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浙江省温州市2025年中考数学一模模拟试题
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．（2025·温州模拟）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：此几何体的左视图有3列，左边一列有2个正方形，中间有1个正方形，右边一列有1个正方形，
故答案为：C．
【分析】根据从左边看到的图形解答即可．
2．（2025·温州模拟）用科学记数法表示的数5.002×104 的原数是(　　)
A．5 002 B．500 200 C．50 020 D．500.2
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5.002×104=50020，
故答案为：C.
【分析】5.002×104将小数点向右移去4位，即可得出结论.
3．（2025·温州模拟）下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵a2 a3＝a5，∴A不正确，不符合题意；
B、∵a3与a2不是同类项，不能进行合并，∴B不正确，不符合题意；
C、∵（a2）3＝a6，∴C正确，符合题意；
D、∵a8÷a4＝a4，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项的计算方法、幂的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．（2025·温州模拟）在平面直角坐标系中，将点 向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　）
A．（-1，1） B．（5，1） C．（2，4） D．（2，-2）
【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，将点(2，1)向下平移3个单位长度，所得到的点的横坐标不变，纵坐标减小3个单位，
∴平移后的的横坐标不变为2，纵坐标为： ，
∴平移后的点的坐标为( ，
故答案为：D.
【分析】平面直角坐标系中点的坐标的平移规律为：横坐标左减右加，纵坐标上加下减.
5．（2025·温州模拟） 如图， 这是体育委员对七年级 (5) 班的立定跳远成绩进行全面调查后绘成的统计图， 如果把大于 的成绩视为合格， 再绘制一幅扇形统计图， 那么“不合格”部分对应的圆心角度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】由题意可得“不合格”的人数为8人，再求得“不合格”人数所占百分比，进而得到“不合格”部分对应的圆心角度数.
6．（2025·温州模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接EF交AC于点M，
由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；
∵在矩形ABCD中，∴∠FCA=∠BAC，
∵四边形EGFH是菱形，∴FM=ME，
而∠FMC=∠EMA，
∴△FMC≌△EMA（AAS），∴AM=MC；
在Rt△ABC中，由勾股定理得出AC==，
tan∠BAC=；
在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=，∴EM=；
在Rt△AME中，由勾股定理求得AE==5．
故答案为：C．
【分析】首先利用矩形和菱形的性质，证明出△FMC≌△EMA，然后利用勾股定理和正切值可以分别求出AM和EM的长，最后再利用勾股定理即可求出答案。
7．（2025·温州模拟）已知反比例函数的图象经过点，下列说法错误的是（　　）
A．当时， B．函数图象在第一、三象限
C．随的增大而减小 D．点在此函数的图象上
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可知
∴函数图象分布在第一、三象限， 当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而减小，选项B正确；选项C错误；
当 时， 选项A正确；
∴点 )在此函数的图象上，
∴选项D正确，
故答案为： C.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质逐一判断即可.
8．（2025·温州模拟）如图，为的直径，点在的延长线上，为的切线，切点为点，点E在上，且．若，，则的长为（　　）．
A．4 B． C． D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
是的切线，
，
．
设，则．
在中，，
，解得．
，
．
是的直径，
．
，
．
在中，，
．
．
故答案为：B．
【分析】连接，根据切线的性质可得，设，在中，利用正弦求出半径的长，然后在中，利用正弦求出长，再根据勾股定理解题即可．
9．（2025·温州模拟）已知矩形的周长为56，对角线交点到短边的距离比到长边的距离大4，则该矩形的面积为（ ）
A．45 B．90 C．140 D．180
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作，交于，交于，作，交于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理四边形、四边形，四边形都是矩形，
，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
设，则，
∵矩形周长是56，
，
解得：，
∴矩形的各边长是．
则该矩形的面积，
故答案为：D．
【分析】过作交于，交于，作交于，交于，即可得到四边形、四边形、四边形、四边形是矩形，设，则，利用矩形周长列方程求出x值即可解题．
10．（2025·温州模拟）已知二次函数y=x2-4x+2，在-1≤x≤3的取值范围内，下列关于该函数的说法中正确的是(　　)
A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1
C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y＝x2 4x＋2＝（x 2）2 2，
∴在 1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值 2，
当x＝ 1时，有最大值为y＝9 2＝7．
故答案为：D．
【分析】先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（2025·温州模拟）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连接，则　 　；若弦的长为6，则　 　．
【答案】；
【知识点】二次根式的加减法；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图1，连接．
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，；
如图1，过点A作于点F，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
解得，，
由勾股定理得，
∴．
故答案为：，．
【分析】连接，根据角平分线的定义得到，即可得到，然后根据勾股定理求出AD长，过点A作于点F，根据圆周角定理得到，即可求出AC长，然后在 中利用勾股定理得到DF长解答即可．
12．（2025·温州模拟）辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳这五项分别记为、、、、，树状图如下：
