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2024年广东省深圳市南山区前海中学中考一模数学试题
1．（2024九下·南山模拟）一小袋味精的质量标准为“ 克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是（　　）
A．50.35克 B．49.80克 C．49.72克 D．50.40克
2．（2024九下·南山模拟） 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·南山模拟）由一个长方体和一个圆柱组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·南山模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·南山模拟）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·南山模拟）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·南山模拟）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D．
9．（2024九下·南山模拟）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（　　）
A．6 B．3 C． D．
10．（2024九下·南山模拟）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（　　）
A．266 B．270 C．271 D．285
11．（2024九下·南山模拟）因式分解： 　 　.
12．（2024九下·南山模拟）分式方程的解是　 　．
13．（2024九下·南山模拟）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为　 　．
14．（2024九下·南山模拟）如图，平行于x轴的直线l与反比例函数和的图像交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，且的面积为3，则k的值为　 　．
15．（2024九下·南山模拟）如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE，过点 B 作 BG⊥AE 于点 G， 连接 CG 并延长交 AD 于点 F，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为　 　．
16．（2024九下·南山模拟）计算：．
17．（2024九下·南山模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（2024九下·南山模拟）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（写出必要的计算过程）
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）
19．（2024九下·南山模拟）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元.
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
20．（2024九下·南山模拟）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点．
（1）请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：是的切线；
（3）过点作于点，延长交于点，若，．求的半径．
21．（2024九下·南山模拟）用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使．
操作探究一
（1）如图1，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，则______，=______．
操作探究二
（2）如图2，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
拓展迁移
（3）在菱形中，，．若点在直线上，点在射线上，且当时，请直接写出的长．
22．（2024九下·南山模拟）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：∵一小袋味精的质量标准为“ 克”，
∴一小袋味精的质量的范围是49.75-50.25
只有B选项符合，
故答案为：B.
【分析】先根据一小袋味精的质量标准为“ 克”，可求出一小袋味精的质量的范围，再对照选项逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 3000亿=3×1011，
故答案为：D.
【分析】 科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式(1≤a<10，n 为整数。) 根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图，即从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆，
故答案为：D．
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据图形的组合，构思分析从上面看到的图形的形状，即可解答．A选项的图形是从下往上看到的图形形状；B选项的图形是主视图看到的图形形状；C选项的图形是左视图看到的图形形状。
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2a3=a5，故A符合题意；
B、（a3）2=a6，故B不符合题意；
C、（2a）5=32a5，故C不符合题意；
D、a4+a4=2a4，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变指数相乘，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用合并同类项的法则，可对D作出判断.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质可得，，，再根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故答案为：D．
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，结合扇形面积即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，取格点D，连接，，则B在上，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴；
故答案为：C
【分析】取格点D，连接，，则B在上，根据两点间距离可得，，，则，子啊根据特殊角的三角函数值即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，
∴PB=PC，AO=.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°.
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，
∴OB=，即OA=OB=，
∴∠BAO=∠ABO=30°.
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD=AO·cos30°=3，
∴AB=AD+BD=6，即△ABC的边长为6.
故答案为：A.
【分析】结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，则PB=PC，AO=，由等边三角形的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，利用SSS证明△APB≌△APC，得到∠BAO=∠CAO=30°；当点P在OB上运动时，可得OB=，即OA=OB=，推出∠BAO=∠ABO=30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，由三角函数的概念可得AD，进而可得AB.
10．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵点A（0，30），
∴在边OA上有31个格点，
设OB的解析式为y=kx，
∴20k=10，
解之：，
∴OB的解析式为，
当x≤20的正偶数时，y为整数，
∴OB上有10个格点（不含端点O，含端点B）；
设直线AB的函数解析式为y=ax+b，
∴
解之：
∴y=-x+30，
当0＜x＜20且x为整数时，y也为整数，
∴AB边上有19个格点（不含端点），
∴L=31+19+10=60，
∵S△ABC=×30×20=300，
∴300=N+×60-1
解之：N=271.
