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2024-2025学年四年级数学下册题型专练「人教版」
第一单元四则运算·应用篇【十二大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第一单元四则运算·应用篇
专题内容 本专题以四则混合运算应用题为主，其中包括归一归总问题、倍数问题、行程问题、经济问题、优化问题等多种典型问题。
总体评价
讲解建议 本专题考察多以应用题型为主，题目综合性较强，建议作为本章核心内容进行讲解。
考点数量 十二个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】多个量之间的加减法应用题 4
【考点二】无括号的混合运算应用题 5
【考点三】有括号的混合运算应用题 6
【考点四】归一问题 8
【考点五】归总问题 9
【考点六】倍数问题 10
【典型例题1】普通倍数问题 10
【典型例题2】和差倍问题 11
【考点七】行程问题 12
【典型例题1】普通行程问题 12
【典型例题2】相遇问题 13
【典型例题3】追及问题 15
【考点八】经济与促销问题（买几送几） 16
【考点九】购买与省钱问题 18
【考点十】方案与选择问题 19
【考点十一】租船与租车问题 21
【考点十二】倒推法（还原法）解决还原问题 23
【第三篇】典型例题篇
【考点一】多个量之间的加减法应用题。
【方法点拨】
利用加减法数量关系解决问题，该类应用题比较简单，关键在于理解题目的数量关系。
【典型例题】
1．（加法）文具店购进一批练习本，卖出370本，剩下630本。文具店一共购进多少练习本？（用什么方法计算？为什么？）
2．（减法）滑雪场全天一共卖出145张门票，其中上午卖出86张门票，下午卖出多少张门票？（用什么方法计算？为什么？）
【对应练习1】
一台电视机的售价是1850元，一台冰箱的售价比一台电视机多1357元，一台空调比一台冰箱便宜80元。一台空调的售价是多少钱？
【对应练习2】
全球有许多著名的摩天大楼，其中，上海环球金融中心高达492米，比上海中心大厦矮140米，迪拜的哈利法塔比上海中心大厦高196米。迪拜的哈利法塔有多高？
【对应练习3】
一捆铁丝第一次用去358米，第二次又用去250米，余下的比第二次用去的长142米。这捆铁丝原来全长多少米？
【考点二】无括号的混合运算应用题。
【方法点拨】
分析已知条件，列出综合算式。
【典型例题】
1．（乘法）学校准备给四年级16个班发练习本，每个班103本，另外还要送70本给三年级的同学，学校应该买多少本练习本？
2．（除法）修路属于民生工程，交通便利了，经济才能更好更快地发展。修一条长600米的公路，甲、乙两个工程队合作3天共修了480米。已知甲工程队平均每天修85米，那么乙工程队平均每天修多少米？
【对应练习1】
王大伯家今年种的土豆丰收了，他用三轮车运了6车，还剩50千克没运完，平均每车运170千克，王大伯家今年收获土豆多少千克？
【对应练习2】
3件上衣450元，1条长裤比1件上衣便宜12元，1条裙子又比1条长裤贵8元。1条裙子多少钱？（列综合算式计算）
【对应练习3】
小芳根据一幅主题图找到了下面一些信息：
①张老师买了5副羽毛球拍，共花了480元。 ②又买了25筒羽毛球，每筒12个。 ③每筒羽毛球32元。 ④营业员找给他20元。
（1）小芳选择其中的一些信息列出了算式“25×32＋480”，小芳解决的问题是____________。
（2）请你根据上面的信息再提出一个用综合算式解决的数学问题，并解答。
【考点三】有括号的混合运算应用题。
【方法点拨】
分析已知条件，列出综合算式。
【典型例题】
《西游记》是一部中国古典神话小说，为中国“四大名著”之一。《西游记》共213页，米珂已经读了6天，每天读16页，剩下的准备9天读完，剩下的平均每天需要读多少页？
【对应练习1】
为庆祝“六一”儿童节，学校买来20支钢笔和15个文具盒奖励红花少年，一共花去270元。已知每支钢笔9元，每个文具盒多少元？
【对应练习2】
体育用品店里，一个篮球58元，一个足球46元，一副羽毛球拍35元，妈妈给小明的钱刚好能买1个足球和2副羽毛球拍，如果用这些钱来买篮球，可以买得几个篮球？
【对应练习3】
一本书共375页，星期一、二、三这3天每天看41页，如果想在这个星期看完（一周按照7天算），剩余时间平均每天要看多少页？
【考点四】归一问题。
【方法点拨】
1. 定义。
复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果，这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。
2. 解题步骤。
（1）求单一量：总量÷份数= 1份数量；
（2）根据问题用乘法或除法计算最终结果。
【典型例题】
欢欢借来一本272页的书，5天读了80页，照这样计算，剩下的要几天读完？
【对应练习1】
小华利用暑假看一本经典名著《红楼梦》，3天看了42页，照这样的速度，小华要看完这本308页的《红楼梦》还需要多少天？
【对应练习2】
4人包了84个包子，照这样计算，再增加3人，一共能包多少个包子？
【对应练习3】
某工艺品厂，6人做了132件工艺品，照这样计算，再增加4人，一共能做多少工艺品？
【考点五】归总问题。
【方法点拨】
1. 定义。
复合应用题中的某些问题，在找出隐含的条件和问题后，需要先求"总量"，再对总量进行重新分配，这样的问题就叫做归总问题。
2. 解题步骤。
（1）求总量：原单一量×原份数=总量；
（2）用总量÷新条件=所求结果。
【典型例题】
毛衣厂加工一批毛衣，若每天加工90件，12天可以完成。实际每天比原来多加工18件，实际用几天完成？
【对应练习1】
修路队修一条路，原计划每天修80米，15天完成任务，实际前3天就修好了360米，照这样计算，剩下的还需要多少天才能修完这条公路？
【对应练习2】
李正阳读一本《童话故事》，如果每天读15页，那么40天才能读完。如果想提前10天看完，那么平均每天要多看多少页？（列综合算式）。
【对应练习3】
学校体育运动会上，四年级学生进行韵律操表演。如果每排站12人，正好站20排；如果每排多站3人，可以站成多少排？
【考点六】倍数问题。
【方法点拨】
混合运算应用题中的倍数问题是在基础的倍数关系上混合了加减乘除运算关系，题目难度不大，注意理解所求的问题是什么。
【典型例题1】普通倍数问题。
合力超市上午运进菠萝180千克，沃尔玛超市运进的菠萝比合力超市的2倍还多40千克。这两家超市一共运进菠萝多少千克？
【对应练习1】
一把椅子售价35元，一张桌子的售价比一把椅子的2倍还多20元。买一套桌椅需多少元？
【对应练习2】
自开展“三年增绿”工程，在公路两旁种植树木的面积为28公顷，种植草皮的面积比种植树木面积的3倍少16公顷，种植草皮的面积是多少公顷？
【对应练习3】
学校组织三、四、五年级学生参加夏令营。三年级去了28人，四年级去的人数是三年级的3倍，五年级的人数比三年级和四年级的总人数少3人。学校一共组织多少人参加夏令营？
【典型例题2】和差倍问题。
1．（和倍问题）甲桶有142千克油，乙桶有215千克油。要使乙桶中油的质量是甲桶中油的质量的16倍，应将甲桶中的油倒入乙桶多少千克？
2．（差倍问题）胜利小学开展体育比赛，参加跳绳的人数是打球的4倍，比打球的多72人。参加跳绳和打球的各有多少人？（先画图表示题意，再解答）
3．（和差问题）一张课桌比一把椅子贵22元，买一套桌椅一共要114元，课桌和椅子各要多少元？
【对应练习1】
某村原有水田220万平方米，旱地92万平方米，现在计划把部分旱地改造为水田，使水田面积是旱地的12倍，需要将多少万平方米旱地改为水田？
【对应练习2】
今年小明的年龄比他爸爸少36岁，3年前，他爸爸的年龄是他的3倍。今年小明几岁？
【对应练习3】
爸爸买一套桌椅用了295元，桌子比椅子贵47元。桌子和椅子各多少元？（先画出线段图，再解答）？
【考点七】行程问题。
【方法点拨】
1. 行程问题是小学数学中非常常见的类型题，一般包含三个基本量。
（1）路程：一共行了多长的路，一般用米或千米作单位；
（2）速度：每小时（或每分钟）行的路程，速度的单位常常是路程单位与时间单位的结合，例如：千米/时、米/分、米/秒等等；
（3）时间：行了几小时（分钟）。
2. 行程问题的基本数量关系。
速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度
3. 行程问题具体详情可参见《总集篇·行程问题》。
【典型例题1】普通行程问题。