共有种等可能的结果，其中某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的结果有种，
某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是：，
故答案为：．
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的的结果数，利用概率公式计算解题．
13．（2025·温州模拟）如图，AB和OC分别是的直径和半径，，点P是直径AB上的一个动点，射线CP与相交于点Q，若是等腰三角形，则　 　．
【答案】40°或80°或100°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；对顶角及其性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①当OP=PQ，点P在OB上时，如图所示：
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=∠OQC，
∵OP=PQ，
∴∠OQC=∠POQ，
∴∠OCQ=∠OQC=∠POQ，
设∠OCQ=∠OQC=∠POQ=，
∵∠BOC=60°，
∴，
解得：，
；
当OP=PQ，点P在OA上时，如图所示：
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=∠OQC，
∵OP=PQ，
∴∠OQC=∠POQ，
∴∠OCQ=∠OQC=∠POQ，
设∠OCQ=∠OQC=∠POQ=x，
∵∠BOC=60°，
∴，
∴，
解得：，
∵∠CPB为△POQ的外角，
；
②当OQ=PQ，如图所示：
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=∠OQC=，
∵OQ=PQ，
∴∠QOP=∠OPQ=，
∵∠BOC=60°，
∴根据三角形内角和可得：
，
解得：，
∴∠CPB=∠OPQ=；
③当OP=OQ时，
∵Q在圆上，
∴OQ为圆的半径，
∴OP为圆的半径，
∴点P在圆上，即点P在A点或B点，
∴此时点P与点Q重合，此时三角形不存在；
综上分析可知，∠CPB的度数为40°或80°或100°．
故答案为：40°或80°或100°．
【分析】分为OP=PQ，OQ=PQ，OP=OQ三种情况画图，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理列方程解题即可．
14．（2025·温州模拟）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝5，则点B经过的路径BC长度为　 　．（结果保留π）
【答案】
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：＝，
故答案为：．
【分析】根据弧长公式解题．
15．（2025·温州模拟）不等式组所有整数解的和是　 　．
【答案】3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得， ，
故不等式组的解集为：
所有整数解是：1，2，
所有整数解的和是：
故答案为：3.
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数值，求出其和即可.
16．（2025·温州模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　．
【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1），
∵∠CED'＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形，
即∠CD'E＝90°，
∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°，
∴A、D'、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD'＝10 6＝4，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋16＝(8 x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，根据勾股定理求出x值即可．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·温州模拟）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
，
当 时，原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
18．（2025·温州模拟）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵
∴
又∵
∴
∴

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，则且，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，由，集合矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据题意可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵
∴
又∵
∴
∴
19．（2025·温州模拟）为进一步推进青少年毒品预防教育，切实提高广大青少年识毒、防毒、拒毒的意识和能力，重庆市高度重视全国青少年禁毒知识竞赛活动，强化措施落实，落实工作责任，取得了一定成绩．某区实验中学针对该校九年级学生的知识竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表．
知识竞赛成绩频数分布表
组别 成绩（分数） 人数
A 300
B a
C 150
D 200
E b
根据所给信息，解答下列问题．
（1）_________，_________；
（2）请求出C组所在扇形统计图中的圆心角的度数；
（3）补全知识竞赛成绩频数分布直方图；
（4）已知该市九年级有35000名学生，请估算全市九年级知识竞赛成绩低于80分的人数．
【答案】（1）300；50；
（2）解：C组所在扇形统计图中的圆心角的度数为；
（3）解：如下：
（4）解：（名），
答：估算全市九年级知识竞赛成绩低于80分的人数约为1750名．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵被调查的总人数为（人），
∴，，
故答案为：300；50；
【分析】（1）利用D组人数除以它的占比得到总人数，然后用总人数乘以B组人数占比求出a的值，再用总人数减去其它组人数求出b的值解题；
（2）用乘以C组人数占比解答即可；
（3）利用（1）中结果补全统计图即可；
（4）用35000乘以样本中E组人数的占比计算解题．
（1）解：∵被调查的总人数为（人），
∴，，
故答案为：300；50；
（2）解：C组所在扇形统计图中的圆心角的度数为；
（3）解：如下：
（4）解：（名），
答：估算全市九年级知识竞赛成绩低于80分的人数约为1750名．
20．（2025·温州模拟） 如图，在Rt△ABC中，L BAC=90°，AB=AC，P为斜边BC上的一点(PB（1）求证：AD= BE．
（2）若AE=2DE=2，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，
在和中，
，
；
（2）解：，
.由(1)知，
.
