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数学试题
一、单选题
1．若集合，，则的子集个数是（ ）
A． B． C． D．
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
3．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
6．如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）涂上颜色，已知厘米，厘米，扇形环面区域面积为100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环的周长为厘米，的最小值为（ ）
A．最小值为20厘米 B．最小值为40厘米
C．最小值为60厘米 D．最小值为80厘米
7．若函数为偶函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8．已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．小于的角是锐角
B．与终边相同的角可表达为，
C．钝角是第二象限角
D．经过4小时，时针转了
10．若，则（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．的最大值是0
D．的最大值是
11．设函数，，若关于x的方程有4个不相等的实数根，则实数m的取值可以为（ ）
A． B． C． D．2
三、填空题
12．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 ．
13．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
14．已知，则的最小值为 ．
四、解答题
15．计算：
（1）；
（2）．
16．已知函数.
(1)若函数为定义域上的偶函数，求实数的值；
(2)当时，对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．已知函数满足，且函数的图象与轴的两个交点之间的距离为，记集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户，电动汽车正成为人们购车的热门选择.新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：
0 20 40 80
0 1800 5600 21600
若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，可用表示.
(1)请求出函数的表达式；
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的乙地，已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗电量（单位：wh），出发前汽车电池存量为35000wh，汽车到达乙地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.
（i）若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由；
（ii）已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间），求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值（若不需充电，即求行驶时间的最小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值）.
19．用表示中的最小值，用表示 中的最大值.
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的最大值；
(3)已知，函数 ，试讨论函数的零点的个数.
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B C B A A BCD BCD
题号 11
答案 ACD
1．C
求出集合，进而可求出集合，确定集合的元素个数，利用子集个数公式可求得结果.
【详解】因为，，则，
所以，的元素个数为，的子集个数是，
故选：C.
2．B
利用三角函数图象变换可得出结论.
【详解】为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，
故选：B.
3．D
由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0．
【详解】由解得，又，得.
故选：D．
4．B
利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】当时，不妨取，，则，所以，“”“”，
另一方面，当时，由不等式的基本性质可得，
所以，“”“”，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．C
设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果.
【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍，
即，即，即，
再过周后该植物的长度为.
因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍.
故选：C.
6．B
根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可求得的最小值.
【详解】依题意可得弧长，弧长，
所以扇环的周长的长度，
因为扇形的面积公式可得，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以扇环的周长的最小值为40米.
故选：B.
7．A
根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围.
【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数，
在(或其子集)上为偶函数，
恒成立，
恒成立，
故选: A .
8．A
令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】令，
对任意的，，
故对任意的，，故函数的定义域为，
因为
，所以，，函数为奇函数，
令，则函数在上为增函数，
函数为增函数，所以，函数在上为增函数，
由，可得，
所以，，
所以，，即，
令，
当时，则有，显然成立；
当时，则，
所以，函数在、上单调递减，在上单调递增，
又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，，解得，此时，；
当时，则，
所以，函数在上单调递减，在、上单调递增，
又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
9．BCD
对A，根据任意角与锐角的定义判断即可；对B，根据弧度与角的关系判断即可；对C，根据钝角的定义判断即可；对D，根据4小时时钟的旋转角度占时钟一周角的比例，结合角度的定义判断即可.
【详解】对A，小于的角还包括和负角度的角，故A错误；
对B，，其终边与角相同，又，也为终边与角相同的角，故B正确；
对C，钝角是第二象限角，故C正确；
对D，时钟旋转为顺时针，故经过4小时，时针转了，故D正确.
故选：BCD
10．BCD
结合对数的运算，利用不等式的性质与基本不等式即可解决.
【详解】若，则，，，即.
对于A，，当且仅当，
即，时，等号成立，可得，故A错误；
对于B，由，可得，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故B正确；
对于C，由，可得，
所以，
当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，由，可得，可知，
故，
令，可知，，
故，
当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值是，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
设，则应有2个实数根，根据题意则均要有两个不同的实数根.所以，从而可得答案.
【详解】设，则
要使得有4个不相等的实数根，则应有2个实数根 ，由图可得
不妨设，所以，，则
又的对称轴方程为
所以
根据题意则均要有两个不同的实数根.