故答案为：C
【分析】利用已知条件可知L是多边形边界上的格点个数，利用点A的坐标可得到在边OA上的格点数，利用待定系数法求出直线OB的函数解析式，利用点B的坐标，可得到边OB上的格点数；利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，由x的取值范围可得到AB边上的格点数，即可求出L的值；再利用三角形的面积公式求出△AOB的面积；然后代入公式求出N的值.
11．【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
12．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ∵分式方程，
∴4x=2(x-2），
∴4x-2x=-4，
解得：x=-2，
当x=-2时，x(x-2）=-2×（-2-2）=8≠0，
∴x=-2是方程的解，
故答案为：x=-2.
【分析】利用解分式方程的方程求出x=-2，再检验求解即可。
13．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】7
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，连接，，
则，
，，
，又，
，
故答案为：7．
【分析】连接，，根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
15．【答案】8
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；切线长定理
【解析】【解答】接：以AB为直径作圆O，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90°，
当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，
由切线长定理的AF=FG，BC=CG，
过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，
设正方形的边长为x，
则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，
在Rt△FHC中，由勾股定理得，
x2+(x-2)2=(x+2)2，
整理得：x2-8x=0，
解得x=8，x=0（舍去），
故答案为：8．
【分析】以AB为直径作圆O，则∠AGB=90°，当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，在Rt△FHC中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。
17．【答案】解：原式
当时，原式，
故答案是： ．
【知识点】整式的混合运算；分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
18．【答案】（1）解：（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）解：关注“互助”的人数为（名），
关注“进取”的人数为（名），补全条形统计图，如图所示，

（3）解：由题意，学生关注最多的两个主题是“感恩”和“进取”，即“C”和“E”，列树状图如下：
由图知，共有20种等可能的结果数，其中恰好选到“C”和“E”有两种，
所以恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用关注“平等”的人数除以其所占的百分比求解即可；（2）求出关注“互助”和“进取”的人数，进而补全统计图即可；（3）画出树状图得到所有等可能的结果有20种、 恰好选到学生关注最多“进取”和“感恩”的两个主题有2种，然后利用概率公式求解即可．
19．【答案】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，
由题意得：
，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
则x+30=80.
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元.
（2）解：设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50-a）个，
由题意得：50×（1+8%）（50-a）+80×0.9a≤3060，
解得：a≤20，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需(x+30)元，由题意可得购买A品牌篮球的数量为，购买B品牌篮球的数量为，然后根据购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍建立方程，求解即可；
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球(50-a)个，A品牌篮球第二次的售价为50×(1+8%)，B篮球第二次的售价为80×0.9，然后根据售价×个数=总费用结合题意可得关于a的不等式，求解即可.
20．【答案】（1）解：圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可，
如图1所示，即为所求；
（2）证明：如图2，连接，
平分，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（3）解：设的半径为r，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
解得：，
的半径为5．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可；（2）根据连接，根据角平分线定义可得，再根据等边对等角可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）设的半径为r，根据边之间的关系可得，子啊根据垂径定理可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1），；
解：（2），理由如下：
四边形是菱形，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
如图2，作交于，则，，
在中，，，
，
，
；
（3）的长度为或．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
故答案为：，；
（3）当时，点和点重合，
如图3，当点在线段的延长线时，过点作于点，
设，
，，
为等腰直角三角形，
，
四边形是菱形，，，
，，
由菱形的对称性及可得，
在中，，，
，
，
，
，
；
如图4，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，
设，同①可得：，，
，
，
，
综上所述，的长度为或．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，由余弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，，即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，由全等三角形判定定理可得，则，，再根据等边对等角及三角形内角和公式可得，作交于，则，，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在线段的延长线时，过点作于点，设，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据菱形性质可得，，根据对称性质可得，再根据正切函数定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，设，同①可得：，，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】(1)，；
解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
(3)
（4）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：
∵点的坐标为，准线，
∴点的横坐标为，代入解得，
即，，
则的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
故答案为：，；
（3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，
∴，
∵点是直线和直线m的交点，
令，解得：，
故点的坐标为，
∴，
．
即的最小值为．
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义即可求出答案.
（2）利用两点间距离公式结合已知条件建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；设直线的解析式为，根据待定系数法将点F坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立抛物线方程求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求出答案.
