AA′B′＝120°，
又∵，∴，
∴∠B′AB＝90°，∴B′A⊥AB，
∴，
又∵四边形ACC′B′为矩形，∴B′A⊥AC，
又∵AB∩AC＝A，AB，AC ∴B′A⊥平面ABC，∴B′A⊥平面ABC，
∴B′C与平面ABC所成角为∠B′CA＝60°，
∴，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC．
以A为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
∴，
则，
设平面BB′Q的一个法向量为，
则，则，即，
不妨设z＝1，得，
易得平面ABC的一个法向量为，
设平面BQB′与平面ABC的夹角为θ，
则，
∴平面BQB′与平面ABC夹角的余弦值为．
9．（2025 海珠区校级三模）已知直线x﹣y﹣1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且|AB|＝8．
（1）求p；
（2）M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点．若，求△MNF面积的最小值．
（3）若点P（﹣4，0），问x轴上是否存在点T，使得过点T的任一条直线与抛物线C交于点Q、R两点，且点T到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）因为直线x﹣y﹣1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，
∴y1+y2＝2p，y1y2＝﹣2p，
∴，
即p2+2p﹣8＝0，因为p＞0，
解得p＝2；
（2）由（1）得抛物线C：y2＝4x，
因为F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，
设直线MN：x＝my+n，M（x3，y3），N（x4，y4），
由，
可得y2﹣4my﹣4n＝0，
Δ＝16m2+16n＞0 m2+n＞0，
则y3+y4＝4m，y3y4＝﹣4n，
因为，
所以（x3﹣1）（x4﹣1）+y3y4＝0，
即（my3+n﹣1）（my4+n﹣1）+y3y4＝0，
即，
将y3+y4＝4m，y3y4＝﹣4n代入得，
4m2＝n2﹣6n+1，4（m2+n）＝（n﹣1）2＞0，
所以n≠1，且n2﹣6n+1≥0，
解得或，
设点F到直线MN的距离为d，则，
，
所以△MNF的面积，
而或，
所以当时，△MNF的面积，
（3）假设存在这样的点T满足条件，设为T（t，0），
因为点T到直线PQ、PR的距离相等，所以TP为∠QPR的角平分线，
则∠QPT＝∠TPR，可得kPQ+kPR＝0，显然直线QR的斜率不能为零，
故设直线QR的方程为x＝py+t，由，
联立得y2﹣4py﹣4t＝0，
设Q（x3，y3），R（x4，y4），
则有，
，
即y3（py4+t+4）+y4（py3+t+4）＝0，
整理得：2py3y4+（t+4）（y3+y4）＝0，
即2p（﹣4t）+（t+4）（4p）＝0，得﹣4pt+16p＝0，
即﹣4p（t﹣4）＝0对于任意的p∈R恒成立，所以t＝4，且此时满足Δ＞0，
所以存在点T（4，0）到直线PQ，PR的距离相等．
10．（2025 和平区校级二模）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若在（0，+∞）上单调递增，则称f（x）为“强增函数”．
（1）若f（x）＝x2﹣xlnx+a是“强增函数”，求a的取值范围；
（2）若f（x）为“强增函数”，且f（x）＜0．当0＜x＜1时，比较e﹣xf（x）与的大小，并说明理由；
（3）已知f（x）＝2ex﹣x2lnx﹣2，r＞0，s＞0，t＞0．证明：f（r+s+t）＞f（r）+f（s）+f（t）．
参考结论：当x→0时，x2lnx→0．
【解答】解：若在（0，+∞）上单调递增，则称f（x）为强增函数．
（1）若f（x）＝x2﹣xlnx+a是强增函数，
则在（0，+∞）上单调递增，
则0恒成立，故x2﹣x﹣a≥0，
根据二次函数的性质可得，，解得，
所以a的范围为{a|a}；
（2）由题意可知在（0，+∞）上单调递增，
因为0＜x＜1，故，
即，所以，
设，
所以m（x）在（0，1）上单调递减，
当0＜x＜1时，m（x）＞m（1）＝0，即，
所以，即．
（3）f′（x）＝2ex﹣2xlnx﹣x，
令h（x）＝2ex﹣2xlnx﹣x，则，
设p（x）＝lnx﹣x+1，
则当x＞1时，单调递减，当0＜x＜1时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，
故当p（x）≤p（1）＝0，故lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取等号，
设n（x）＝ex﹣x﹣1，n′（x）＝ex﹣1，
当x＞0，n′（x）＞0，n（x）单调递增，当x＜0，n′（x）＜0，n（x）单调递减，
所以n（x）≥n（0）＝0，故ex≥x+1，
所以，即h′（x）＞0，
所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
令F（x）＝f（x+t）﹣f（x）﹣f（t），t＞0，
则F′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），又f′（x）单调递增，所以F′（x）＞0，
则F（x）在（0，+∞）上单调递增，
又当x→0，x2lnx→0，所以x→0时，f（x）→0，F（x）→0，
所以F（x）＞0，即f（x+t）＞f（x）+f（t），
所以f（s+t）＞f（s）+f（t），
所以f（r+s+t）＞f（r）+f（s+t）＞f（r）+f（s）+f（t）．
