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湖南师大附中2025届模拟试卷（三）
数
学
命题：
审题：高三数学备课组
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
图
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的
1.设集合A={0,1,2,3},B={x2x<4},则A∩B的元素个数为
A.2
B.3
C.4
D.1
2.在复平面内，复数白对应的点与复数4=己京对应的点关于实轴对称，则等于
A.1+i
B.-1-i
C.-1+i
D.1-i
3.在四边形ABCD中，若AC=AB+AD,则“AC⊥Bi”是“四边形ABCD是菱形”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
洲
4.将函数f(z)=sin(wz十)(w>o)的图象向左平移个单位关于y轴对称，则w的值可以为
A号
B.1
C.2
D.5
5.二项式（-x)
的展开式中第5项的系数为
A.252
B.-252
C.210
D.-210
6.已知P是直线l:x十y一2=0上的任意一点，若过点P作圆O:x2十y2=1的两条切线，切，点分
别记为A,B,则弦长AB的最小值为
A.2
B.5
C.√2
D.1
7.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P(x,%,o),且以向量m=(a,b,c)(abc≠0)为方向
向量，则这条直线可以用方程。==。来表示。已知直线1的方程为士-y=
一x十1，则点Q(2,4,一4)到直线l的距离为
A号
B婴
c9
n29
8.若函数f(x)=|e一a一alnx≥0，则实数a的取值范围是
A.（-∞，0]
B.[0,e)
C.[0,e]
D.[0,+∞)
数学试题（附中版）
第1页（共4页）
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设定点F,(0,一2)，F2(0,2),动点P满足|PF1|+|PF2=a十4(a>0),则点P的轨迹可能是
A.圆
B.线段
C.椭圆
D.直线
10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a+1=Sn十1，(bn}为等差数列，且b2=a2,b=a4,记集
合An={x∈N到b≤x≤an}中元素的个数为cm,则下列结论正确的是
A.a1=1
B.S4=16
C.bn=n
D.cn=2m-1-n+1
11.已知正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，M为侧面ADD1A1内（含边界）的一个动点，P,Q
分别是线段CC;BC的中点，则下列结论正确的是
A.不存在点M,使得B1M⊥平面A,BP
B.若QM∥平面CBD,则点M的轨迹长度为√2
C.若M为侧面ADD1A,的中心，则四棱锥M-BCC,B,的外接球的表面积为9π
D.当MB1⊥BP时，三棱锥B1AMQ的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若cos(d计f}斤是，a∈(0，}，则cosa
13.已知函数f(x)=(x一a)1n十色的图象关于直线x=2对称，则a十b=
14.设n是给定的正整数(n>2),现有n个外表相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区
别的小球，第(k=1,2,3,…,n)个袋中有个红球，n一k个白球.现将这些袋子混合后，任选
其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回）.则第三次取出白球的概率
为
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（本小题满分13分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=2,b=1,△ABC的面积为2a(asin A
-csin C-bsin B).
(1)求∠BAC
(②)若D为BC上一点，满足AD-号，且∠ADC为能角，求△ADC的面积
数学试题（附中版）第2页（共1页）湖南师大附中2025届模拟试卷（三）
数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
答案AC DBC CB C BC
ACD BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A【解析】因为B={x2<4}={xx<2),A={0,1,2,3},所以A∩B={0,1}.故选A
2.C
3+i-（-3+iD1+2跑=-5-5i=-1-i,所以=-1十i故选C
【解析】因为=1二2=(1一20(1十2)
5
3.D【解析】在四边形ACD中，若AC=A方十A方，则四边形ABD为平行四边形，若AC⊥B方，则平行四边形ABCD为菱形，故
“AC⊥BD”是“四边形ABCD是菱形"的充要条件.故进D.
4B【解析】函教f代r)=sin(ar十子)(w>0)的图象向左平移晋个单位得到的函教为：y=sin(oux+百a十哥)，故吾w十牙=受
十kπ(k∈Z),所以w=1十6k(k∈Z),又w0,所以u可以取1.故选B.