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 12024年广东省深圳市南山区前海中学中考一模数学试题
1．（2024九下·南山模拟）一小袋味精的质量标准为“ 克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是（　　）
A．50.35克 B．49.80克 C．49.72克 D．50.40克
【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：∵一小袋味精的质量标准为“ 克”，
∴一小袋味精的质量的范围是49.75-50.25
只有B选项符合，
故答案为：B.
【分析】先根据一小袋味精的质量标准为“ 克”，可求出一小袋味精的质量的范围，再对照选项逐一判断即可.
2．（2024九下·南山模拟） 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 3000亿=3×1011，
故答案为：D.
【分析】 科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式(1≤a<10，n 为整数。) 根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．（2024九下·南山模拟）由一个长方体和一个圆柱组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图，即从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆，
故答案为：D．
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据图形的组合，构思分析从上面看到的图形的形状，即可解答．A选项的图形是从下往上看到的图形形状；B选项的图形是主视图看到的图形形状；C选项的图形是左视图看到的图形形状。
4．（2024九下·南山模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2a3=a5，故A符合题意；
B、（a3）2=a6，故B不符合题意；
C、（2a）5=32a5，故C不符合题意；
D、a4+a4=2a4，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变指数相乘，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用合并同类项的法则，可对D作出判断.
5．（2024九下·南山模拟）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质可得，，，再根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，即可求出答案.
6．（2024九下·南山模拟）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故答案为：D．
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，结合扇形面积即可求出答案.
7．（2024九下·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，取格点D，连接，，则B在上，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴；
故答案为：C
【分析】取格点D，连接，，则B在上，根据两点间距离可得，，，则，子啊根据特殊角的三角函数值即可求出答案.
8．（2024九下·南山模拟）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．（2024九下·南山模拟）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（　　）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，
∴PB=PC，AO=.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°.
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，
∴OB=，即OA=OB=，
∴∠BAO=∠ABO=30°.
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD=AO·cos30°=3，
∴AB=AD+BD=6，即△ABC的边长为6.
故答案为：A.
【分析】结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，则PB=PC，AO=，由等边三角形的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，利用SSS证明△APB≌△APC，得到∠BAO=∠CAO=30°；当点P在OB上运动时，可得OB=，即OA=OB=，推出∠BAO=∠ABO=30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，由三角函数的概念可得AD，进而可得AB.
10．（2024九下·南山模拟）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（　　）
A．266 B．270 C．271 D．285
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵点A（0，30），
∴在边OA上有31个格点，
设OB的解析式为y=kx，
∴20k=10，
解之：，
∴OB的解析式为，
当x≤20的正偶数时，y为整数，
∴OB上有10个格点（不含端点O，含端点B）；
设直线AB的函数解析式为y=ax+b，
∴
解之：
∴y=-x+30，
当0＜x＜20且x为整数时，y也为整数，
∴AB边上有19个格点（不含端点），
∴L=31+19+10=60，
∵S△ABC=×30×20=300，
∴300=N+×60-1
解之：N=271.
故答案为：C
【分析】利用已知条件可知L是多边形边界上的格点个数，利用点A的坐标可得到在边OA上的格点数，利用待定系数法求出直线OB的函数解析式，利用点B的坐标，可得到边OB上的格点数；利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，由x的取值范围可得到AB边上的格点数，即可求出L的值；再利用三角形的面积公式求出△AOB的面积；然后代入公式求出N的值.
11．（2024九下·南山模拟）因式分解： 　 　.
【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
12．（2024九下·南山模拟）分式方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ∵分式方程，
∴4x=2(x-2），
∴4x-2x=-4，
解得：x=-2，
当x=-2时，x(x-2）=-2×（-2-2）=8≠0，
∴x=-2是方程的解，
故答案为：x=-2.