11．（2025 历下区校级模拟）已知a∈R，函数f（x）＝aln（x+1）﹣2x﹣2，g（x）＝2x﹣ex+cosx．
（1）当a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：函数g（x）存在两个零点；
（3）当x＞﹣1时，不等式g（f（x））≤0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝aln（x+1）﹣2x﹣2的定义域为（﹣1，+∞），
，
当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）＝0，解得，
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表所示：
x
f′（x） + 0 ﹣
f（x） 单调递增 单调递减
综上，当a＜0时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由题意，g′（x）＝2﹣ex﹣sinx，
当x≤0时，sinx≤1，ex≤1，且等号不同时成立，则g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，0]上单调递增；
当x＞0时，﹣1≤cosx≤1，ex＞1，故﹣ex﹣cosx＜0，
设h（x）＝g′（x）＝2﹣ex﹣sinx，则h′（x）＝﹣ex﹣cosx＜0，
故函数g′（x）在（0，+∞）上单调递减，
又g′（0）＝1，g′（1）＝2﹣e1﹣sin1＜0，
故存在x0∈（0，1）使得g′（x0）＝0，
当0＜x＜x0时，g′（x）＞0，当x＞x0时，g′（x）＜0，
故函数g（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
又g（0）＝2×0﹣e0+cos0＝0，
g（x0）＞0，g（π）＝2π﹣eπ+cosπ＜2π﹣e3﹣1＜0，
存在x1∈（x0，π），使得g（x1）＝0，
故函数g（x）存在两个零点．
（3）设u＝f（x），y＝g（u），
由（2）可得函数y＝g（u）的图象如图所示：
当a＝0时，因为x＞﹣1，f（x）＝﹣2x﹣2＜﹣2×（﹣1）﹣2＝0，
则g（u）＜g（0）＝0，即g（f（x））≤0恒成立；
当a＜0时，函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减，
又f（0）＝﹣2＜0，当x→﹣1时，f（x）→+∞，
存在x2∈（﹣1，0），使得f（x2）＝0，
当x∈（﹣1，x2）时，u＝f（x）＞0，
故存在u∈（0，u1），使g（u）＞0，即g（f（x））＞0，与题设矛盾；
当a＞0时，函数u＝f（x）的极大值为，即，
当时，即当0＜a≤2e时，u≤0，
故g（u）≤0，即g（f（x））≤0恒成立，
当时，即a＞2e时，存在u∈（0，u1），
使g（u）＞0，即g（f（x））＞0，与题设矛盾．
综上，实数a的取值范围为[0，2e]．
12．（2025 德州模拟）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AD）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A＝“学生报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计P（A），P（B|A），
P（A|B）．
（1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？
性别 男生 女生 合计
未报名参加答题活动
报名参加答题活动
合计 100
（2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置m（m≥3）道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．
①求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望；
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为Pn（n∈N*），求Pn的最大值．
参考公式与数据：χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解答】解：（1）因为，所以报名参加答题活动人数为10045，
又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为，
报名参加答题活动的女生人数为45﹣30＝15，
又，所以样本中男生人数为，女生人数为50，
得到2×2列联表为：
性别 男生 女生 合计
未报名参加答题活动 20 35 55
报名参加答题活动 30 15 45
合计 50 50 100
零假设为H0：学生报名参加答题活动与性别无关，
则
依据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
（2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为1，2，3，…，m，
其中p（ξ＝i）（i＝1，2，3，…，m﹣1），
所以E（ξ）2...+（m﹣1），
所以E（ξ）2...+（m﹣1），
两式相减E（ξ），
所以
3﹣（m+3）．
②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为，
依题意可得，，
当n≥3时，则，
因为，且，
所以数列{Pn+1﹣Pn}是首项为，公比为的等比数列，
故，
又目，
所以数列是各项均为1的常数列，则，
所以，解得．
当n为奇数时，，，
当n为偶数时，（）n+1＜0，，
所以Pn的最大值在n为偶数时产生，