在Rt中，，
，
.
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据已知可以得出：∠BAE+∠CAE=90°，∠CAE+∠ACD=90°，进而得出：∠BAE=∠ACD。再加上∠ADC=∠BEA=90°，AB=AC即可得到≌，进而得到AD=BE.
（2）由 AE=2DE=2 ，可以推出AD=DE=1.由（1）可以知道，AE=CD=2。在△ACD中，根据勾股定理可以求出AC=AB=，再根据三角形面积计算公式即可求出△ABC的面积.
21．（2025·温州模拟）武汉新冠疫情爆发，湖北物资告急，岳阳主动援助一批口罩.现有甲、乙两种货车，已知每辆甲种货车比乙种货车多装20箱口罩，且甲货车装1000箱口罩所用车辆与乙货车装800箱口罩所用车辆相同.
（1）求甲、乙两种货车每辆车分别可装多少箱口罩
（2）若每一辆甲货车运送一趟运费为300元，每一辆乙货车运送一趟运费为200元，现共有甲、乙两种货车共10辆，要求总运费不超过2600元，请问最多可以安排几辆甲货车
【答案】（1）解：设乙货车每辆车可装 箱口罩，
由题意得：
解得 ，
经检验 是原方程的解，且符合题意
∴
答：甲、乙两种货车每辆车分别可装100箱口罩和80箱口罩；
（2）解：设可以安排 辆甲货车，
∴
解得
答：最多可以安排6辆甲货车.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙货车每辆车可装 箱口罩，由 “ 甲货车装1000箱口罩所用车辆与乙货车装800箱口罩所用车辆相同”列出方程 ，求x的值并检验即可；
（2）设可以安排 辆甲货车，根据甲种货车的运费+乙种货车的运费不超过2600列出不等式 ，求a的取值即可.
22．（2025·温州模拟）2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为．
（1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；
（2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？
（3）守门员乙站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？
【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是，
把代入，得，
解得，
则抛物线解析式为：；

（2）解： 当时，，
故：能射进球门；
答：足球能射进球门．
（3）解：当时，，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当时，，
解得：（舍去），
∴，
答：他至少后退，才能阻止球员甲的射门．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）令时，求出y值与2.44米作比较解题；
（3）求出x=2时的函数值可得不能阻止此次射门，然后把y=2.52代入求出x值解题即可.
（1）抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是，
把代入，得，
解得，
则抛物线解析式为：；
（2）当时，，
故：能射进球门；
答：足球能射进球门．
（3）当时，，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当时，，
解得：（舍去），
∴，
答：他至少后退，才能阻止球员甲的射门．
23．（2025·温州模拟）在中，，，点，为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于，连接，将等边绕点旋转．
（1）如图1，当点在上，四边形是平行四边形时，求线段的长；
（2）如图2，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接，若，，共线，求线段的长；
（3）如图3，在等边在旋转的过程中，所在的直线与相交于点，当时，若，，求线段的长．
【答案】（1）解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
；
（2）解： 如图1，
作于，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
；
（3）解： 如图2，
将绕点顺时针旋转至，连接，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形和等边三角形的性质得到，再根据度角所对的直角边等于斜边的一半解题；
（2）作于，根据等边三角形得到，即可得到BD=CD，然后求出CE长，再利用勾股定理AE长即可；
（3）将绕点顺时针旋转至，连接，可得是等边三角形，从而得出是等边三角形，于是可求得，，从而得出，然后利用勾股定理解题即可．
（1）解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
；
（2）如图1，
作于，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
；
（3）如图2，
将绕点顺时针旋转至，连接，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
24．（2025·温州模拟）已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由三角形外角得到，然后根据圆周角定理得到，即可得到，即可得到，证明结论；
（2）在和中得到，即可转化成与，，相关的角，求得，即可解题；
（3）过作于，连接，根据（1）（2）中结论，即可得到，设，即可得到，然后得到，根据对应边成比例得到的值，再在中，利用勾股定理解题即可．
1 / 1浙江省温州市2025年中考数学一模模拟试题
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．（2025·温州模拟）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·温州模拟）用科学记数法表示的数5.002×104 的原数是(　　)
