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江西省丰城中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（创新班）
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．点绕原点按逆时针方向旋转到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和，则（ ）
A．191 B．192 C．193 D．194
4．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，则（ ）
A． B．31 C． D．32
6．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（ ）
A． B．
C．轴 D．若，则
二、多选题
9．已知函数图象的对称中心也是函数图象的对称中心，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
10．小王经过调查获得如下数据：
2 4 7 17 30
1 2 3 4 5
参考公式：相关系数，，．
下列说法正确的有（ ）
A．该数据组的线性回归方程（系数精确到0.01）为
B．该数据组的相关系数，很接近1说明该数据组拟合效果很好
C．所有数据点中残差最小的是
D．去掉数据点后，回归直线会向下移动
11．已知双曲线：，其上、下焦点分别为，，为坐标原点．过双曲线上一点作直线，分别与双曲线的渐近线交于，两点，且点为中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若轴，则．
B．若点的坐标为，则直线的斜率为
C．直线的方程为．
D．若双曲线的离心率为，则三角形的面积为2．
三、填空题
12．若的展开式中的常数项为，则 .
13．已知是第三象限角，，则 .
14．甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为 ．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)已知，当角取最大值时，求的面积.
16．某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生是否同意“三项体育活动中要有篮球”，学校随机调查了名学生，数据如表：
男生 女生 合计
同意
不同意
合计
(1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关
(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择．若甲、乙两学生从三项运动中随机选一种（他们的选择相互独立）．若在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件是否独立，并说明理由．
(3)经观察，该校学生每分钟跳绳个数，由往年经验，训练后每人每分钟跳绳个数比开始时增加个，该校有名学生，预估经过训练后每分钟跳个以上人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中；
若，则，，．
17．2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值.
18．如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）.
(1)求图2中的长度；
(2)求图2中直线与所成角的余弦值；
(3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由.
19．已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的最大值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若和点共线，求.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A B C B C BD ACD
题号 11
答案 ACD
1．A
利用交集概念进行求解.
【详解】.
故选：A
2．B
根据给定条件，利用三角函数的定义，结合诱导公式求解.
【详解】以原点为角的顶点，轴的非负半轴为角的始边，令角的终边过点，
则角的终边过点，且，
于是，，
，
所以点的坐标为.
故选：B
3．C
根据给定条件，利用的关系列式计算即得.
【详解】因为，则，
故选：C
4．A
先化简，再得到平移后的解析式，即可得到，，逐个检验即可得出答案.
【详解】因为，
将函数的图象向左平移个单位后得到函数，
所以，则，，
，，当时，，时，，
故选：A.
5．B
利用赋值法求解即可.
【详解】解：令，得 ，即 ，
令，得 ，
即 ，
所以 .
故选：B.
6．C
设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率.
【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，
则，，
所以.
故选：C.
7．B
取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时， 平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，，，
在正方体中，可得且，
因为，分别是棱的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可证：平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，
因为正方体的边长为，可得，，
在中，可得，且，
则，所以的最小值为.
故选：B.
8．C
设，,的直线方程，求出,进而求出，判断选项A,B,求出直线方程，表达出,判断选项C,再根据,求出的值，判断选项D.
【详解】设，,的直线方程，
因为线段的中点分别为,
所以，
根据中位线性质，则，，
由抛物线的定义可得，，，故A,B错误；
设直线方程：，
联立可得，，则，
故，
同理可得
又,则
故，故
则，故轴,故C正确；

由,则，
则，再由，故
则或（舍去），故
故，则，故D错误.
故选：C.
9．BD
先求出函数图象的对称中心，再分别分析各选项中函数的对称中心，结合对称中心性质，分析判断即可.
【详解】令，则.解得.
所以图象的对称中心为.
根据周期公式，则.
对于选项A，已知的周期为，中，其周期.因为两函数周期不同，所以A不符合题意.
对于选项B，令，对于，将代入可得：
，所以，满足对称中心的性质，B符合题意.
对于选项C，对于，因为的图象是将的图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方得到的，无对称中心，C不符合题意.
对于选项D，令，解得，这与的对称中心横坐标表达式相同，D符合题意.
故选：BD.
10．ACD
根据给出的相关系数公式，以及回归直线斜率和截距的最小二乘法公式求出线性回归方程，结合残差的定义逐项分析判断.
【详解】对于A，，，
，
，
所以，，
所以该数据组的线性回归方程为，故A正确；
对于B，由，
则，很接近1说明两个变量相关性越强，与拟合效果无关，故B错误；
对于C，由残差绝对值，结合A项的回归方程可得，
，，，
，，所有数据点中残差最小的是，故C正确；
对于D，，故点在回归直线上方，故去掉该点后，回归直线下移，故D正确．
故选：ACD．
11．ACD
利用双曲线基本性质，点差法及三角形面积的表示，即可得到结果.