1．甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶55千米，另一辆汽车从乙地开往甲地，每小时行驶45千米。两车从两地同时相对开出4小时后，两车相距多少千米？
2．甲地和乙地相距360千米，卡车要5小时到，轿车要3小时到，轿车每小时比卡车快多少千米？
【对应练习1】
一辆货车从甲地到乙地送货，去时每时行45千米，用了12时送到乙地。回来时每时行60千米，它返回需要多长时间？（不考虑休息时间）
【对应练习2】
五一期间，张老师去上海，先坐了3小时的大巴，又坐了4小时的高铁，已知大巴平均每小时行驶55千米，高铁平均每小时行驶310千米，张老师从家到上海有多少千米的路程？
【对应练习3】
凯文一家准备从家开车自驾前往体育场观看世界杯决赛。凯文家和体育场相距860千米，出发6小时后，导航显示还有320千米就到达了。每小时行多少千米？
【典型例题2】相遇问题。
甲乙两车同时分别从两地相向而行。甲车每小时行72千米，乙车每小时行64千米，甲、乙二车经过5小时相遇。两地之间相距多少千米？
【对应练习1】
青岛与北京相距约669千米。甲、乙两车分别从青岛和北京相对开出。甲车每小时行驶107千米，乙车每小时行驶93千米，经过2小时后，两车相距多少千米？
【对应练习2】
甲、乙两车同时从A、B两城相对开出（如图所示），经过2小时后甲车到达“△”的位置，乙车到达“▲”的位置。
（1）图中①表示：______________________；
图中②表示：______________________；
图中③表示：______________________。
（2）如果A、B两城相距360千米，②为100千米，且①＝③，请你根据“速度＝路程÷时间”算出甲车的速度。
【对应练习3】
小明家住在电影院的正西1300m，王叔叔所在的酒店在电影院的正东1100m。两人约好去看下午3时放映的电影。两人在下午2：35分别从家和酒店同时出发走向电影院，约定相遇后才一起去电影院。从出发到两个人相遇用了20分钟，王叔叔每分钟步行65m，小明每分钟步行多少米？要想准时观看电影他们相遇后一起步行的速度至少是多少？

【典型例题3】追及问题。
猎狗发现一只野兔，立刻去追。野兔同时也发现了猎狗，转身逃跑。猎狗每分钟跑450米，野兔每分钟跑340米，5分钟后猎狗追上了野兔。猎狗发现野兔时，他们相距多远？（列综合算式解答）
【对应练习1】
洪泽距离淮安主城区50千米，距离北京大约1080千米，有两辆卡车都要向北京送货，甲卡车从淮安出发，每小时行70千米，乙卡车从洪泽出发，每小时行75千米。两辆卡车都是早上7：00出发，8小时后乙车追上甲车了吗？
【对应练习2】
小云步行的速度是65米/分，小欣步行的速度是60米/分。
（1）小云和小欣同时从家出发，5分钟后在书店相遇。小云和小欣家相距多少米？
（2）两人又同时从书店出发去博物馆，小云经过7分钟到达博物馆，这时小欣距离博物馆还有多少米？
【对应练习3】
10月1日，聪聪全家要跟旅行团到广州旅游，聪聪要先到学校参加升旗仪式后才能出发。爷爷奶奶先乘坐大巴车以平均每小时76千米的速度从厦门出发，沿着沈海高速公路开往广州，2小时后，爸爸载着聪聪以平均每小时114千米的速度从厦门出发，沿着同一路线追赶，几小时后能追上？（两车均未到达广州）
【考点八】经济与促销问题（买几送几）。
【方法点拨】
注意理解“买几送几”的含义，例如：买三送一，是指花了3份物品的价钱，获得了4份物品，根据这层意思可以先算出3份物品的价钱，然后再算出4份物品的实际单价。
【典型例题】
体验完摩天轮，小明一家到商场里逛街，碰到商店正好进行“618”活动，儿童牛奶买六盒送一盒，促销价每盒6元。小明每天早上要喝一瓶，妈妈想提前购买两周（一周按7天计算）的量，需要付多少钱？
【对应练习1】
某品牌的钢笔每支12元，超市搞促销活动，买5支送1支。王老师一次买了5支，每支便宜多少钱？
【对应练习2】
“倡导全民阅读，共建书香石阡”。石阡县开展全民阅读图书购买优惠活动，买“2本送5本”，小明的妈妈准备买42本《科幻故事》送给同学们，每本23元，她应付多少钱？
【对应练习3】
为了丰富同学们大课间活动，学校要买44个皮球，每个皮球原价都是12元，在哪个超市买划算？最少需要多少钱？
A超市：每个球优惠1元
B超市：买10个送1个
C超市：消费每满120元减20元
【考点九】购买与省钱问题。
【方法点拨】
在生活实际中，要想购买到最省钱的物品，需要把两种物品的单价进行比较后再进行选择。
【典型例题】
下面是同一种盒装面巾纸的价格，一家宾馆要买50盒这种面巾纸，怎样买最省钱？
每箱60元 3盒10元 1盒4元
【对应练习1】
下面是同一种盒装牛奶的价钱。刘叔叔要买42盒这种牛奶，怎样买最省钱？通过计算说明。
【对应练习2】
学校长跑队有16名运动员，每人发2只面包。买面包最少需要多少钱？
【对应练习3】
学校做66套表演服装，要按整卷买布，大卷布，每卷400元，可以做8套表演服装；小卷布，每卷300元，可以做5套表演服装。怎样买布最省钱？
【考点十】方案与选择问题。
【方法点拨】
方案选择问题，即在两种及两种以上方案中选择一种最佳方案，便于省钱省时。要注意理解不同方案的意义，采用不同方案的算法得出的结果也会不同，最优的方案需要在比较几种方案的结果后再进行选择。
【典型例题】
豫剧是中国五大戏曲剧种之一，深受人们的喜爱。有2个大人，3个孩子去看豫剧表演，有两种买票方案。方案一：成人每人40元，儿童每人20元。方案二：团体5人以上（含5人），每人30元。他们选哪种方案最合算？
【对应练习1】
某景区门票价格方案：方案一：成人每人100元，儿童每人50元；方案二：团体10人以上（含10人）每人80元。成人7人，儿童5人，怎样买票比较划算？
【对应练习2】
四年级的师生到植物园观赏梅花，有学生42名，老师4名。请你选择最便宜的购票方案，最少要花多少钱？
门票价格 成人票：30元/人 学生票：15元/人 团体票：18元/人（10人及10人以上，可购买团体票）
【对应练习3】
在公园划船购票处挂有两种购票方案。成人7人，儿童3人，选哪方案种购票合算？需要多少钱？
方案一 成人每人40元，儿童每人12元。
方案二 团体10人及以上每人25元。
【考点十一】租船与租车问题。
【方法点拨】
1. 租车租船问题。
租车租船问题也是属于优化问题的一种，要考虑租金和限乘人数，并尽量坐满以减少空位，再进行调整找到最优方案。
2. 解题步骤。
（1） 比较单价：
计算每种交通工具的人均租金，优先选择单价更低的工具。
（2）初步分配：
尽量多租单价低的交通工具，并计算所需数量及剩余人数。
（3）调整优化：
通过减少高价工具的数量，尽量消除空座。
（4）验证对比：
列出所有可能的方案，计算总费用后选择最优解。
【典型例题】
1．（租车问题）某球迷协会组织36名球迷乘车去比赛场地，为首次打入世界杯决赛圈的国家足球队加油。可租用的汽车有两种：A种每辆可乘8人，B种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载。
（1）请写出3种不同的租车方案。
（2）若A种车子的租金是300元每天，B种车子的租金是200元每天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由。
2．（租船问题）四（2）班30名同学和3名老师租船去游玩。
大船：限乘5人，48元/条
小船：限乘3人，35元/条
（1）红红列出算式（30＋3）÷3×35＝385（元），你觉得她解决的问题是？
（2）怎样租船最省钱？最少要花多少钱？
【对应练习1】
大客车限坐50人，租金每辆500元/天；小客车限坐30人，租金每辆400元/天。四年级有师生210人去三孝故里—德孝城研学，怎样租车最省钱？
【对应练习2】
14名老师带着326名同学去春游。每辆大车租金900元，每辆小车租金500元，怎样租车最省钱？
【对应练习3】
同学们去郊游，有28人租船环湖游（一小时内游完），怎样租船最省钱？最少要花多少钱？
【考点十二】倒推法（还原法）解决还原问题。
【方法点拨】
1. 还原问题。
还原问题（逆推问题）是指已知一个数经过一系列运算后的结果，要求通过逆推法求出原来的数。其核心是从结果出发，逆向执行原运算的逆运算，逐步倒推至初始状态。
2. 倒推法。
倒推法，亦称还原法，是解决还原问题的常用方法，即从最后的结果倒推条件，得出所求问题。
【典型例题】
某人第一次取存款的一半多50元，第二次取余下的一半多100元，最终剩下1250元，求原存款金额。
【对应练习1】
妈妈买橘子，小明第一天吃一半多2个，第二天吃余下一半少2个，还剩5个，求原有多少橘子？
【对应练习2】
蚂蚁窝原有食物若干，第一天运出总数一半少4克，第二天运出余下一半多8克，第三天运出10克，剩20克。求原食物量。