A．5 002 B．500 200 C．50 020 D．500.2
3．（2025·温州模拟）下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·温州模拟）在平面直角坐标系中，将点 向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　）
A．（-1，1） B．（5，1） C．（2，4） D．（2，-2）
5．（2025·温州模拟） 如图， 这是体育委员对七年级 (5) 班的立定跳远成绩进行全面调查后绘成的统计图， 如果把大于 的成绩视为合格， 再绘制一幅扇形统计图， 那么“不合格”部分对应的圆心角度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·温州模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
7．（2025·温州模拟）已知反比例函数的图象经过点，下列说法错误的是（　　）
A．当时， B．函数图象在第一、三象限
C．随的增大而减小 D．点在此函数的图象上
8．（2025·温州模拟）如图，为的直径，点在的延长线上，为的切线，切点为点，点E在上，且．若，，则的长为（　　）．
A．4 B． C． D．8
9．（2025·温州模拟）已知矩形的周长为56，对角线交点到短边的距离比到长边的距离大4，则该矩形的面积为（ ）
A．45 B．90 C．140 D．180
10．（2025·温州模拟）已知二次函数y=x2-4x+2，在-1≤x≤3的取值范围内，下列关于该函数的说法中正确的是(　　)
A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1
C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（2025·温州模拟）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连接，则　 　；若弦的长为6，则　 　．
12．（2025·温州模拟）辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是　 　．
13．（2025·温州模拟）如图，AB和OC分别是的直径和半径，，点P是直径AB上的一个动点，射线CP与相交于点Q，若是等腰三角形，则　 　．
14．（2025·温州模拟）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝5，则点B经过的路径BC长度为　 　．（结果保留π）
15．（2025·温州模拟）不等式组所有整数解的和是　 　．
16．（2025·温州模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·温州模拟）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·温州模拟）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，若，求的长度．
19．（2025·温州模拟）为进一步推进青少年毒品预防教育，切实提高广大青少年识毒、防毒、拒毒的意识和能力，重庆市高度重视全国青少年禁毒知识竞赛活动，强化措施落实，落实工作责任，取得了一定成绩．某区实验中学针对该校九年级学生的知识竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表．
知识竞赛成绩频数分布表
组别 成绩（分数） 人数
A 300
B a
C 150
D 200
E b
根据所给信息，解答下列问题．
（1）_________，_________；
（2）请求出C组所在扇形统计图中的圆心角的度数；
（3）补全知识竞赛成绩频数分布直方图；
（4）已知该市九年级有35000名学生，请估算全市九年级知识竞赛成绩低于80分的人数．
20．（2025·温州模拟） 如图，在Rt△ABC中，L BAC=90°，AB=AC，P为斜边BC上的一点(PB（1）求证：AD= BE．
（2）若AE=2DE=2，求△ABC的面积．
21．（2025·温州模拟）武汉新冠疫情爆发，湖北物资告急，岳阳主动援助一批口罩.现有甲、乙两种货车，已知每辆甲种货车比乙种货车多装20箱口罩，且甲货车装1000箱口罩所用车辆与乙货车装800箱口罩所用车辆相同.
（1）求甲、乙两种货车每辆车分别可装多少箱口罩
（2）若每一辆甲货车运送一趟运费为300元，每一辆乙货车运送一趟运费为200元，现共有甲、乙两种货车共10辆，要求总运费不超过2600元，请问最多可以安排几辆甲货车
22．（2025·温州模拟）2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为．
（1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；
（2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？
（3）守门员乙站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？
23．（2025·温州模拟）在中，，，点，为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于，连接，将等边绕点旋转．
（1）如图1，当点在上，四边形是平行四边形时，求线段的长；
（2）如图2，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接，若，，共线，求线段的长；
（3）如图3，在等边在旋转的过程中，所在的直线与相交于点，当时，若，，求线段的长．
24．（2025·温州模拟）已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：此几何体的左视图有3列，左边一列有2个正方形，中间有1个正方形，右边一列有1个正方形，
故答案为：C．
【分析】根据从左边看到的图形解答即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5.002×104=50020，
故答案为：C.
