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期末真题重组练习卷-2024-2025学年高中数学人教版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 道里区校级期末）若，则实数m＝（　　）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
2．（2024秋 锦州期末）已知A，B是相互独立事件，且，则P（AB）＝（　　）
A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28
3．（2021春 海原县校级期末）设复数z满足（1+i）z＝4i，则|z|＝（　　）
A． B． C．2 D．
4．（2024秋 嘉定区校级期末）已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
B．若l α，m α，l∥β，m∥β，则α∥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥β
D．若l∥m，m α，则l∥α
5．（2024秋 海口期末）已知O是平行四边形ABCD所在平面内一点，且AB＝2，AD＝1，则有（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 景德镇期末）如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝1，那么 OABC的面积为（　　）
A．4 B． C．8 D．
7．（2024秋 和平区期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AB上的点，且AMAB，平面MCD1将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为V1和V2（V1＜V2），则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 通州区期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知AB＝10cm，A1B1＝20cm，棱台的高为12cm，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（　　）
A．640元 B．440元 C．390元 D．347.5元
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 随州期末）下列命题正确的是（　　）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
（多选）10．（2024秋 江阳区校级期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（　　）
A．A与C互斥 B．B与C对立
C．A与B相互独立 D．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
（多选）11．（2024秋 许昌期末）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为棱BB1的中点，点Q满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列说法中正确的是（　　）
A．三棱锥A1﹣DQD1的体积为
B．若D1Q∥平面A1PD，则动点Q的轨迹长度为
C．至少存在一个Q点，使QD1⊥平面DA1P
D．若直线D1Q与平面BCC1B1所成角的正切值为2，则点Q轨迹的长度为
三．填空题（共3小题）
12．（2019秋 杨浦区校级期末）已知复数（a+3i）（1+2i）是纯虚数，则实数a的值为　 　 ．
13．（2024秋 上海校级期末）某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 　 　 ．
14．（2024秋 仁寿县校级期末）一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为　 　 cm．
四．解答题（共5小题）
15．（2023秋 武昌区期末）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且c（acosB﹣bsinA）＝a2﹣b2．
（1）求A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b+c．
16．（2024秋 丹东期末）甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束．已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响．
（1）求第一轮比赛未分出胜负的概率；
（2）求甲在第3轮比赛时获胜的概率．
17．（2024秋 南宁期末）已知平面向量．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若向量，若与共线，求．
18．（2024秋 鄂尔多斯期末）如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝2∠B，CD＝3AD＝3，BC，cosB．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求四边形ABCD的面积．
19．（2024秋 杭州校级期末）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，且AA1＝AB＝2，M为AD的中点，动点P满足，且x，y∈[0，1]．
（1）若时，求证：AP⊥BD1；
（2）若x＝y，E为A1M上一动点，且EP∥平面ABCD，求EP的最小值；
（3）若y＝2x（x≠0），点O为三棱锥P﹣MBD外接球的球心，求OP的取值范围．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高中数学人教版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A D D D A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD AC ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 道里区校级期末）若，则实数m＝（　　）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵||＝||，
∴2 2 ，
∴ 0，又（1，2），（m，3），
∴1×m+2×3＝0，解得m＝﹣6．
故选：B．
2．（2024秋 锦州期末）已知A，B是相互独立事件，且，则P（AB）＝（　　）
A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28
【解答】解：∵A，B是相互独立事件，且，
∴，
∴P（AB）＝P（A）P（B）＝0.3×0.6＝0.18．
故选：C．
3．（2021春 海原县校级期末）设复数z满足（1+i）z＝4i，则|z|＝（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：由（1+i）z＝4i，