【对应练习3】
张叔叔去银行取款，第一次取出存款金额的一半还多15元，第二次取出余下钱数的一半还多20元，这时还剩225元，张叔叔原有存款多少元？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年四年级数学下册题型专练「人教版」
第一单元四则运算·应用篇【十二大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第一单元四则运算·应用篇
专题内容 本专题以四则混合运算应用题为主，其中包括归一归总问题、倍数问题、行程问题、经济问题、优化问题等多种典型问题。
总体评价
讲解建议 本专题考察多以应用题型为主，题目综合性较强，建议作为本章核心内容进行讲解。
考点数量 十二个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】多个量之间的加减法应用题 4
【考点二】无括号的混合运算应用题 6
【考点三】有括号的混合运算应用题 8
【考点四】归一问题 10
【考点五】归总问题 12
【考点六】倍数问题 14
【典型例题1】普通倍数问题 15
【典型例题2】和差倍问题 16
【考点七】行程问题 19
【典型例题1】普通行程问题 20
【典型例题2】相遇问题 22
【典型例题3】追及问题 25
【考点八】经济与促销问题（买几送几） 27
【考点九】购买与省钱问题 30
【考点十】方案与选择问题 33
【考点十一】租船与租车问题 36
【考点十二】倒推法（还原法）解决还原问题 42
【第三篇】典型例题篇
【考点一】多个量之间的加减法应用题。
【方法点拨】
利用加减法数量关系解决问题，该类应用题比较简单，关键在于理解题目的数量关系。
【典型例题】
1．（加法）文具店购进一批练习本，卖出370本，剩下630本。文具店一共购进多少练习本？（用什么方法计算？为什么？）
【答案】1000本；加法；卖出本数＋剩下本数＝购进本数
【分析】文具店购进练习本本数－卖出本数＝剩下本数，则卖出本数＋剩下本数＝购进的练习本本数。文具店卖出的练习本本数加上剩下的本数，即可算出文具店一共购进（370＋630）本练习本。
【详解】370＋630＝1000（本）
答：文具店一共购进1000本练习本。
用加法计算，因为卖出本数＋剩下本数＝购进本数
2．（减法）滑雪场全天一共卖出145张门票，其中上午卖出86张门票，下午卖出多少张门票？（用什么方法计算？为什么？）
【答案】59张
【分析】上午与下午卖出门票的总数量是145张，即上午与下午的和是145，上午卖出86张，其中一个加数是86，求另一个加数，用和145减一个加数86即可求出另一个加数，另一个加数就是下午卖出门票的数量。
【详解】一个加数＝和－另一个加数
145－86＝59（张）
答：下午卖出59张门票。
【对应练习1】
一台电视机的售价是1850元，一台冰箱的售价比一台电视机多1357元，一台空调比一台冰箱便宜80元。一台空调的售价是多少钱？
【答案】3127元
【分析】因为一台电冰箱比电视机多1357元，已知电视机的单价，根据加法的意义，用加法求出电冰箱的单价，再根据一台空调比电冰箱便宜80元，根据减法的意义，用减法计算即可得到空调的价钱。
【详解】1850＋1357－80
＝3207－80
＝3127（元）
答：一台空调售价3127元钱。
【点睛】本题主要考查了加法和减法意义的运用，需仔细计算。
【对应练习2】
全球有许多著名的摩天大楼，其中，上海环球金融中心高达492米，比上海中心大厦矮140米，迪拜的哈利法塔比上海中心大厦高196米。迪拜的哈利法塔有多高？
【答案】828米
【分析】上海环球金融中心比上海中心大厦矮140米，用492＋140求出上海中心大厦的高度，迪拜的哈利法塔比上海中心大厦高196米，再加196即为迪拜的哈利法塔高，据此解题。
【详解】492＋140＋196
＝632＋196
＝828（米）
答：迪拜的哈利法塔有828米。
【对应练习3】
一捆铁丝第一次用去358米，第二次又用去250米，余下的比第二次用去的长142米。这捆铁丝原来全长多少米？
【答案】1000米
【分析】已知铁丝余下的比第二次用去的长142米，据此可以用第二次用去的铁丝长度加上142求出余下的铁丝的长度，再加上前面两次用去的铁丝长度，就是铁丝的原来长度。
【详解】250＋142＝392（米）
392＋358＋250
＝750＋250
＝1000（米）
答：这捆铁丝原来全长1000米。
【考点二】无括号的混合运算应用题。
【方法点拨】
分析已知条件，列出综合算式。
【典型例题】
1．（乘法）学校准备给四年级16个班发练习本，每个班103本，另外还要送70本给三年级的同学，学校应该买多少本练习本？
【答案】1718本
【分析】四年级每个班的本数×班级数＝四年级需要的本数，四年级需要的本数＋送给三年级的本数＝需要的总本数，据此列式解答。
【详解】103×16＋70
＝1648＋70
＝1718（本）
答：学校应该买1718本练习本。
2．（除法）修路属于民生工程，交通便利了，经济才能更好更快地发展。修一条长600米的公路，甲、乙两个工程队合作3天共修了480米。已知甲工程队平均每天修85米，那么乙工程队平均每天修多少米？
【答案】75米
【分析】甲、乙两个工程队合作3天共修了480米，480除以3可以求出两个队1天修路的长度，再用这个商减85即可求出乙队每天修路的长度。
【详解】480÷3－85
＝160－85
＝75（米）
答：乙工程队平均每天修75米。
【对应练习1】
王大伯家今年种的土豆丰收了，他用三轮车运了6车，还剩50千克没运完，平均每车运170千克，王大伯家今年收获土豆多少千克？
【答案】1070千克
【分析】运走的重量＝每车运的重量×车数，土豆总重量＝已经运走的重量＋剩余的重量，据此解题。
【详解】170×6＋50
＝1020＋50
＝1070（千克）
答：王大伯家今年收获土豆1070千克。
【对应练习2】
3件上衣450元，1条长裤比1件上衣便宜12元，1条裙子又比1条长裤贵8元。1条裙子多少钱？（列综合算式计算）
【答案】146元
【分析】用450÷3求出1件上衣的价钱，再用1件上衣的价钱减12就是1条长裤的钱减，最后用一条长裤的钱加8元，就是一条裙子的价钱，注意列综合算式计算。
【详解】450÷3－12＋8
＝150－12＋8
＝138＋8
＝146（元）
答：1条裙子146元。
【对应练习3】
小芳根据一幅主题图找到了下面一些信息：
①张老师买了5副羽毛球拍，共花了480元。 ②又买了25筒羽毛球，每筒12个。 ③每筒羽毛球32元。 ④营业员找给他20元。
（1）小芳选择其中的一些信息列出了算式“25×32＋480”，小芳解决的问题是____________。
（2）请你根据上面的信息再提出一个用综合算式解决的数学问题，并解答。
【答案】（1）张老师买了5副羽毛球拍和25筒羽毛球一共花了多少钱
（2）张老师买了5副羽毛球拍和25筒羽毛球，营业员找给他20元，他付给营业员多少钱；1300元（答案不唯一）
【分析】（1）根据①②③可知小芳解决的问题是：张老师买了5副羽毛球拍和25筒羽毛球一共花了多少钱？
（2）张老师买了5副羽毛球拍和25筒羽毛球，营业员找给他20元，他付给营业员多少钱？用张老师买羽毛球拍的数量乘羽毛球的筒数，求出张老师买了5副羽毛球拍和25筒羽毛球一共花的钱数，再用张老师买了5副羽毛球拍和25筒羽毛球一共花的钱数加上20元，即是张老师支付给营业员的钱数。（答案不唯一，合理即可）
【详解】（1）根据②和③：羽毛球每筒32元，张老师买了25筒，花费了（25×32）元，根据①张老师买了5副羽毛球拍，共花了480元，所以“25×32＋480”解决的问题是：张老师买了5副羽毛球拍和25筒羽毛球一共花了多少钱？
（2）张老师买了5副羽毛球拍和25筒羽毛球，营业员找给他20元，他付给营业员多少钱？（答案不唯一）
25×32＋480＋20
＝800＋480＋20
＝1280＋20
＝1300（元）
答：他付给营业员1300元。
【考点三】有括号的混合运算应用题。
【方法点拨】
分析已知条件，列出综合算式。
【典型例题】
《西游记》是一部中国古典神话小说，为中国“四大名著”之一。《西游记》共213页，米珂已经读了6天，每天读16页，剩下的准备9天读完，剩下的平均每天需要读多少页？
【答案】13页
【分析】先用16乘6，求出已经读的页数；再用总页数减去已经读的页数，求出剩下的页数；最后用剩下的页数除以9，即可求出剩下的平均每天需要读多少页。
【详解】（213－16×6）÷9
＝（213－96）÷9
＝117÷9
＝13（页）
答：剩下的平均每天需要读13页。