【分析】利用解分式方程的方程求出x=-2，再检验求解即可。
13．（2024九下·南山模拟）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为　 　．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．（2024九下·南山模拟）如图，平行于x轴的直线l与反比例函数和的图像交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，且的面积为3，则k的值为　 　．
【答案】7
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，连接，，
则，
，，
，又，
，
故答案为：7．
【分析】连接，，根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
15．（2024九下·南山模拟）如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE，过点 B 作 BG⊥AE 于点 G， 连接 CG 并延长交 AD 于点 F，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为　 　．
【答案】8
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；切线长定理
【解析】【解答】接：以AB为直径作圆O，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90°，
当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，
由切线长定理的AF=FG，BC=CG，
过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，
设正方形的边长为x，
则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，
在Rt△FHC中，由勾股定理得，
x2+(x-2)2=(x+2)2，
整理得：x2-8x=0，
解得x=8，x=0（舍去），
故答案为：8．
【分析】以AB为直径作圆O，则∠AGB=90°，当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，在Rt△FHC中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2024九下·南山模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。
17．（2024九下·南山模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式，
故答案是： ．
【知识点】整式的混合运算；分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
18．（2024九下·南山模拟）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（写出必要的计算过程）
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）
【答案】（1）解：（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）解：关注“互助”的人数为（名），
关注“进取”的人数为（名），补全条形统计图，如图所示，

（3）解：由题意，学生关注最多的两个主题是“感恩”和“进取”，即“C”和“E”，列树状图如下：
由图知，共有20种等可能的结果数，其中恰好选到“C”和“E”有两种，
所以恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用关注“平等”的人数除以其所占的百分比求解即可；（2）求出关注“互助”和“进取”的人数，进而补全统计图即可；（3）画出树状图得到所有等可能的结果有20种、 恰好选到学生关注最多“进取”和“感恩”的两个主题有2种，然后利用概率公式求解即可．
19．（2024九下·南山模拟）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元.
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【答案】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，
由题意得：
，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
则x+30=80.
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元.
（2）解：设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50-a）个，
由题意得：50×（1+8%）（50-a）+80×0.9a≤3060，
解得：a≤20，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需(x+30)元，由题意可得购买A品牌篮球的数量为，购买B品牌篮球的数量为，然后根据购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍建立方程，求解即可；
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球(50-a)个，A品牌篮球第二次的售价为50×(1+8%)，B篮球第二次的售价为80×0.9，然后根据售价×个数=总费用结合题意可得关于a的不等式，求解即可.
20．（2024九下·南山模拟）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点．
（1）请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：是的切线；
（3）过点作于点，延长交于点，若，．求的半径．
【答案】（1）解：圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可，
如图1所示，即为所求；
（2）证明：如图2，连接，
平分，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（3）解：设的半径为r，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
解得：，
的半径为5．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可；（2）根据连接，根据角平分线定义可得，再根据等边对等角可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）设的半径为r，根据边之间的关系可得，子啊根据垂径定理可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
21．（2024九下·南山模拟）用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使．
操作探究一
（1）如图1，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，则______，=______．
操作探究二
（2）如图2，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
拓展迁移
（3）在菱形中，，．若点在直线上，点在射线上，且当时，请直接写出的长．
【答案】（1），；
解：（2），理由如下：
四边形是菱形，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
如图2，作交于，则，，
在中，，，
，
，
；
（3）的长度为或．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
故答案为：，；
（3）当时，点和点重合，
如图3，当点在线段的延长线时，过点作于点，
设，
，，
为等腰直角三角形，
，
四边形是菱形，，，
，，
由菱形的对称性及可得，
在中，，，
，
，
，
，
；
如图4，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，
设，同①可得：，，
，
，
，
综上所述，的长度为或．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，由余弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，，即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，由全等三角形判定定理可得，则，，再根据等边对等角及三角形内角和公式可得，作交于，则，，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在线段的延长线时，过点作于点，设，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据菱形性质可得，，根据对称性质可得，再根据正切函数定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，设，同①可得：，，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2024九下·南山模拟）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
【答案】(1)，；
解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
(3)
（4）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：
∵点的坐标为，准线，
∴点的横坐标为，代入解得，
即，，
则的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
故答案为：，；
（3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，
∴，
∵点是直线和直线m的交点，
令，解得：，
故点的坐标为，
∴，
．
即的最小值为．
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义即可求出答案.
（2）利用两点间距离公式结合已知条件建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；设直线的解析式为，根据待定系数法将点F坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立抛物线方程求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求出答案.
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，再根据三角形面积即可求出答案.
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