得z2+2i，
则|z|2 ．
故选：D．
4．（2024秋 嘉定区校级期末）已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
B．若l α，m α，l∥β，m∥β，则α∥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥β
D．若l∥m，m α，则l∥α
【解答】解：对于A选项，由平行的传递性可知A选项成立；
对于B选项，直线l，m不一定相交，根据面面平行的判定定理易知面面平行不一定成立，错；
对于C选项，α与β也有可能相交，错；
对于D选项，直线l不一定在平面α外，也可能在面α内，故不成立，错．
故选：A．
5．（2024秋 海口期末）已知O是平行四边形ABCD所在平面内一点，且AB＝2，AD＝1，则有（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：对于A，当O为AB中点时，，此时不成立，故A项错误；
对于B，在平行四边形ABCD中，，
因为，所以，故B项错误；
对于C， （） （）12﹣22＝﹣3，故C项错误；
对于D，，故D项正确．
故选：D．
6．（2024秋 景德镇期末）如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝1，那么 OABC的面积为（　　）
A．4 B． C．8 D．
【解答】解：根据题意，直观图矩形O′A′B′C′的面积S′＝O′A′ O′C′＝4×1＝4，
则原图面积S＝2S′．
故选：D．
7．（2024秋 和平区期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AB上的点，且AMAB，平面MCD1将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为V1和V2（V1＜V2），则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取A1A的靠近A的四等分点，易得MN∥BA1∥CD1，
∴平面MCD1截正方体所得截面为等腰梯形D1CMN，
设正方体的棱长为4，
∴V114，
∴50，
∴．
故选：D．
8．（2024秋 通州区期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知AB＝10cm，A1B1＝20cm，棱台的高为12cm，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（　　）
A．640元 B．440元 C．390元 D．347.5元
【解答】解：因为正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，AB＝10cm，A1B1＝20cm，棱台的高为12cm，
则斜高cm，
所以195cm2，
所以4×195＝780cm2，
又，，
所以S表＝S侧+S上+S下＝1280cm2，
又因为每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，
所以总费用为1280×0.5＝640元．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 随州期末）下列命题正确的是（　　）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
【解答】解：对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
对于C，因为，都是单位向量，
所以当且仅当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确；
对于D，由向量相等的定义知，，，则成立，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2024秋 江阳区校级期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（　　）
A．A与C互斥 B．B与C对立
C．A与B相互独立 D．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，
“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C，
∴事件A＝{1，3，5}，事件B＝{1，2，3，4}，事件C＝{6}，
对于A，事件A，C没有公共元素，不可能同时发生，A与C互斥，A正确；
对于B，事件B，C可以同时不发生，如点数5，B与C不对立，B错误；
对于C，，
P（AB）＝P（A）P（B），A与B相互独立，C正确；
对于D，由选项C知，P（AB）≠0，则P（A∪B）≠P（A）+P（B），D错误．
故选：AC．
（多选）11．（2024秋 许昌期末）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为棱BB1的中点，点Q满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列说法中正确的是（　　）
A．三棱锥A1﹣DQD1的体积为
B．若D1Q∥平面A1PD，则动点Q的轨迹长度为
C．至少存在一个Q点，使QD1⊥平面DA1P
D．若直线D1Q与平面BCC1B1所成角的正切值为2，则点Q轨迹的长度为
【解答】解：若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为棱BB1的中点，点Q满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，
对于A，由题意可作图如下：
由点Q满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则点Q∈平面BCC1B1，
由平面BCC1B1∥平面AA1D1D，
则点Q到平面A1DD1的距离h＝1，
所以三棱锥A1﹣DQD1的体积，故A正确；
对于B，分别取BC，CC1，B1C1的中点为O，E，F，连接PO，DO，FE，D1F，D1E，如下图：
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，P，O分别为CC1，B1C1，BB1，BC的中点，
易知PO∥A1D，FE∥PO，D1F∥DO，
因为PO∥A1D，所以A1，P，O，D共面，即PO，DO 平面A1PD，
因为FF∥PO，PO 平面A1PD，EF 平面A1PD，
所以EF∥平面A1PD，
同理可得D1F∥平面A1PD，又因为D1F∩EF＝F，且D1F，EF 平面D1EF，
所以平面A1PD∥平面D1EF，由图可知平面A1PD∩平面D1EF＝EF，
由A可知Q∈平面BCC1B1，当Q∈EF时，D1Q 平面D1EF，
则D1Q∥平面A1PD，
所以EF为动点Q的轨迹，易知，故B正确；
对于C，由题意可作图如下：
设，以其为一组基底，
易知，
则，，，
，
假设D1Q⊥平面A1PD，
则，
则，
则，
解得，显然不符合题意，故C错误；
对于D，由题意作图如下：
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易知D1C1⊥平面BCC1B1，