【点睛】本题考查了利用整数四则混合运算解决问题，需准确分析题目中的数量关系。
【对应练习1】
为庆祝“六一”儿童节，学校买来20支钢笔和15个文具盒奖励红花少年，一共花去270元。已知每支钢笔9元，每个文具盒多少元？
【答案】6元
【分析】用270元减去20支钢笔的钱数，就是15个文具盒的钱数，再根据单价＝总价÷数量，即可求出每个文具盒的钱数。
【详解】（270－20×9）÷15
＝（270－180）÷15
＝90÷15
＝6（元）
答：每个文具盒6元。
【点睛】本题考查了用整数的四则混合运算解决问题，需准确分析题目中的数量关系。
【对应练习2】
体育用品店里，一个篮球58元，一个足球46元，一副羽毛球拍35元，妈妈给小明的钱刚好能买1个足球和2副羽毛球拍，如果用这些钱来买篮球，可以买得几个篮球？
【答案】2个
【分析】1个足球和2副羽毛球拍，1个足球46元，一副羽毛球拍35元，先根据整数乘法的计算方法计算出2副羽毛球拍的价钱，再加上1个足球的价钱求出总钱数，然后再根据数量＝总价÷单价，由此进行计算即可解答。
【详解】（46＋35×2）÷58
＝（46＋70）÷58
＝116÷58
＝2（个）
答：可以买得2个篮球。
【点睛】解答本题的关键是求出买1个足球和2副羽毛球拍需要的钱数，然后再根据总价、单价和数量之间的关系再进行求解。
【对应练习3】
一本书共375页，星期一、二、三这3天每天看41页，如果想在这个星期看完（一周按照7天算），剩余时间平均每天要看多少页？
【答案】63页
【分析】先用41乘3算出星期一、二、三这3天共看了多少页，再用375页减去看了的页数，求出剩下的页数后，再除以（7－3）即可。
【详解】（375－41×3）÷（7－3）
＝252÷4
＝63（页）
答：剩余时间平均每天要看63页。
【点睛】本题考查了利用整数的四则混合运算解决问题，需准确分析数量关系，准确列式计算。
【考点四】归一问题。
【方法点拨】
1. 定义。
复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果，这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。
2. 解题步骤。
（1）求单一量：总量÷份数= 1份数量；
（2）根据问题用乘法或除法计算最终结果。
【典型例题】
欢欢借来一本272页的书，5天读了80页，照这样计算，剩下的要几天读完？
【答案】12天
【分析】用欢欢5天读书的总页数除以读书的天数，可以计算出欢欢平均每天读多少页，再用这本书的总页数减去已读的页数可以计算出未读的页数，最后用未读的页数除以欢欢平均每天读的页数，即可计算出剩下的要几天读完。
【详解】（272－80）÷（80÷5）
＝192÷16
＝12（天）
答：剩下的要12天读完。
【点睛】本题考查归一问题的解题方法，解题关键是先求出一份数是多少，再根据一份数不变，利用读书总页数、读书的天数和平均每天读的页数之间的关系列式计算。
【对应练习1】
小华利用暑假看一本经典名著《红楼梦》，3天看了42页，照这样的速度，小华要看完这本308页的《红楼梦》还需要多少天？
【答案】19天
【分析】用小华3天看书的页数除以3，可以计算出小华平均每天看书的页数，再用这本书的总页数，除以小华平均每天看书的页数，就可以计算出小华要看完这本308页的《红楼梦》需要的天数，最后用看书的总天数减去已经看的天数，可以计算看完这本书还需要多少天。
【详解】308÷（42÷3）－3
＝308÷14－3
＝22－3
＝19（天）
答：小华要看完这本308页的《红楼梦》还需要19天。
【点睛】本题考查归一问题的解题方法，解题关键是先求出平均每天看了多少页，再根据每天看的页数不变，利用每天看的页数、看的天数、全书总页数之间的关系列式计算。
【对应练习2】
4人包了84个包子，照这样计算，再增加3人，一共能包多少个包子？
【答案】147个
【分析】照这样计算，说明每人包包子的个数是相等的，因此用84除以4，先求出平均每人包包子的个数，再求出增加3人后共有的人数，进而用平均每人包包子的个数乘共有的人数，问题得解。
【详解】84÷4×（4＋3）
＝84÷4×7
＝21×7
＝147（个）
答：一共能包147个包子。
【对应练习3】
某工艺品厂，6人做了132件工艺品，照这样计算，再增加4人，一共能做多少工艺品？
【答案】
220件
【分析】根据题意，先求出每个人做多少件工艺品，用除法计算，再增加4人，变成（6＋4）人，每个人做的工艺品件数，乘人数，得到的就是一共能做多少件工艺品，代入数据计算。
【详解】132÷6×（6＋4）
＝132÷6×10
＝22×10
＝220（件）
答：一共能做220件工艺。
【考点五】归总问题。
【方法点拨】
1. 定义。
复合应用题中的某些问题，在找出隐含的条件和问题后，需要先求"总量"，再对总量进行重新分配，这样的问题就叫做归总问题。
2. 解题步骤。
（1）求总量：原单一量×原份数=总量；
（2）用总量÷新条件=所求结果。
【典型例题】
毛衣厂加工一批毛衣，若每天加工90件，12天可以完成。实际每天比原来多加工18件，实际用几天完成？
【答案】10天
【分析】用原计划每天加工的数量乘加工的时间，可以计算出要加工毛衣的总件数，再用计划每天加工的件数加上18，可以计算出实际每天加工的件数，最后用要加工毛衣的总件数除以实际每天加工的件数，可以计算出实际用几天完成。
【详解】90×12÷（90＋18）
＝90×12÷108
＝1080÷108
＝10（天）
答：实际用10天完成。
【点睛】本题考查归总问题的解题方法，解题关键是抓住归总问题总数不变，再利用每天加工的件数、加工的时间，要加工毛衣的总数之间的关系，列式计算。
【对应练习1】
修路队修一条路，原计划每天修80米，15天完成任务，实际前3天就修好了360米，照这样计算，剩下的还需要多少天才能修完这条公路？
【答案】7天
【分析】先用80乘15求出这条公路的总长度，再减去360求出剩下的长度，最后除以实际每天修的长度即可。
【详解】（80×15－360）÷（360÷3）
＝（1200－360）÷120
＝840÷120
＝7（天）
答：剩下的还需要7天才能修完这条公路。
【点睛】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作总量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作总量÷工作时间，工作时间＝工作总量÷工作效率。
【对应练习2】
李正阳读一本《童话故事》，如果每天读15页，那么40天才能读完。如果想提前10天看完，那么平均每天要多看多少页？（列综合算式）。
【答案】5页
【分析】根据题意，总页数为：15×40，提前10天也就是：40－10＝30（天），用总页数除以天数即可计算平均每天要看的页数，再减去原来的每天读15页，就是多看的页数。
【详解】15×40÷（40－10）－15
＝15×40÷30－15
＝20－15
＝5（页）
答：平均每天要多看5页。
【对应练习3】
学校体育运动会上，四年级学生进行韵律操表演。如果每排站12人，正好站20排；如果每排多站3人，可以站成多少排？
【答案】16排
【分析】先用每排站的人数12乘站的排数20即等于表演韵律操的总人数，再除以每排站的人数12＋3＝15（人），即等于每排多站3人可以站成的排数，据此即可解答。
【详解】12×20÷（12＋3）
＝240÷15
＝16（排）
答：可以站成16排。
【考点六】倍数问题。
【方法点拨】
混合运算应用题中的倍数问题是在基础的倍数关系上混合了加减乘除运算关系，题目难度不大，注意理解所求的问题是什么。
【典型例题1】普通倍数问题。
合力超市上午运进菠萝180千克，沃尔玛超市运进的菠萝比合力超市的2倍还多40千克。这两家超市一共运进菠萝多少千克？
【答案】580千克
【分析】根据题意可知，用合力超市上午运进菠萝的重量乘2后再加40千克计算出沃尔玛超市运进的菠萝的重量，然后用沃尔玛超市运进的菠萝的重量加合力超市上午运进菠萝的重量即可，依此计算。
【详解】180×2＝360（千克）
360＋40＝400（千克）
400＋180＝580（千克）
答：这两家超市一共运进菠萝580千克。
【点睛】此题考查的是三位数与一位数的乘法计算，熟练掌握对倍的认识是解答此题的关键。
【对应练习1】
一把椅子售价35元，一张桌子的售价比一把椅子的2倍还多20元。买一套桌椅需多少元？
【答案】125元
【分析】根据题意可知，用一把椅子的售价乘2后，再加20即可计算出一张桌子的售价，然后用一张桌子的售价加一把椅子的售价即可。
【详解】35×2＝70（元）
70＋20＝90（元）
90＋35＝125（元）
答：买一套桌椅需要125元。