所以，即，即，解得
所以满足条件的范围是
故选：ACD
12．;
作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.
【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥，
则，所以，则，
，
故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为，
而，
所以该封闭图形的面积为.
故答案为：.
13．
【解析】将题意等价于的值域包含，讨论和结合化简即可.
【详解】解：要使函数的值域为
则的值域包含
①当即时，值域为包含，故符合条件
②当时
综上，实数的取值范围是
故答案为：
14．
【详解】解：，
则，
若，则，；
若，可得，
设，可设，
即为，
若，可得，成立；
若，则，即，
解得，
即有z的最小值为，此时，成立．
故答案为．
15．（1）；（2）．
【详解】（1）由对数的运算公式，可得：
原式.
（2）由指数幂的运算公式，可得：
原式.
16．(1)
(2)
（1）由偶函数的定义求值；
（2）将不等式转化为，结合真数恒正及常数分离求得的取值范围.
【详解】（1）定义域为，由题知，
即，
化简得，
即对任意恒成立，得.
（2）当时，
因为不等式对恒成立，
所以①，且②对恒成立.
由①得.
②即对恒成立，令，
则，
当且仅当时，所以，
综上：的取值范围是.
17．(1)
(2)
(3),或．
（1）根据二次函数的对称性，以及韦达定理，即可求解函数的解析式，再根据不等式的解集，即可求解；
（2）根据不等式的解集，结合，即可列式求解；
（3）根据题意转化为 ，转化为不等式，即可求解.
【详解】（1）因为函数满足，
所以的对称轴方程为，所以．
所以．
设曲线与轴的两个交点为,，
则,是方程的两根，
则有，，
而，
所以，所以．
由，即，
得或．
所以,或．
当时，．
所以，或，或．
（2）由已知得，
当时，解得
所以若，
则实数的取值范围为
（3）若“”是“”的必要不充分条件，
则真包含于A,
所以,或，解得,或．
所以实数的取值范围为,或．
18．(1)
(2)（i）该车若不充电不能到达乙地，理由见解析；（ii）4.33小时.
（1）由题意将和代入函数中，解方程组可求出，从而可求出函数的表达式；
（2）（i）设耗电量为，根据题意求出，然后利用函数单调性的定义判断出函数在区间单调递增，从而可求出其最小值，与电池存量减去保障电量比较大小可得结论；（ii）设行驶时间与充电时间分别为，，总和为，则有，解得，然后表示出，利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】（1）由题意可得，
解得，
故；
（2）
，
设耗电量为，则
；
（i）任取，
，
由，，，，则有，
即，
所以函数在区间单调递增，
所以，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车若不充电不能到达乙地；
（ii）由（i）知该车需要充电，设行驶时间与充电时间分别为，，总和为，
若能到达乙地，则初始电量+充电电量消耗电量≥保障电量，
即，
所以，
解得
所以总时间
当且仅当，即时取等号，
所以，该汽车到达乙地的最少用时约为4.33小时.
19．(1)
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）由对数函数性质知，即.
又由指数函数性质知，即.
又因为，
所以，即.
（2）解法一：由，可得，且.
则，
所以，当且仅当即，时取等号，
所以的最大值为.
解法二：由，可得，且.
则，所以，
当且仅当即，时取等号，所以的最大值为.
解法三：由，可得，且.
所以.
下面研究的最大值：
，令，，则有.
由及可得，故的最大值为.
接下来验证取等号的条件.
当时，，所以取等号的条件为即，时取等号，
所以，故的最大值为.
（3），，由可得.
对，则
①当，即时，恒成立，
所以的零点也为的零点，故有个零点；
②当，即或.
（i）当时，，
此时，是的个零点.
（ii）当时，，
当时，，，
当时，，当且仅当，
所以有个零点，和.
②当，即或，有个零点，记为.
所以，
（i）当时，，，且关于对称，
又，则必有，，
所以时，，，
若，则，此时，，
函数的零点为.
若，则，此时，，
函数的零点为.
若，则，此时，
函数的零点为.
此时无论取何值，必有个零点.
（ii）当时，关于对称，且，
则当时，，此时，
当时，有个零点，这个零点且也是的零点，此时函数有个零点.
综上所述：当时，有个零点；当时，有个零点；当时，有个零点.

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