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第二章 有理数及其运算
2.2 认识有理数
第1课时 有理数
世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔大约是8848.86 m,吐鲁番盆地最低处的海拔大约是-154.31 m。你能说出-154.31m的含义吗 怎样计算珠穆朗玛峰的海拔和吐鲁番盆地最低处的海拔相差多少呢
本章将在小学学习的基础上引入负数，将数的范围扩充到有理数。你将经历从具体情境中抽象出负数的过程，理解有理数运算的意义并进行正确运算，通过归纳、类比、转化等发现一些数学结论，提高运算能力和推理能力，发展应用意识等。
1.正数和负数:为了表示具有相反意义的量,通常把其中一个量规定为正的,用　 　来表示,而把与这个量意义相反的量规定为负的,用
　 　来表示。
注意:0既不是正数,也不是负数。
2.有理数:　 　与　 　统称为有理数。
正数
负数
整数
分数
预习导学
知识点1:认识正数、负数
例1　在-1,0,1,1.5四个数中,负数是( )
A.-1 B.0 C.1 D.1.5
知识点2:具有相反意义的量
例2　如果规定收入为正,那么支出为负,收入2元记作+2元,支出5元记作( )
A.5元 B.-5元 C.-3元 D.7元
A
[思路点拨]收入和支出具有相反意义。
B
课堂互动
知识点3:有理数的分类
7
3
2
1.2023年10月26日11时14分,搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。若火箭发射点火前5 s记为-5 s,那么火箭发射点火后10 s应记为( )
A.+10 s B.-5 s C.+5 s D.-10 s
2.下列不具有相反意义的量的是( )
A.前进5 m和后退5 m
B.节约3 t和浪费10 t
C.身高增加2 cm和体重减少2 kg
D.超过5 g和不足2 g
A
C
基础题
典型例题
例1 (1) 某人转动转盘，如果用 ＋5 圈表示沿逆时针方向转了 5 圈，那么沿顺时针方向转了 12 圈怎样表示？
解： (1) 沿顺时针方向转了 12 圈记作 -12 圈.
典型例题
例1 (2) 在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量 0.02g 记作 ＋0.02g，那么 －0.03g 表示什么？
解： (2) -0.03g 表示乒乓球的质量低于标准质量 0.03g.
典型例题
例1 (3) 某大米包装袋上标注着“净含量：10kg ±50g”，这里的“10kg±50g”表示什么？
解： (3)每袋大米的标准质量应为 10 kg，但实际每袋大米可能有 50g 的误差，即每袋大米的净含量最多是10kg＋50g，最少是 10kg－50g.
知识探究
思考·交流
选定一个身体高度作为标准，用正负数和 0 表示你们班每位同学的身高与选定的身高标准的差异．你是怎样表示的？与同伴进行交流.
可根据我们班学生的身高情况，选定均身高的高度为“基准”，身高高于“基准”的记为正， 身高低于“基准”的记为负.
知识探究
思考·交流
将所有学过的数进行分类，并与同伴进行交流.
分数
整数
正分数
正分数：如…
整数与分数统称为有理数.
正整数：如1，2，3…
零：0
负整数：如-1，-2，-3…
正分数
负分数：如 …
有理数
按定义分类
知识探究
思考·交流
有理数还可以怎样进行分类呢？
有理数
负有理数
正有理数
0
正整数
正分数
负整数
负分数
按符号分类
学以致用
教学过程
1．如果向东走6m记作6m，那么向西走4m记
作 　 　m．
2．如果把火箭发射后10秒记为“10秒”，那么火箭发射前6秒应记为“　 　秒”．
.
.
.
学以致用
教学过程
3．手机微信支付因方便快捷已被广泛使用，在“我的钱包”账单里收到微信红包16元记为16元，买文具支付8元则记为 　 　元.
4．一次数学测试，如果80分为优秀，以80分为基准简记，例如90分记为+10分，那么65分应记为 　 　分．
.
.
.
3.判断：
(1)上升5米,记作+5米,则下降5米记作-5米. ( )
(2)一个有理数不是正数就是负数. ( )
(3)一个有理数不是整数就是分数. ( )
(4)负分数一定是负有理数. ( )
(5)整数都是正数. ( )
随堂练习
4.指出下列各数中的正数、负数、整数、分数：
-15，
+6，
-2，
-0.9，
1，
0，
0.63，
-4.95.
正数
负数
整数
分数
+6，
1，
0.63
-15，
-2，
-0.9，
-4.95
-15，
+6，
1，
0
-0.9，
0.63，
-4.95
-2，