【分析】5.002×104将小数点向右移去4位，即可得出结论.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵a2 a3＝a5，∴A不正确，不符合题意；
B、∵a3与a2不是同类项，不能进行合并，∴B不正确，不符合题意；
C、∵（a2）3＝a6，∴C正确，符合题意；
D、∵a8÷a4＝a4，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项的计算方法、幂的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，将点(2，1)向下平移3个单位长度，所得到的点的横坐标不变，纵坐标减小3个单位，
∴平移后的的横坐标不变为2，纵坐标为： ，
∴平移后的点的坐标为( ，
故答案为：D.
【分析】平面直角坐标系中点的坐标的平移规律为：横坐标左减右加，纵坐标上加下减.
5．【答案】C
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】由题意可得“不合格”的人数为8人，再求得“不合格”人数所占百分比，进而得到“不合格”部分对应的圆心角度数.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接EF交AC于点M，
由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；
∵在矩形ABCD中，∴∠FCA=∠BAC，
∵四边形EGFH是菱形，∴FM=ME，
而∠FMC=∠EMA，
∴△FMC≌△EMA（AAS），∴AM=MC；
在Rt△ABC中，由勾股定理得出AC==，
tan∠BAC=；
在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=，∴EM=；
在Rt△AME中，由勾股定理求得AE==5．
故答案为：C．
【分析】首先利用矩形和菱形的性质，证明出△FMC≌△EMA，然后利用勾股定理和正切值可以分别求出AM和EM的长，最后再利用勾股定理即可求出答案。
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可知
∴函数图象分布在第一、三象限， 当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而减小，选项B正确；选项C错误；
当 时， 选项A正确；
∴点 )在此函数的图象上，
∴选项D正确，
故答案为： C.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质逐一判断即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
是的切线，
，
．
设，则．
在中，，
，解得．
，
．
是的直径，
．
，
．
在中，，
．
．
故答案为：B．
【分析】连接，根据切线的性质可得，设，在中，利用正弦求出半径的长，然后在中，利用正弦求出长，再根据勾股定理解题即可．
9．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作，交于，交于，作，交于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理四边形、四边形，四边形都是矩形，
，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
设，则，
∵矩形周长是56，
，
解得：，
∴矩形的各边长是．
则该矩形的面积，
故答案为：D．
【分析】过作交于，交于，作交于，交于，即可得到四边形、四边形、四边形、四边形是矩形，设，则，利用矩形周长列方程求出x值即可解题．
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y＝x2 4x＋2＝（x 2）2 2，
∴在 1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值 2，
当x＝ 1时，有最大值为y＝9 2＝7．
故答案为：D．
【分析】先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
11．【答案】；
【知识点】二次根式的加减法；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图1，连接．
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，；
如图1，过点A作于点F，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
解得，，
由勾股定理得，
∴．
故答案为：，．
【分析】连接，根据角平分线的定义得到，即可得到，然后根据勾股定理求出AD长，过点A作于点F，根据圆周角定理得到，即可求出AC长，然后在 中利用勾股定理得到DF长解答即可．
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳这五项分别记为、、、、，树状图如下：
共有种等可能的结果，其中某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的结果有种，
某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是：，
故答案为：．
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的的结果数，利用概率公式计算解题．
13．【答案】40°或80°或100°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；对顶角及其性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①当OP=PQ，点P在OB上时，如图所示：
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=∠OQC，
∵OP=PQ，
∴∠OQC=∠POQ，
∴∠OCQ=∠OQC=∠POQ，
设∠OCQ=∠OQC=∠POQ=，
∵∠BOC=60°，
∴，
解得：，
；
当OP=PQ，点P在OA上时，如图所示：
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=∠OQC，
∵OP=PQ，
∴∠OQC=∠POQ，
∴∠OCQ=∠OQC=∠POQ，
设∠OCQ=∠OQC=∠POQ=x，
∵∠BOC=60°，
∴，
∴，
解得：，
∵∠CPB为△POQ的外角，
；
②当OQ=PQ，如图所示：
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=∠OQC=，
∵OQ=PQ，
∴∠QOP=∠OPQ=，
∵∠BOC=60°，
∴根据三角形内角和可得：
，
解得：，
∴∠CPB=∠OPQ=；
③当OP=OQ时，
∵Q在圆上，
∴OQ为圆的半径，
∴OP为圆的半径，
∴点P在圆上，即点P在A点或B点，
∴此时点P与点Q重合，此时三角形不存在；
综上分析可知，∠CPB的度数为40°或80°或100°．
故答案为：40°或80°或100°．
【分析】分为OP=PQ，OQ=PQ，OP=OQ三种情况画图，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理列方程解题即可．
14．【答案】
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：＝，
故答案为：．
【分析】根据弧长公式解题．
15．【答案】3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得， ，
故不等式组的解集为：
所有整数解是：1，2，
所有整数解的和是：
故答案为：3.