又当n为偶数时，随着n的增大而减小，
所以当n＝2时，Pn的最大值为．
13．（2025 天津一模）已知等差数列{an}满足a2+a5＝16，a4＝3a1，记数列{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列1，2，3，一阶“H拓展”得到数列1，3，2，5，3；二阶“H拓展”得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3；…设n阶“H拓展”得到数列1，x1，x2，…，xm，3（m∈N*），设bn＝1+x1+x2+…+xm+3，则b1＝1+3+2+5+3＝14，b2＝1+4+3+5+2+7+5+8+3＝38．
（i）求数列{bn}的通项公式；
（ii）设数列{cn}满足cn求数列{cn}的前2n项和T2n．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a2+a5＝16，a4＝3a1，
得，解得，则an＝2n+1；
（Ⅱ）（i）bn＝1+x1+x2+…+xm+3，
bn+1＝1+（1+x1）+x1+（x1+x2）+x2+（x2+x3）+...+（xm﹣1+xm）+xm+（xm+3）+3
＝3（1+x1+x2+…+xm+3）﹣1﹣3＝3bn﹣4，
∴bn+1﹣2＝3（bn﹣2），即，
又b1﹣2＝12，
∴数列{bn﹣2}是首项为12，公比为3的等比数列，
故，则；
（ii）当n为奇数时，，
记A＝c1+c3+...+c2n﹣1＝4[3×31+7×33+...+（4n﹣1）32n﹣1]，
9A＝4[3×33+7×35+...+（4n﹣5）32n﹣1+（4n﹣1） 32n+1]，
两式相减可得：﹣8A＝4[3×31+4×33+4×35+...+4×32n﹣1﹣（4n﹣1）32n+1]
＝4[9+4（4n﹣1）32n+1]，
化简得：﹣2A＝9（4n﹣1）32n+1，
得A；
当n为偶数时，，
记B＝c2+c4+...+c2n
．
故T2n＝A+B．
14．（2025 德州模拟）已知双曲线的焦距为4，点在Γ上．
（1）求Γ的方程；
（2）设过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A，B，过Γ的右焦点F2的直线交Γ的右支于点C，D，若以A，B，C，D为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线AB的方程．
【解答】解：（1）由双曲线Γ：的焦距为4，点（6，1）在Γ上，
可得2c＝4，所以c＝2，且，
又因为c2＝a2+b2，即a2+b2＝4，
联立方程组，
解得a2＝3，b2＝1，
所以Γ的方程为；
（2）由题意知，四边形ABCD为平行四边形，可得直线AB与CD平行，
当直线AB斜率不存在时，令x＝2，代入双曲线方程，可得，
此时四边形ABCD为矩形，面积为，不合题意；
当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y＝k（x+2），
则直线CD方程为y＝k（x﹣2），
直线AB和CD的距离，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，
整理可得（1﹣3k2）x2﹣12k2x﹣12k2﹣3＝0，
则Δ＝12（k2+1）＞0，且，，，
又由双曲线的渐近线的方程为，
要使得过Γ的左焦点F1的直线交T的左支于点A，B，可得，
则
，
所以，
化简可得7k4﹣8k2+1＝0，
解得，或k2＝1，
因为，所以k2＝1，解得k＝±1，
故直线AB的方程为y＝±（x+2），
即x﹣y+2＝0或x+y+2＝0．
15．（2025 湖北模拟）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱OO'中底面长轴AB＝A'B'＝4，短轴长，F1，F2为下底面椭圆的左右焦点，F2'为上底面椭圆的右焦点，AA'＝4，P为BB'上的中点，E为直线A'B'上的动点，MN为过点F2的下底面的一条动弦（不与AB重合）．
（1）求证：F1F2'∥平面PMN．
（2）若点Q是下底面椭圆上的动点，Q'是点Q在上底面的投影，且Q'F1，Q′F2与下底面所成的角分别为α，β，试求出tan（α+β）的最小值．
（3）求三棱锥E﹣PMN的体积的取值范围．
【解答】解：（1）由题设，长轴长|AB|＝|A′B′|＝4，短轴长，
则|OF1|＝|OF2|＝|O′F′2|＝1，
所以F2，F′2分别是OB，O′B′的中点，而柱体中ABB′A′为矩形，连接OB′，
由B′F′2∥OF1，|B′F′2|＝|OF1|＝1，
故四边形F1OB′F′2为平行四边形，则OB′∥F1F′2，
当P为BB′的中点时，则PF2∥OB′，故PF2∥F1F′2，
PF2 面PMN，F1F′2 面PMN，
故F1F′2∥平面PMN．
（2）由题设，令|QF1|＝m，|QF2|＝n，则m+n＝4，又|QQ′|＝4，
所以，，
则，
因为，
当且仅当m＝n，即tanα＝tanβ上式取等号，所以，
所以tan（α+β）的最小值为；
（3）由，
正方形ABB′A′中P为中点，易得E与A′重合时F2P与EP垂直，
此时，
则最大值为，
构建如上图空间直角坐标系且B（0，2），底面椭圆方程为，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
设MN：y＝tx+1，
联立，
得（3t2+4）x2+6tx﹣9＝0，且Δ＝144（t2+1）＞0，
所以，
而，
所以，
令，
则，
由对勾函数性质知在[1，+∞）上递增，故|x1﹣x2|∈（0，3]，
由，
综上，VE﹣PMN∈（0，5]．
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