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2024-2025学年度第二学期广东省深圳市龙岗区八年级期末数学模拟试卷
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，
其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 下列各项变形，是因式分解的是（ ）
A. a（a﹣2）＝a2﹣2a B. a2+4a﹣5＝（a+5）（a﹣1）
C. y2﹣1＝y（y﹣） D. am+bm+c＝m（a+b）+c
如图，将绕点A逆时针旋转至，此时边过点C，于点O，
若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，的平分线交边于点E，
则的长是（ ）

A．5 B．7 C．3.5 D．3
5. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象交于点，甲乙两位同学给出的下列结论：
甲说：关于的不等式的解集为；乙说：当时，；
其中正确的结论有（ ）
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．乙正确，甲错误 D．甲乙都错误
如图，中，，，，，分别为，的中点，
为上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
7. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，
A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．
A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，
若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 分解因式：= ．
10．化简分式：的结果是 ．
11. 如图，□ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD交AD点E、F，
已知AB＝3，AD＝5，则EF的长为 ；
12．定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定，如．
若，则x的值为 ．
13. 如图，平面直角坐标系，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；
把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；
把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；
把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；
按此做法进行下去，则点的坐标为_________
解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，
第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14.把下列各式因式分解
(1)；
(2)．
15．解不等式组，并写出它的所有整数解．
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，
在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

(1)将向右平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______；
(4)以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点是轴上一点，则点的坐标是_____．
17.化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式……
解：原式……
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．
根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，
节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．
根据以上信息，解答下列问题：
该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，
并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，
那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
19.（一）猜测探究
在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，
连接．
（1）如图1，当点在边上运动时，线段和的关系是______；
（2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，交于点，
连接，若，，求线段的长．
已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．
将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处．
求的长及点A，点B的坐标；
(2) 求的长度；
(3) 点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标；
(4) 取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，
如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
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2024-2025学年度第二学期广东省深圳市龙岗区八年级期末数学模拟试卷解答
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，
其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列各项变形，是因式分解的是（ ）
A. a（a﹣2）＝a2﹣2a B. a2+4a﹣5＝（a+5）（a﹣1）
C. y2﹣1＝y（y﹣） D. am+bm+c＝m（a+b）+c
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的概念以及方法对选项逐个判断即可．
【详解】解：A．从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式右边不是整式的积的形式，即从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
如图，将绕点A逆时针旋转至，此时边过点C，于点O，
若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，得到，根据旋转的性质，得，计算，计算即可，本题考查了旋转的性质，直角三角形的特征，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
根据旋转的性质，得，
∴，
∴，
故选C．
如图，在中，，，的平分线交边于点E，
则的长是（ ）

A．5 B．7 C．3.5 D．3
【答案】D
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可．
【详解】解: ∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵的平分线交边于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象交于点，甲乙两位同学给出的下列结论：
甲说：关于的不等式的解集为；乙说：当时，；
其中正确的结论有（ ）
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．乙正确，甲错误 D．甲乙都错误
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式的解与两条直线的交点的关系，不等式的解集与坐标轴的交点的关系，解题的关键在于数形结合．根据不等式的解集与两条直线的交点的关系，以及坐标轴的交点的关系作出判断即可．
【详解】解：函数与轴交于点，
关于的不等式的解集为，
即甲正确；
函数和的图象交于点，
当时，；
即乙错误；
故选：B．
如图，中，，，，，分别为，的中点，
为上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
在中，，，
则由勾股定理得：，
∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故选：．
7. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，
A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．
A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克．
故选：D．
如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，
若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
【答案】B
【详解】解：设AG与BF交点为O，
∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，
∴∠BAO=∠FAO，
∴△ABO≌△AFO（SAS），
∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90 ，
∵AB=5，
∴，
∵AF∥BE，
∴∠FAO=∠BOE，
又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴AO=EO，
∴AE=2AO=8，
故选B．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 分解因式：= ．
【答案】a（b+1）（b﹣1）
【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
10．化简分式：的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的加减，先把第二个分式化简，然后利用同分母分式的加法运算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
11. 如图，□ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD交AD点E、F，
已知AB＝3，AD＝5，则EF的长为 ；
【答案】1
【分析】先证∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝CD＝3，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
同理可证：DF＝CD＝3，
∴EF＝AE＋FD AD＝3＋3 5＝1．
故答案为：1．
12．定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定，如．
若，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
经检验，是的解．
故答案为：
13. 如图，平面直角坐标系，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；
把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；
把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；
把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；
按此做法进行下去，则点的坐标为_________
【答案】
【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可．
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；
把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；
把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；
把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，
再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，
到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，
到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，
到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，
∴点的坐标为，
∵，
∴点的坐标为，
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14.把下列各式因式分解
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法．
（1）先提公因式，利用平方差公式进行因式分解，解题得到答案．
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可得到答案．
【详解】（1）
（2）
.
15．解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】不等式组的解集是， 不等式组的整数解是
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解．
【详解】
由①得：得
由②得：得，
所以不等式组的解集是：，
则不等式组的整数解是：．
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，
在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

(1)将向右平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______；
(4)以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点是轴上一点，则点的坐标是_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查了作图—旋转变换、作图—平移变换，平行四边形的判定，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的性质．
（1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可；
（3）作出旋转中心，即可得出答案；
（4）根据题目要求以及平行四边形的判定作出点即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，即为所求，
；
（3）解：如图：
，
旋转中心的坐标为；
（4）解：如图：
，
点的坐标为．
17.化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式……
解：原式……
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③
(2)见解析
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
（2）解：甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
原式
．
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．
根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，
节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．
根据以上信息，解答下列问题：
该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，
并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，
那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
19.（一）猜测探究
在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，
连接．
（1）如图1，当点在边上运动时，线段和的关系是______；
（2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，交于点，
连接，若，，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）不成立，理由见解析；
（3）10
【分析】本题考查了图形的旋转，三角形全等，等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
（1）通过证明，得到，即可证得；
（2）通过证明，得到，即可证得；
（3）在上取一点，使，证明，证得是等边三角形，，由此，即可求解；
【详解】解：（1）
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，，
，，
，
又 ，，
，
，
又 ，，
．
（2）不成立，应为
由题意得，
是等边三角形
，即
又是等边三角形
，
即．
（3）在上取一点，使，
由题意得，，
由题意得，
，
是等边三角形，
，
即线段的长为10．
已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．
将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处．
(1)求的长及点A，点B的坐标；
(2)求的长度；
(3)点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标；
(4)取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）首先由直线，计算即可得出点A，B的坐标；；将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，则，即可求解；
（2）设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案；
（3）当为直角边时，证明，则，，即可求解；当为直角边时， 同理可解；
（4）求得，，设，，分当是对角线、是对角线、是对角线时，利用中点坐标公式即可求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：对于直线，令，则，
令，则，
∴；
由勾股定理得，，
∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴；
（3）解：当为直角边时，如下图：过点N作轴于点M，连接，
∵为等腰直角三角形，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
点；
如图，当为直角边时，
同理可得：点；
综上，或；
（4）解：∵M是的中点，
∴，
∵，
∴，
设，，
当是对角线时，则有，
解得，，
∴；
当是对角线时，则有，
解得，，
∴；
当是对角线时，则有，
解得，，
∴；
综上，点Q的坐标为或或．
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