【点睛】此题考查的是经济问题的计算，先计算出一张桌子的售价是解答此题的关键。
【对应练习2】
自开展“三年增绿”工程，在公路两旁种植树木的面积为28公顷，种植草皮的面积比种植树木面积的3倍少16公顷，种植草皮的面积是多少公顷？
【答案】68公顷
【分析】种植草皮的面积比种植树木面积的3倍少16公顷，就是用种植树木的面积乘3再减去16即可，据此解答。
【详解】
答：种植草皮的面积是68公顷。
【点睛】熟练掌握对倍的认识并灵活运用是解答本题的关键。
【对应练习3】
学校组织三、四、五年级学生参加夏令营。三年级去了28人，四年级去的人数是三年级的3倍，五年级的人数比三年级和四年级的总人数少3人。学校一共组织多少人参加夏令营？
【答案】221人
【分析】先用三年级去的人数乘3计算出四年级去的人数，然后用四年级去的人数加三年级去的人数计算出三年级和四年级去的总人数，再用三年级和四年级去的总人数减去3人计算出五年级去的人数，最后再计算出参加夏令营的总人数即可。
【详解】四年级：28×3＝84（人）
三年级和四年级去的总人数：84＋28＝112（人）
五年级：112－3＝109（人）
总人数为：
112＋109＝221（人）
答：学校一共组织221人参加夏令营。
【点睛】此题考查的是对倍的认识，熟练掌握两位数与一位数的乘法计算是解答此题的关键。
【典型例题2】和差倍问题。
1．（和倍问题）甲桶有142千克油，乙桶有215千克油。要使乙桶中油的质量是甲桶中油的质量的16倍，应将甲桶中的油倒入乙桶多少千克？
【答案】121千克
【分析】甲、乙两桶共有142＋215＝357（千克）油。乙桶中油的质量是甲桶中油的16倍，则两桶油的质量和是甲桶中油的质量的17倍，甲桶中有357÷17＝21（千克）油。用甲桶原有的油的质量减去21千克就是甲桶倒入乙桶的油的质量。
【详解】142＋215＝357（千克）
357÷（16＋1）
＝357÷17
＝21（千克）
142－21＝121（千克）
答：应将甲桶中的油倒入乙桶121千克。
【点睛】本题关键是明确两桶油的质量和是甲桶中油的质量的17倍。
2．（差倍问题）胜利小学开展体育比赛，参加跳绳的人数是打球的4倍，比打球的多72人。参加跳绳和打球的各有多少人？（先画图表示题意，再解答）
【答案】96人；24人
【分析】跳绳的人数是打球的4倍，说明跳绳比打球的多出3倍，再根据后面多72人，可以求出。
【详解】
4－1＝3
72÷3＝24（人）
24×4＝96（人）
答：参加跳绳有96人，参加打球的有24人。
【点睛】做题关键在于先画出线段图，再根据线段图分析条件求解。
3．（和差问题）一张课桌比一把椅子贵22元，买一套桌椅一共要114元，课桌和椅子各要多少元？
【答案】课桌68元，椅子46元。
【分析】根据和差公式（和＋差）÷2＝大数代入数值即可求出课桌的价钱，用一套的价钱减去一张课桌的价钱，即可求出一把椅子的价钱。
【详解】（114＋22）÷2
＝136÷2
＝68（元）
114－68＝46（元）
答：课桌68元，椅子46元。
【点睛】本题考查和差问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
【对应练习1】
某村原有水田220万平方米，旱地92万平方米，现在计划把部分旱地改造为水田，使水田面积是旱地的12倍，需要将多少万平方米旱地改为水田？
【答案】68万平方米
【分析】和÷（倍数＋1）＝一倍数，改造前后，水田和旱地的总面积不变，水田和旱地的总面积是（220＋92）万平方米，总面积除以水田和旱地的倍数和（12＋1），可以算出现在的旱地面积，原来的旱地面积减去现在的旱地面积即可算出需要将多少万平方米旱地改为水田。
【详解】（220＋92）÷（12＋1）
＝312÷13
＝24（万平方米）
92－24＝68（万平方米）
答：需要将68万平方米旱地改为水田。
【点睛】熟练掌握和倍问题的计算是解题关键，和÷（倍数＋1）＝一倍数。
【对应练习2】
今年小明的年龄比他爸爸少36岁，3年前，他爸爸的年龄是他的3倍。今年小明几岁？
【答案】21岁
【分析】不管哪一年，小明和爸爸的年龄差不会变，一直是36；差倍问题：已知大、小两个数的差和它们的倍数关系，求大、小两个数的问题；小数＝1倍数＝差÷倍数的差，大数＝几倍数＝小数×倍数＝小数＋差；用差倍问题的方法求出3年前小明的年龄，再加上3求出小明今年的年龄；据此解答。
【详解】36÷（3－1）
＝36÷2
＝18（岁）
18＋3＝21（岁）
答：今年小明21岁。
【点睛】掌握差倍问题的计算方法是解答本题的关键。
【对应练习3】
爸爸买一套桌椅用了295元，桌子比椅子贵47元。桌子和椅子各多少元？（先画出线段图，再解答）？
【答案】见详解
【分析】和差问题公式：“（和＋差）÷2＝大数，（和－差）÷2＝小数”，一套桌椅价格加上桌子比椅子贵价格后再除以2得到桌子价格；一套桌椅价格减去桌子比椅子贵价格后再除以2得到椅子价格。
【详解】画图如下：

（295＋47）÷2
＝342÷2
＝171（元）
（295－47）÷2
＝248÷2
＝124（元）
答：桌子171元，椅子124元。
【点睛】本题属于和差问题应用题，掌握和差问题公式是解答本题的关键。
【考点七】行程问题。
【方法点拨】
1. 行程问题是小学数学中非常常见的类型题，一般包含三个基本量。
（1）路程：一共行了多长的路，一般用米或千米作单位；
（2）速度：每小时（或每分钟）行的路程，速度的单位常常是路程单位与时间单位的结合，例如：千米/时、米/分、米/秒等等；
（3）时间：行了几小时（分钟）。
2. 行程问题的基本数量关系。
速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度
3. 行程问题具体详情可参见《总集篇·行程问题》。
【典型例题1】普通行程问题。
1．甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶55千米，另一辆汽车从乙地开往甲地，每小时行驶45千米。两车从两地同时相对开出4小时后，两车相距多少千米？
【答案】80千米
【分析】根据路程＝速度×时间，先用第一辆车的速度加上第二辆车的速度，求出两车每小时行驶的速度和，再乘行驶的时间即可求出两车行驶的路程，最后用甲乙两地的距离减去两车行驶的距离，即可求出两车相距的长度。
【详解】（55＋45）×4
＝100×4
＝400（千米）
480－400＝80（千米）
答：两车相距80千米。
2．甲地和乙地相距360千米，卡车要5小时到，轿车要3小时到，轿车每小时比卡车快多少千米？
【答案】48千米
【分析】速度＝路程÷时间，用360除以5等于卡车每小时行的千米数，360除以3等于轿车每小时行的千米数，再用轿车每小时行的千米数减卡车每小时行的千米数即可解答。
【详解】360÷3－360÷5
＝120－72
＝48（千米）
答：轿车每小时比卡车快48千米。
【对应练习1】
一辆货车从甲地到乙地送货，去时每时行45千米，用了12时送到乙地。回来时每时行60千米，它返回需要多长时间？（不考虑休息时间）
【答案】9时
【分析】速度×时间＝路程，先用45乘12计算出甲地到乙地的路程；时间＝路程÷速度，再除以60计算出返回的时间；据此解答。
【详解】45×12÷60
＝540÷60
＝9（时）
答：它返回需要9时。
【对应练习2】
五一期间，张老师去上海，先坐了3小时的大巴，又坐了4小时的高铁，已知大巴平均每小时行驶55千米，高铁平均每小时行驶310千米，张老师从家到上海有多少千米的路程？
【答案】1405千米
【分析】路程＝速度×时间，大巴平均每小时行驶的千米数乘乘坐大巴的时间等于大巴行驶的路程，高铁平均每小时行驶的千米数乘乘坐高铁的时间等于高铁行驶的路程，然后把大巴和高铁行驶的路程相加即等于张老师家到上海的路程，据此即可解答。
【详解】55×3＋310×4
＝165＋1240
＝1405（千米）
答：张老师从家到上海有1405千米的路程。
【对应练习3】
凯文一家准备从家开车自驾前往体育场观看世界杯决赛。凯文家和体育场相距860千米，出发6小时后，导航显示还有320千米就到达了。每小时行多少千米？
【答案】90千米
【分析】速度＝路程÷时间，凯文家到体育场的距离减去导航显示还剩下的路程等于已经行驶的路程，再除以行驶的时间即可解答。
【详解】（860－320）÷6
＝540÷6
＝90（千米）
答：每小时行90千米。
【典型例题2】相遇问题。
甲乙两车同时分别从两地相向而行。甲车每小时行72千米，乙车每小时行64千米，甲、乙二车经过5小时相遇。两地之间相距多少千米？
【答案】680千米
【分析】速度和×相遇时间＝路程，计算甲、乙两车的速度之和，用加法计算，依此列式并根据混合运算的计算顺序计算即可求出两地相距多少千米。