【详解】若轴，则直线过双曲线的顶点，，
双曲线的渐近线方程为，易得，两点的横坐标为 ，
∴，即A正确；
若点的坐标为，则，
易得双曲线渐近线方程为，设，
利用点差法：，
两式作差可得，，即
∴，即B错误；
若，利用点差法同样可得，
∴直线的方程为
即，
∴，故C正确；
若双曲线的离心率为，则双曲线方程为，
∴渐近线方程为，设，
∴ ，
联立方程 可得 ，
同理可得，
∴，
故D正确，
故选：ACD
12．1
【详解】法1：因为的展开式的通项，
令，解得，所以常数项为，解得.
法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取，
其余3个取，即常数项为，由，解得.
故答案为：.
13．
【详解】法1：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则.
法2：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则，所以
14．/3.25
【详解】设“甲获胜”为事件，“乙获胜”为事件，
每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得的所有可能取值为，则，
，
，
所以的分布列为
2 4 5
所以的期望
，
因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，
所以，故的最大值为．
故答案为：．
15．(1)证明见解析
(2)
（1）根据同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式结合正弦定理、余弦定理，即可证明结论.
（2）根据余弦定理结合基本不等式可得角的最大值，即可求出三角形面积.
【详解】（1）∵，∴，
∴，即，
∴，
由得，，
由正弦定理及余弦定理得，，
∴.
（2）由余弦定理得，，
当且仅当时取等号，此时取最大值，为等边三角形.
由得，.
∴的面积为.
16．(1)有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关
(2)独立，理由见解析
(3)约人
（1）计算出卡方，即可判断；
（2）求出，，即可得到，从而得到，即可判断；
（3）由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，根据正态分布的性质求出，从而估计出人数.
【详解】（1）提出零假设：学生对该问题的态度与性别无关．
根据列联表中的数据可求得，．
因为当成立时，的概率约为，
所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关．
（2）事件、独立．理由如下：
因为，，
所以，
所以，即事件、独立．
（3）记经过训练后每人每分钟跳绳个数为，
由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，
即，因为，
所以，
所以（人）．
所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为．
17．(1)2
(2)
(3)或
（1）先求出求出抽取的9人中的优秀人数和非优秀人数，接着确定随机变量取值，并求出各取值对应的概率即可分布列，再由期望公式即可计算期望值；
（2）记事件A：成绩优秀的学生，事件：甲学校的学生，依次求出，和，再由全概率公式即可计算求解.
（3）法一：根据已知列不等式组即可求解；法二：令，计算，由和即可计算求解.
【详解】（1）由直方图，占6人，占3人，
则成绩优秀的学生人数可取，，，，
所以，，
，，
所以分布列为
0 1 2 3
则期望.
（2）记事件A：成绩优秀的学生，事件：甲学校的学生，
由已知条件可知，，，
所以.
（3）解法一：
解法二：记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为，由题意可知，，
所以，令，则，
令，则，所以时，，
令，则，所以时，，
令，则，所以，
所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
18．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
（1）由正弦定理得到，再由面积公式得到，进而可求解；
（2）建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可；
（3）求得四面体表面积，设四面体内切球的半径为，结合则四面体的体积，求解即可.
【详解】（1）图中，因为，，所以，
设，则，
在中，由正弦定理，得，
即，所以.
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，
此时，所以的长度为.
（2）如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设直线与所成的角为，
则，
所以直线与所成角的余弦值为.
（3）由（2）知，，
，，
所以，，
，
所以四面体的表面积为
设四面体内切球的半径为，
则四面体的体积，
解得，因为，所以，
所以在线段上不存在点，使得四面体内切球的半径为.
19．(1)
(2)
(3)1
（1）根据椭圆的离心率公式可求得的值，即可求得的值，由此能求出椭圆方程；
（2）当时，设直线的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得的最大值；
（3）求得直线的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理可求出点坐标，同理求得点坐标，即可求得与，根据向量的共线定理，即可求得直线的斜率.
【详解】（1） 椭圆 的离心率为 ，焦距为，
解得椭圆的标准方程为；
（2）斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，
设直线的方程为，
联立，整理得，
，整理得，
，
当时，取最大值，最大值为；
（3）
设直线的斜率，直线的方程为，
联立 ，
消去整理得，
由，代入上式整理得，
，所以，则，
则，同理可得，
由，则，
，由与共线，
则，
整理得，则直线的斜率，
的值为1 .

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