则∠D1QC1为直线D1Q与平面BCC1B1所成角，
在Rt△D1C1Q中，，可得，解得，
所以Q的轨迹为以C1为圆心，以为半径的圆弧，可得其长度为.故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2019秋 杨浦区校级期末）已知复数（a+3i）（1+2i）是纯虚数，则实数a的值为　6　 ．
【解答】解：复数（a+3i）（1+2i）＝a﹣6+（3+2a）i是纯虚数，
则a﹣6＝0，3+2a≠0，解得a＝6．
故答案为：6．
13．（2024秋 上海校级期末）某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 　15　 ．
【解答】解：某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，
该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，
采取分层抽样，且按年级来分层，
由题意可知抽样比为：，
∴高一年级应抽取的人数是．
故答案为：15．
14．（2024秋 仁寿县校级期末）一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为　13　 cm．
【解答】解：由题意，∵圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，两底面圆心的连线长为12cm，
∴圆台的母线长为13cm．
故答案为13．
四．解答题（共5小题）
15．（2023秋 武昌区期末）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且c（acosB﹣bsinA）＝a2﹣b2．
（1）求A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b+c．
【解答】解：（1）由余弦定理及c（acosB﹣bsinA）＝a2﹣b2，得，
整理得，
因为A∈（0，π），
所以sinA＞0，
所以cosA＞0，
所以tanA＝1，即．
（2）因为a＝2，，△ABC的面积为2bcsinAbc，
所以bc＝4，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，
所以4＝b2+c2bc＝（b+c）2﹣2bcbc＝（b+c）2﹣88，
所以（b+c）2＝12+8，解得b+c＝22．
16．（2024秋 丹东期末）甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束．已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响．
（1）求第一轮比赛未分出胜负的概率；
（2）求甲在第3轮比赛时获胜的概率．
【解答】解：（1）根据题意，记事件Ai＝“甲第i轮投中”，Bi＝“乙第i轮投中”，i＝1，2，3，
第一轮比赛未分出胜负是甲乙同时命中或都未命中，即事件A1B1，
则要求概率；
（2）根据题意，甲在第3轮比赛时获胜，
则前两轮都是平局，第3轮投球甲命中，即事件，
则要求概率．
17．（2024秋 南宁期末）已知平面向量．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若向量，若与共线，求．
【解答】解：（1）已知平面向量．
因为，
所以，
则1×6+3x＝0，
解得x＝﹣2，
故，
则（2，6）﹣（18，﹣6）＝（﹣16，12）．
（2）因为，
所以x＝3×6＝18，
则，．
（3），，
若与共线，
则5×（3+x）＝7×（x+1），
解得x＝4，
即，
故．
18．（2024秋 鄂尔多斯期末）如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝2∠B，CD＝3AD＝3，BC，cosB．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）由，∠D＝2∠B，可得，
在△ACD中，．
所以在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB BCcosB＝12，
即AB2+6﹣2AB 12，整理得，解得（舍负）．
所以四边形ABCD的周长AB+BC+CD+DA．
（2）根据，B∈（0，），可得sinB，
所以S△ABCAB×BC×sinB．
由，D∈（0，π），可得，
所以S△ADCAD×DC×sinD，
可得四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ADC．
19．（2024秋 杭州校级期末）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，且AA1＝AB＝2，M为AD的中点，动点P满足，且x，y∈[0，1]．
（1）若时，求证：AP⊥BD1；
（2）若x＝y，E为A1M上一动点，且EP∥平面ABCD，求EP的最小值；
（3）若y＝2x（x≠0），点O为三棱锥P﹣MBD外接球的球心，求OP的取值范围．
【解答】解：（1）证明：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，且AA1＝AB＝2，
M为AD的中点，动点P满足xy，x，y∈[0，1]．
在底面菱形ABCD中，连接AC，
记AC∩BD＝O′，取B1D1的中点为Q，连接OQ，
由菱形ABCD的性质得AC⊥BD，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，知QO′⊥平面ABCD，
∵AC，BD 平面ABCD，∴O′Q⊥AC，O′Q⊥BD，∴O′A，O′B，O′Q两两垂直，
以O′为坐标原点，分别以O′A，O′B，O′Q所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
∵∠DAB＝60°，∴OBAB＝1，OAAB，
可得，
则，
∴，则，
由，则，即，
∵，∴，则AP⊥BD1．
（2）x＝y，E为A1M上一动点，且EP∥平面ABCD，由题意作图如下：
由图可知平面ABCD的一个法向量，
由，则AD的中点M的坐标为，
即，由E∈A1M，则（0≤λ≤1），
由（1）可知，由x＝y，则，
则，
由EP∥平面ABCD，则，解得x＝1﹣λ，
∴，
则由向量的模的性质得，
当时，等号成立，∴EP的最小值为．
（3）y＝2x（x≠0），点O为三棱锥P﹣MBD外接球的球心，由题意作图如下：
由（1）可得，由y＝2x（x≠0），则（0，﹣4x，2x），
设BP的中点为N，则（0，﹣2x，x），
在菱形ABCD中∠DAB＝60°，且M为AD中点，则BM⊥AD，
在三棱锥P﹣MBD中，底面Rt△MBD的外接圆圆心为BD的中点O′，
由题意知球心O为线段BP的中垂线与直线O′Q的交点，则设O（0，0，μ），
由B（0，1，0），则，（0，1﹣2x，x﹣μ），
由题意知0，可得﹣4x+8x2+2x2﹣2xμ＝0，解得μ＝2﹣5x，
由x∈（0，1]，y∈（0，1]，则x∈（0，]，即μ∈（，2]，
∴OP＝||∈[1，），
∴OP的取值范围是[1，）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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