【详解】（72＋64）×5
＝136×5
＝680（千米）
答：两地之间相距680千米。
【对应练习1】
青岛与北京相距约669千米。甲、乙两车分别从青岛和北京相对开出。甲车每小时行驶107千米，乙车每小时行驶93千米，经过2小时后，两车相距多少千米？
【答案】269千米
【分析】两车的速度和乘行驶的时间等于两车行驶的路程和，青岛与北京的距离减两车行驶的路程，即等于两车相距的距离。
【详解】669－（107＋93）×2
＝669－200×2
＝669－400
＝269（千米）
答：两车相距269千米。
【点睛】本题是相遇问题的实际应用，熟练掌握速度和、时间和路程三者之间的关系是解答本题的关键。
【对应练习2】
甲、乙两车同时从A、B两城相对开出（如图所示），经过2小时后甲车到达“△”的位置，乙车到达“▲”的位置。
（1）图中①表示：______________________；
图中②表示：______________________；
图中③表示：______________________。
（2）如果A、B两城相距360千米，②为100千米，且①＝③，请你根据“速度＝路程÷时间”算出甲车的速度。
【答案】（1）甲车2小时走的路程；2小时后两车还相距的路程；乙车2小时走的路程
（2）65千米/小时
【分析】（1）一共行了多长的路，叫做路程；每小时或每分钟等行的路程，叫做速度；行了几小时或几分钟等，叫做时间；通过观察图可知：①表示的是甲车2小时走的路程，②表示的是2小时后两车还相距的路程，③表示的是乙车2小时走的路程。
（2）通过①＝③可知，甲乙两车在2小时所走的路程是一样的，说明甲乙两车速度相等。用A、B两城相距的路程减去②的长度，就是甲乙两车2小时一共行驶的路程，再用甲乙两车2小时一共行驶的路程除以时间，就是甲乙两车的速度和，在用速度和除以2就是甲车的速度。
【详解】（1）图中①表示：甲车2小时走的路程；
图中②表示：2小时后两车还相距的路程；
图中③表示：乙车2小时走的路程。
（2）（360－100）÷2÷2
＝260÷2÷2
＝130÷2
＝65（千米/时）
答：甲车的速度是65千米/时。
【点睛】本题考查的是速度、时间和路程之间的关系，区分速度、路程的不同，熟记数量关系等式是解决此题的关键。
【对应练习3】
小明家住在电影院的正西1300m，王叔叔所在的酒店在电影院的正东1100m。两人约好去看下午3时放映的电影。两人在下午2：35分别从家和酒店同时出发走向电影院，约定相遇后才一起去电影院。从出发到两个人相遇用了20分钟，王叔叔每分钟步行65m，小明每分钟步行多少米？要想准时观看电影他们相遇后一起步行的速度至少是多少？

【答案】55米；40米/分
【分析】根据题意，小明家与王叔叔家相距（1300＋1100）米，根据速度和＝相遇路程÷相遇时间，求出两人的速度和再减去王叔叔的速度即可得到小明的速度；用出发时刻加上相遇时间求出相遇时刻，再用电影开始时刻减去相遇时刻，即得到离电影开始还剩的时间，两人需在这个时间内到达电影院；根据速度×时间＝路程，用王叔叔的速度乘相遇时间，求出相遇时王叔叔步行的路程，再减去王叔叔家到电影院的1100米，即是两人相遇时还离电影院的距离；最后根据速度＝路程÷时间，用剩下的距离除以剩下的时间，即可求出两人相遇后一起步行的速度。
【详解】（1300＋1100）÷20－65
＝2400÷20－65
＝120－65
＝55（米）
2时35分＋20分＝2时55分
3时－2时55分＝5分钟
65×20－1100
＝1300－1100
＝200（米）
200÷5＝40（米/分）
答：小明每分钟步行55米，要想准时观看电影他们相遇后一起步行的速度至少是40米/分。
【点睛】此题考查的是行程问题，需要掌握速度、时间、路程之间的关系，还要熟练地应用行程问题的基本公式。
【典型例题3】追及问题。
猎狗发现一只野兔，立刻去追。野兔同时也发现了猎狗，转身逃跑。猎狗每分钟跑450米，野兔每分钟跑340米，5分钟后猎狗追上了野兔。猎狗发现野兔时，他们相距多远？（列综合算式解答）
【答案】550米
【分析】根据题意可知，猎狗和野兔是同方向奔跑。根据路程＝速度×时间，分别求出猎狗跑的路程减去野兔跑的路程，再用猎狗跑的路程减去野兔跑的路程，求出一开始猎狗和野兔的距离。
【详解】450×5－340×5
＝2250－1700
＝550（米）
答：猎狗发现野兔时，他们相距550米。
【点睛】本题考查行程问题，关键是明确猎狗和野兔的路程差就是猎狗发现野兔时它们的距离。
【对应练习1】
洪泽距离淮安主城区50千米，距离北京大约1080千米，有两辆卡车都要向北京送货，甲卡车从淮安出发，每小时行70千米，乙卡车从洪泽出发，每小时行75千米。两辆卡车都是早上7：00出发，8小时后乙车追上甲车了吗？
【答案】追不上
【分析】当乙车追上甲车时，乙车比甲车多行了50千米，而甲车每小时行70千米，乙车每小时行75千米，可知乙车比甲车每小时多行5千米，那么几小时才能多行50千米，用50除以5即可解答。
【详解】50÷（75－70）
＝50÷5
＝10（小时）
10＞8
答：8小时后乙车追不上甲车。
【点睛】追及问题中的追及时间＝追及路程÷速度差。
【对应练习2】
小云步行的速度是65米/分，小欣步行的速度是60米/分。
（1）小云和小欣同时从家出发，5分钟后在书店相遇。小云和小欣家相距多少米？
（2）两人又同时从书店出发去博物馆，小云经过7分钟到达博物馆，这时小欣距离博物馆还有多少米？
【答案】（1）625米
（2）35米
【分析】（1）根据路程＝速度×时间，分别求出小云和小欣走的路程，再相加即可求出小云和小欣家相距多少米。
（2）小欣距离博物馆的路程＝小云与小欣的速度差×时间。据此解答。
【详解】（1）65×5＋60×5
＝（65＋60）×5
＝125×5
＝625（米）
答：小云和小欣家相距625米。
（2）（65－60）×7
＝5×7
＝35（米）
答：这时小欣距离博物馆还有35米。
【点睛】本题考查的是行程问题，相遇问题：路程和＝速度和×时间；追及问题：路程差＝速度差×时间。
【对应练习3】
10月1日，聪聪全家要跟旅行团到广州旅游，聪聪要先到学校参加升旗仪式后才能出发。爷爷奶奶先乘坐大巴车以平均每小时76千米的速度从厦门出发，沿着沈海高速公路开往广州，2小时后，爸爸载着聪聪以平均每小时114千米的速度从厦门出发，沿着同一路线追赶，几小时后能追上？（两车均未到达广州）
【答案】4小时
【分析】每小时76千米的速度乘2小时计算出路程差，再用每小时114千米减去每小时76千米求出两种车的速度差，再计算出追赶的时间：路程差÷速度差＝追及时间；据此解答。
【详解】76×2÷（114－76）
＝152÷38
＝4（小时）
答：4小时后能追上。
【点睛】本题考查的是追及问题的计算方法，以及除数是两位数的除法计算的实际应用。
【考点八】经济与促销问题（买几送几）。
【方法点拨】
注意理解“买几送几”的含义，例如：买三送一，是指花了3份物品的价钱，获得了4份物品，根据这层意思可以先算出3份物品的价钱，然后再算出4份物品的实际单价。
【典型例题】
体验完摩天轮，小明一家到商场里逛街，碰到商店正好进行“618”活动，儿童牛奶买六盒送一盒，促销价每盒6元。小明每天早上要喝一瓶，妈妈想提前购买两周（一周按7天计算）的量，需要付多少钱？
【答案】72元
【分析】要购买两周的量，就是要买2×7＝14（盒）。这种牛奶买六盒送一盒，即花费6盒的价钱可以得到7盒，要买14盒，就需要花费2个6盒的价钱，即（2×6×6）元。
【详解】2×7÷（6＋1）×6×6
＝2×7÷7×6×6
＝14÷7×6×6
＝2×6×6
＝12×6
＝72（元）
答：需要付72元钱。
【点睛】本题考查经济问题，关键是正确理解“买六盒送一盒”，明确买14盒需要花费12盒的价钱。
【对应练习1】
某品牌的钢笔每支12元，超市搞促销活动，买5支送1支。王老师一次买了5支，每支便宜多少钱？
【答案】2元
【分析】买5支送一支，也就是说，用买5支的钱，可以买到6支钢笔；先求出5支的总价钱，然后再除以6就是每支的实际价格，然后再用原来每支的价格12元减去实际价格即可。
【详解】12×5＝60（元）
60÷（5＋1）＝10（元）
12－10＝2（元）
答：王老师一次买了5支，每支便宜2元。
【点睛】此题主要考查整数乘除法的实际运用，关键在于掌握总价、单价和数量之间的关系。
【对应练习2】
“倡导全民阅读，共建书香石阡”。石阡县开展全民阅读图书购买优惠活动，买“2本送5本”，小明的妈妈准备买42本《科幻故事》送给同学们，每本23元，她应付多少钱？
【答案】276元
【分析】买“2本送5本”，即花费2本书的价钱可以得到7本，42本里面有6个7本，需要花费6个2本的价钱，即（6×2×23）元。