可以化成分数的小数看成是分数
随堂练习

正数集合：{ }

负数集合：{ }
整数集合：{ }
分数集合：{ }

3，-7，0， 15，…

随堂练习
用正负数表示具有相反意义的量
认识有理数
正数
有理数
正整数、0、负整数 整数
像-2,-8, -1.8%,…都是负数
负数
像+3,+15,+6.9%,…都是正数
正分数、负分数 分数
课堂小结
1.把消费价格比上年上涨4.8%记为+4.8%，那么下跌0.6%记为 ;
2.如果零上5℃记为+5℃，那么零下3℃记为_______.
-0.6%
-3℃
【跟踪训练】
1.东、西为两个相反方向，如果-4m表示一个物体向西运动4m，那么+2m表示什么？物体原地不动记作什么？
2.某仓库运进面粉7.5t记作+7.5t，那么运出面粉3.8t应记作什么？
+2m表示向东运动2m，物体原地不动记为0m
运出面粉3.8t记作-3.8t
【跟踪训练】
【例题讲解】加工一根轴，图纸上注明它的直径是Ф30 (单位：mm)，请问：这种零件直径的标准尺寸是多少？合格产品的最大直径是多少？最小直径又是多少？
解：30＋0.03＝30.03(mm)，
30－0.02＝29.98(mm)，
所以这种零件直径的标准尺寸是30 mm，合格产品的最大直径是30.03 mm，最小直径是29.98 mm.
【跟踪训练】一批螺帽产品的内径要求可以有±0.02 mm的误差，现抽查5个样品，超过规定的毫米值记为正数，不足值记为负数，检查结果如下表．则结合要求的产品数量为( )
1 2 3 4 5
＋0.031 ＋0.017 ＋0.023 －0.021 －0.015
A.1个　　　B．2个　　　C．3个　　D．5个
B
5．如果以每月生产180个零件为准，超过的零件数记为正数，不足的
零件数记为负数，那么1月生产160个零件记为______个，2月生产
200个零件记为______.
4．某仓库运出30吨货记为－30吨，则运进20吨货记为_______吨．
+20
－20
6.下列四个数中，小于0的是 （ ）
A．-2 B．0 C．1 D．3
+20
A
在人类生活中，早就存在着收入与支出、赢利与亏本等具有相反意义的现象．
中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．
有关正负数的概念和运算法则的系统论述，记载于我国古代数学名著《 九章算术》一书中，书中明确提出“正负术”，这是世界上至今发现的最早最详细的记载．
负数小史
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公元3世纪，我国数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反， 要令正、负以名之．正算（筹）赤，负算（筹）黑，否则以邪正为异．”
就是说，对两个得失相反的量，要以正、负加以区别．用红筹表示正，黑筹表示负， 也可将算筹正放、斜放来区别．
古代象牙算筹
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在国外，负数概念的建立和使用，经历了一个曲折的过程． 印度在公元 7 世纪出现了负数概念，并有了负数的运算，不过他们总把负数解释为负债．
欧洲的数学家迟迟不承认负数，认为零是最小的数，而比零还小的数是不可思议的．欧洲最早承认负数的是 17 世纪法国数学家笛卡儿（ René Descartes， 1596-1650），他承认解方程中出现的负根，不过他称之为“假根”．直到 19 世纪，负数在欧洲才获得普遍承认．

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