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数值，求出其和即可.
16．【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1），
∵∠CED'＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形，
即∠CD'E＝90°，
∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°，
∴A、D'、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD'＝10 6＝4，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋16＝(8 x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，根据勾股定理求出x值即可．
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
，
当 时，原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵
∴
又∵
∴
∴

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，则且，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，由，集合矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据题意可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵
∴
又∵
∴
∴
19．【答案】（1）300；50；
（2）解：C组所在扇形统计图中的圆心角的度数为；
（3）解：如下：
（4）解：（名），
答：估算全市九年级知识竞赛成绩低于80分的人数约为1750名．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵被调查的总人数为（人），
∴，，
故答案为：300；50；
【分析】（1）利用D组人数除以它的占比得到总人数，然后用总人数乘以B组人数占比求出a的值，再用总人数减去其它组人数求出b的值解题；
（2）用乘以C组人数占比解答即可；
（3）利用（1）中结果补全统计图即可；
（4）用35000乘以样本中E组人数的占比计算解题．
（1）解：∵被调查的总人数为（人），
∴，，
故答案为：300；50；
（2）解：C组所在扇形统计图中的圆心角的度数为；
（3）解：如下：
（4）解：（名），
答：估算全市九年级知识竞赛成绩低于80分的人数约为1750名．
20．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，
在和中，
，
；
（2）解：，
.由(1)知，
.
在Rt中，，
，
.
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据已知可以得出：∠BAE+∠CAE=90°，∠CAE+∠ACD=90°，进而得出：∠BAE=∠ACD。再加上∠ADC=∠BEA=90°，AB=AC即可得到≌，进而得到AD=BE.
（2）由 AE=2DE=2 ，可以推出AD=DE=1.由（1）可以知道，AE=CD=2。在△ACD中，根据勾股定理可以求出AC=AB=，再根据三角形面积计算公式即可求出△ABC的面积.
21．【答案】（1）解：设乙货车每辆车可装 箱口罩，
由题意得：
解得 ，
经检验 是原方程的解，且符合题意
∴
答：甲、乙两种货车每辆车分别可装100箱口罩和80箱口罩；
（2）解：设可以安排 辆甲货车，
∴
解得
答：最多可以安排6辆甲货车.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙货车每辆车可装 箱口罩，由 “ 甲货车装1000箱口罩所用车辆与乙货车装800箱口罩所用车辆相同”列出方程 ，求x的值并检验即可；
（2）设可以安排 辆甲货车，根据甲种货车的运费+乙种货车的运费不超过2600列出不等式 ，求a的取值即可.
22．【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是，
把代入，得，
解得，
则抛物线解析式为：；

（2）解： 当时，，
故：能射进球门；
答：足球能射进球门．
（3）解：当时，，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当时，，
解得：（舍去），
∴，
答：他至少后退，才能阻止球员甲的射门．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）令时，求出y值与2.44米作比较解题；
（3）求出x=2时的函数值可得不能阻止此次射门，然后把y=2.52代入求出x值解题即可.
（1）抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是，
把代入，得，
解得，
则抛物线解析式为：；
（2）当时，，
故：能射进球门；
答：足球能射进球门．
（3）当时，，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当时，，
解得：（舍去），
∴，
答：他至少后退，才能阻止球员甲的射门．
23．【答案】（1）解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
；
（2）解： 如图1，
作于，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
；
（3）解： 如图2，
将绕点顺时针旋转至，连接，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形和等边三角形的性质得到，再根据度角所对的直角边等于斜边的一半解题；
（2）作于，根据等边三角形得到，即可得到BD=CD，然后求出CE长，再利用勾股定理AE长即可；
（3）将绕点顺时针旋转至，连接，可得是等边三角形，从而得出是等边三角形，于是可求得，，从而得出，然后利用勾股定理解题即可．
（1）解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
；
（2）如图1，
作于，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
；
（3）如图2，
将绕点顺时针旋转至，连接，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
24．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由三角形外角得到，然后根据圆周角定理得到，即可得到，即可得到，证明结论；
（2）在和中得到，即可转化成与，，相关的角，求得，即可解题；
（3）过作于，连接，根据（1）（2）中结论，即可得到，设，即可得到，然后得到，根据对应边成比例得到的值，再在中，利用勾股定理解题即可．
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