【详解】42÷（2＋5）×2×23
＝42÷7×2×23
＝6×2×23
＝12×23
＝276（元）
答：她应付276元。
【点睛】本题考查经济问题，关键是正确理解买“2本送5本”，明确花费12本书的价钱可以得到42本。
【对应练习3】
为了丰富同学们大课间活动，学校要买44个皮球，每个皮球原价都是12元，在哪个超市买划算？最少需要多少钱？
A超市：每个球优惠1元
B超市：买10个送1个
C超市：消费每满120元减20元
【答案】在C超市买划算；448元
【分析】根据三家超市的优惠方法，分别计算所需钱数，然后进行比较，即可得出结论。
【详解】A超市：
44×12－44×1
＝528－44
＝484（元）
B超市：
送的个数：44÷（10＋1）
＝44÷11
＝4（个）
实际支的钱数：
（44－4）×12
＝40×12
＝480（元）
C超市：
44×12＝528（元）
528÷120＝4（个）……48（元）
528－20×4
＝528－80
＝448（元）
448＜480＜484
答：在C超市买划算，最少需要448元。
【点睛】本题主要考查学生对经济优化问题的掌握，解决此题的关键是根据三家超市的优惠方法，计算所需钱数。
【考点九】购买与省钱问题。
【方法点拨】
在生活实际中，要想购买到最省钱的物品，需要把两种物品的单价进行比较后再进行选择。
【典型例题】
下面是同一种盒装面巾纸的价格，一家宾馆要买50盒这种面巾纸，怎样买最省钱？
每箱60元 3盒10元 1盒4元
【答案】先买2箱20盒的，再买3个3盒10元的，最后买1盒4元的；
【分析】先根据“单价＝总价÷数量”分别计算出每种买法中，每盒的单价，然后再进行比较，再用要买面巾纸的总盒数除以最便宜的一种买法的盒数，再根据商和余数进行解答，并且要使总盒数刚好是50盒。
【详解】60÷20＝3（元/盒）
10÷3＝3（元/盒）……1（元）
即60÷20＜10÷3＜4元
50÷20＝2（箱）……10（盒）
3×3＋1
＝9＋1
＝10（盒）
答：先买2箱20盒的，再买3个3盒10元的，最后买1盒4元的最省钱。
【点睛】此题考查的是优化问题的计算，要使购买最省钱，则应多购买最便宜的一种买法。
【对应练习1】
下面是同一种盒装牛奶的价钱。刘叔叔要买42盒这种牛奶，怎样买最省钱？通过计算说明。
【答案】每箱48元的牛奶买2箱，3盒10元的牛奶买3组，即9盒，再买1盒4元的牛奶最省钱。
【分析】选择每盒奶的单价最便宜的那种多买，贵的少买，并且组合起来共计42盒，这样的方案最省钱。所以先看42盒够几箱，剩下的盒数够几组10元的，最后剩下的一盒一盒的买，据此解答。
【详解】（箱）……10（盒）
（组）……1（盒）
答：每箱48元的牛奶买2箱，3盒10元的牛奶买3组，即9盒，再买1盒4元的牛奶最省钱。
【点睛】抓住题干中每种购买方式每盒奶的单价不同，买整箱最便宜，其次买10元的组合便宜，一盒一盒买最贵，尽量多买整箱，即可解决此类问题。
【对应练习2】
学校长跑队有16名运动员，每人发2只面包。买面包最少需要多少钱？
【答案】120元
【分析】先求4只装和6只装的每只面包的价格各是多少，比较可知买6只装的更合算，所以尽量多的买6只装的，并且没有剩余时，所花的钱最少。
【详解】16÷4＝4（元）
22÷6＝3（元）……4（元）
4＞3
买6只装的更合算。
16×2＝32（只）
32÷6＝5（包）……2（只）
买5包6只装，1包4只装：
5×22＋16
＝110＋16
＝126（元）
买4包6只装，2包4只装：
32＝4×6＋4×2
4×22＋2×16
＝88＋32
＝120（元）
126＞120
答：买面包最少需要120元钱。
【点睛】本题主要考查了优化问题，解答本题的关键是，确定买哪种包装的更合算，再找出最佳的买法。
【对应练习3】
学校做66套表演服装，要按整卷买布，大卷布，每卷400元，可以做8套表演服装；小卷布，每卷300元，可以做5套表演服装。怎样买布最省钱？
【答案】买大卷布7卷和小卷布2卷最省钱
【分析】根据“大卷布每卷400元，可以做8套表演服装；小卷布每卷300元，可以做5套表演服装”，可以求出大卷布每套服装的钱数为400÷8＝50（元），小卷布每套服装的钱数为300÷5＝60（元），然后比较是大卷布每套表演服装便宜还是小卷布每套表演服装便宜，再设计方案时尽量买便宜的，而且尽量不留布。
【详解】因为400÷8＝50（元）
300÷5＝60（元）
50＜60
所以尽可能买大卷布，
66＝7×8＋2×5
买大卷布7卷，还有10套没做，其余10套买2卷小卷布正好做完，费用为：
7×400＋2×300
＝2800＋600
＝3400（元 ）
答：买大卷布7卷和小卷布2卷最省钱。
【点睛】解答此题的关键是，在设计方案时，要尽量考虑尽可能买大卷布，而且又不留布，只有这样才能保证花钱最少。
【考点十】方案与选择问题。
【方法点拨】
方案选择问题，即在两种及两种以上方案中选择一种最佳方案，便于省钱省时。要注意理解不同方案的意义，采用不同方案的算法得出的结果也会不同，最优的方案需要在比较几种方案的结果后再进行选择。
【典型例题】
豫剧是中国五大戏曲剧种之一，深受人们的喜爱。有2个大人，3个孩子去看豫剧表演，有两种买票方案。方案一：成人每人40元，儿童每人20元。方案二：团体5人以上（含5人），每人30元。他们选哪种方案最合算？
【答案】方案一
【分析】分别把两种方案所花的钱算出来，然后再进行比较，看哪种方案花的钱少，则哪种方案合算。由此解答即可。
【详解】方案一：2×40＋3×20
＝80＋60
＝140（元）
方案二：（2＋3）×30
＝5×30
＝150（元）
140＜150
答：他们选方案一最合算。
【点睛】此题考查最优化问题，分别计算出两种方案所需钱数是解题的关键。
【对应练习1】
某景区门票价格方案：方案一：成人每人100元，儿童每人50元；方案二：团体10人以上（含10人）每人80元。成人7人，儿童5人，怎样买票比较划算？
【答案】方案一买划算
【分析】成人每人100元乘成人人数加上儿童每人50元乘儿童人数算出方案一的票价；团体票价乘总人数算出方案二的票价，进行比较即可。
【详解】100×7＋50×5
＝700＋250
＝950（元）
80×（7＋5）
＝80×12
＝960（元）
950元＜960元
答：按方案一买票比较划算。
【点睛】能够分析题目条件分别求出两种方案的总价是解决本题关键。
【对应练习2】
四年级的师生到植物园观赏梅花，有学生42名，老师4名。请你选择最便宜的购票方案，最少要花多少钱？
门票价格 成人票：30元/人 学生票：15元/人 团体票：18元/人（10人及10人以上，可购买团体票）
【答案】买10张团体票和36张学生票；720元
【分析】方案一：4名老师购买成人票，42名学生购买学生票；需要的钱＝老师的人数×成人的票价＋学生的人数×学生的票价；
方案二：4名老师和42名学生购买团体票；需要的钱＝团体票的票价×老师和学生的总人数；
方案三：4名老师和6名学生购买团体票，剩下的学生购买学生票，需要的钱＝10张团体票的总钱数＋学生的票价×（42－6），依此计算并比较。
【详解】方案一：买4张成人票和42张学生票
4×30＋42×15
＝120＋630
＝750（元）
方案二：42＋4＝46（张），买46张团体票
18×（42＋4）
＝18×46
＝828（元）
方案三：42－6＝36（张），买10张团体票和36张学生票
10×18＋15×（42－6）
＝180＋15×36
＝180＋540
＝720（元）
720元＜750元＜828元
答：买10张团体票和36张学生票最便宜，最少要花720元。
【点睛】此题考查的是经济问题的计算，应分别计算出每种购票方案需要的钱数再比较。
【对应练习3】
在公园划船购票处挂有两种购票方案。成人7人，儿童3人，选哪方案种购票合算？需要多少钱？
方案一 成人每人40元，儿童每人12元。
方案二 团体10人及以上每人25元。
【答案】方案二；250元
【分析】根据每种方案的票价，分别将两种方案需要的钱计算出来，再进行比较，即可解答。
【详解】方案一：成人和儿童分开买
7×40＋3×12
＝280＋36
＝316（元）
方案二：成人和儿童一起买团体票
（7＋3）×25
＝10×25
＝250（元）
250元＜316元
答：方案二划算，需要250元。
【点睛】本题主要考查优化问题，属于基础知识，要熟练掌握。
【考点十一】租船与租车问题。
【方法点拨】
1. 租车租船问题。
租车租船问题也是属于优化问题的一种，要考虑租金和限乘人数，并尽量坐满以减少空位，再进行调整找到最优方案。
2. 解题步骤。
（1） 比较单价：
计算每种交通工具的人均租金，优先选择单价更低的工具。
（2）初步分配：