5C【解析]注意到，所求二项式晨开式的通项公式工1-CG(付)”(-2y=G(-1yx,当，=4时，系数为210，故造C
6.C【解析】圆心O到直线l的距离为d=√2，在直角三角形OAP中，OA=1,OP2,所以sin∠APO
-80号所以∠AOK子：∠APB-2∠AP0<晋，因为0ALAP,0BLB即，所以∠APB与
∠AOB互补，所以当∠APB=音时，长AB最小，此时∠AOB=7,弦长AB=√2，故迭C.
7.B【解析】由题意直线1的方向向量m-(2,1,一1)，直线经过点P(-1,0,1),P-(3,4,-5),则
|P612=32+4+52=50,P0·m=6+4+5=15,m=√6，所以点Q(2,4,6)到直线1的距离为d=
√-(：y-√0(gT-59选B
8.C【解析】当a<0时，f(x)=e-a一alnx是增函效，当x→0时，f(x)→-o∞，舍去.当a=0时，f(x)=e>0,满足要求.当a>
0,x∈(0,1]时，f(x)=|c-a|-alnx≥0，故只常x∈(l,十∞)时，f(x)=c-a|-alnx≥0恤成立.若a>e,则f(1na)=
一aln(na)<0,故不合要求；若0f()
=e一a0,函数f(x)单调逆增，则f(x)>f(1)=e一a0,故0ae满足题意，又a=0也满足要求，因此a∈[0，e].故选C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得
部分分，有选错的得0分，
9比【懈折1由题意知5：=4，因为a>0,可得PF十PF:=a+>≥2Va·日=4，当且仅当a=日，即a=2时等号成
立.当a十4=4时，可得IPF十PF1=F,F2,此时点P的轨证是线段F,E;当a十4>4时，可得1PF,+1PF,>
FF:|,此时，点P的轨远是楠园.故选PC
10.ACD【解析】设等比数列{a.}的公比为q,由aw+1=Sn十1，得a,=S-1+1(n≥2)，两式相减得aw+1一a,=S,-S-1=ae,即a+1
=2a所以g-2,又a=S十1=a十1c=2a,解得a=1,且a=7,A正确S号-2-1.S=2-1=15,B不正确
设等差数列{}的公差为d,由b=ag=2,s=a4=8,得6d=一b=6,解得d=1,所以6，=b十(n一2)d=n,C正骑；由A=
{x∈N”k≤≤≤a},得An={x∈N21},则集合An中元素的个数为2"-1一n十1，即，=21一n十1，D正确.故选A(CID.
11,B以D【解析】对于A,点M为AD中点时，满足题意：故A错误；对于B,若QM∥平面CBD,点M
D
的轨迹为DD,AD1的中点的连线段，长度为v2,故B正确；对于C,若M为侧面ADD1A,的中
心，则四棱锥M-BCC1B为正四棱锥，底面外接圆半径为W2,高为2，设外接球的半径为R,则RA
=(2一R)2十(w2)2,解得2R=3,所以外接球的表面积为9π，故C正确：对于D,取AD的中点H,
连接AH,HQ,在正方形BCCB中，点P,Q分别是线段CC1,BC的中点，易得BQ⊥BP,易知
A1B⊥BP,A1B:∩BQ-B,A:B,B:QC平而A1BQH,所以BP⊥平面A1B:QH,图为点M为
训面ADD:A1内的一个动点（含边界），且MB⊥BP,侧面AADD∩平而A,B1QH=A1H,所以
点M的轨迹为线段A,H,易知A:H∥B,Q.又BQC平面AQB,AH使平面AQB,所以AH∥
平面AQB,所以点M到平面AQB1的距离为定值，又△AQB的面积为定值，所以三棱雏
M-AQB1的体积为定值，即三棱锥B,-AMQ的体积为定值，所以D正确.故选BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12【解折】因为e∈(0，受），所以a+子∈（停，），所以sm(e+）=√1-需=台，所以os。=os(。+-哥)
10
号(+号)得
数学参考答案（附中版）一1

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