尽量多租单价低的交通工具，并计算所需数量及剩余人数。
（3）调整优化：
通过减少高价工具的数量，尽量消除空座。
（4）验证对比：
列出所有可能的方案，计算总费用后选择最优解。
【典型例题】
1．（租车问题）某球迷协会组织36名球迷乘车去比赛场地，为首次打入世界杯决赛圈的国家足球队加油。可租用的汽车有两种：A种每辆可乘8人，B种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载。
（1）请写出3种不同的租车方案。
（2）若A种车子的租金是300元每天，B种车子的租金是200元每天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由。
【答案】（1）方案1：租4辆A车1辆B车；
方案2：租3辆A车3辆B车；
方案3：租2辆A车5辆B车。（答案不唯一）
（2）租4辆A车1辆B车；采用这种租车方案的花费是四种方案中最省钱的。
【分析】（1）先假设都租A车，需要A、B车各几辆；再每次减少1辆A车，并且满足车子不留空位的条件下，需要B车几辆，据此分析出租车的方案；
（2）根据（1）中的方案，计算租金，比较出最省钱的方案。
【详解】（1）36÷8＝4（辆）……4（人）
所以可以租4辆A车1辆B车；
若租3辆A车，还需要B车（36－8×3）÷4
＝（36－24）÷4
＝12÷4
＝3（辆）
所以可以租3辆A车3辆B车；
若租2辆A车，还需要B车（36－8×2）÷4
＝（36－16）÷4
＝20÷4
＝5（辆）
所以可以租2辆A车5辆B车；
若租1辆A车，还需要B车（36－8×1）÷4
＝（36－8）÷4
＝28÷4
＝7（辆）
所以可以租1辆A车7辆B车。
故方案1：租4辆A车1辆B车；方案2：租3辆A车3辆B车；方案3：租2辆A车5辆B车。（答案不唯一）
（2）4×300＋1×200
＝1200＋200
＝1400（元）
3×300＋3×200
＝900＋600
＝1500（元）
2×300＋5×200
＝600＋1000
＝1600（元）
1×300＋7×200
＝300＋1400
＝1700（元）
因为1700＞1600＞1500＞1400，所以最省钱的租车方案是租4辆A车1辆B车。
2．（租船问题）四（2）班30名同学和3名老师租船去游玩。
大船：限乘5人，48元/条
小船：限乘3人，35元/条
（1）红红列出算式（30＋3）÷3×35＝385（元），你觉得她解决的问题是？
（2）怎样租船最省钱？最少要花多少钱？
【答案】（1）全租小船要花多少钱？
（2）租6条大船和1条小船最省钱；323元
【分析】（1）四（2）班共有30＋3＝33（人）租船去游玩，全租小船的数量是（33÷3）条，然后乘每条小船的租金35，即可求得全租小船要花多少钱；
（2）根据题意，共有30＋3＝33（人），大船每人需要花费：48÷5＝9（元）……3（元），小船每人需要花费：35÷3＝11（元）……2（元），9＜11，所以尽量多租大船，且没空位时最省钱，用总人数除以5，求出租最多的大船数量，再结合余数判断是否租小船；据此进行计算解答。
【详解】（1）（30＋3）÷3×35
＝33÷3×35
＝11×35
＝385（元）
答：我觉得她解决的问题是全租小船要花多少钱？
（2）48÷5＝9（元）……3（元）
35÷3＝11（元）……2（元）
9＜11
所以尽量多租大船，且没空位时最省钱。
（30＋3）÷5
＝33÷5
＝6（条）……3（人）
3÷3＝1（条）
租6条大船和1条小船恰好坐满，需要租金：
48×6＋35
＝288＋35
＝323（元）
答：租6条大船和1条小船最省钱，最少要花323元。
【对应练习1】
大客车限坐50人，租金每辆500元/天；小客车限坐30人，租金每辆400元/天。四年级有师生210人去三孝故里—德孝城研学，怎样租车最省钱？
【答案】租3辆大客车，2辆小客车
【分析】由题意得，大客车限坐50人，租金每辆500元/天，那么每人每天需要：500÷50＝10（元）。小客车限坐30人，租金每辆400元/天，每人每天需要：400÷30＝13（元）……10（元）。对比可知，大客车更便宜。在没有空位的情况下，多租大客车更便宜。四年级有师生210人去三孝故里—德孝城研学，直接用210除以50算出需要几辆大客车，多余的人需要合理调整方案使得空位最少且最省钱。据此解答。
【详解】500÷50＝10（元）
400÷30＝13（元）……10（元）
13＞10，即租大客车更便宜。
210÷50＝4（辆）……10（人）
方案一：多余的10人可以安排一辆小客车，需要的总钱数为：
500×4＋400
＝2000＋400
＝2400（元）
方案二：可以让一辆大客车上的人数和多余的10人合起来一起去坐小客车。
4－1＝3（辆）
50＋10＝60（人）
60÷30＝2（辆）
需要的总钱数为：
500×3＋400×2
＝1500＋800
＝2300（元）
2400＞2300，所以方案二更省钱。
答：租3辆大客车，2辆小客车最省钱。
【对应练习2】
14名老师带着326名同学去春游。每辆大车租金900元，每辆小车租金500元，怎样租车最省钱？
【答案】租8辆大车和1辆小车
【分析】大车40人900元，小车20人500元，小车40人的话就需要2辆小车是1000元比900元便宜，说明租大车便宜，尽量租大车，学生人数加上老师人数等于总人数，然后除以大车的载客量40人，看需要租几辆大车，有余数的话看租小车能否拉走，尽量坐满；求出租的车数量后乘以各自的租金计算租车价格；据此解答。
【详解】根据分析尽量租大车：（326＋14）÷40 ＝340÷40＝8（辆）……20（人）
20÷20＝1（辆）刚好坐满
答：租8辆大车，一辆小车最省钱。
8×900＋1×500
＝7200＋500
＝7700（元）
答：租车费用是7700元。
【对应练习3】
同学们去郊游，有28人租船环湖游（一小时内游完），怎样租船最省钱？最少要花多少钱？
【答案】租4条6人船和1条4人船；240元
【分析】单价×数量＝总价，总价÷单价＝数量，总价÷数量＝单价；分别用除法计算出两种船每人的价格，发现多租6人船且坐满最划算；用28人除以6人，计算出的商为6人船的数量，余下的人坐4人船，最后分别用乘法计算出两种车的总价，再相加即可；据此解答。
【详解】6人船每人：50÷6＝8（元）……2（元）
4人船每人：40÷4＝10（元）
8＜10，多租6人船且坐满最划算
6人船：28÷6＝4（条）……4（人）
4人船：4÷4＝1（条）
4×50＋1×40
＝200＋40
＝240（元）
答：租4条6人船和1条4人船最省钱，最少要花240元。
【考点十二】倒推法（还原法）解决还原问题。
【方法点拨】
1. 还原问题。
还原问题（逆推问题）是指已知一个数经过一系列运算后的结果，要求通过逆推法求出原来的数。其核心是从结果出发，逆向执行原运算的逆运算，逐步倒推至初始状态。
2. 倒推法。
倒推法，亦称还原法，是解决还原问题的常用方法，即从最后的结果倒推条件，得出所求问题。
【典型例题】
某人第一次取存款的一半多50元，第二次取余下的一半多100元，最终剩下1250元，求原存款金额。
解析：
第二次取款前余额：(1250 + 100) × 2 = 2700（元）
第一次取款前余额：(2700 + 50) × 2 = 5500（元）
【对应练习1】
妈妈买橘子，小明第一天吃一半多2个，第二天吃余下一半少2个，还剩5个，求原有多少橘子？
解析：
第二天前剩余：(5－2) × 2 = 6（个）
原数量：(6 + 2) × 2 = 16（个）
【对应练习2】
蚂蚁窝原有食物若干，第一天运出总数一半少4克，第二天运出余下一半多8克，第三天运出10克，剩20克。求原食物量。
解析：
第三天前剩余：20 + 10 = 30（克）
第二天前剩余：(30 + 8) × 2 = 76（克）
原食物量：(76－4) × 2 = 144（克）
【对应练习3】
张叔叔去银行取款，第一次取出存款金额的一半还多15元，第二次取出余下钱数的一半还多20元，这时还剩225元，张叔叔原有存款多少元？
解析：
第二次取出余下钱数的一半还多20元，这时还剩225元，也就是第一次取出钱后余下钱数的一半是225＋20元，第一次取出钱后余下钱数是（225＋20）×2元。因为第一次取出存款金额的一半还多15元，则存款金额的一半是（225＋20）×2＋15元，存款金额是[（225＋20）×2＋15]×2元。
[（225＋20）×2＋15]×2
＝[245×2＋15]×2
＝[490＋15]×2
＝505×2
＝1010（元）
答：张叔叔原有存款1010元。
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