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湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。)
1．（2025七下·长沙期中）实数-2的倒数是（　　）
A．2 B．-2 C． D．-
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：实数-2的倒数为
故答案为：D.
【分析】一个非0实数，它的倒数与它自身乘积为1.
2．（2025七下·长沙期中）下列命题中的真命题是（　　）
A．邻补角互补 B．两点之间，直线最短
C．同位角相等 D．同旁内角互补
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；邻补角；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、邻补角互补，故原命题是真命题；
B、两点之间，是线段最短，不是直线，故原命题是假命题；
C、同位角只有在对应的两直线平行下才相等，故原命题是假命题；
D、同旁内角只有在对应的两直线平行下才互补，故原命题是假命题；
故答案为：A.
【分析】A、根据邻补角的定义可判断；
B、根据“两点之间，线段最短”可判断；
C、根据“两直线平行，同位角相等”可判断；
D、根据“两直线平行，同旁内角互补”可判断.
3．（2025七下·长沙期中）如图，下列条件不能判定AB//CD的是（　　）
A．∠D+∠BAD=180° B．∠1=∠2
C．∠3=∠4 D．∠B=∠DCE
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、若 ∠D+∠BAD=180°，则有 AB//CD，故A不符合题意；
B、若∠1=∠2 ，则有 AB//CD，故B不符合题意；
C、若∠3=∠4 ，则有AD//BC，无法证明AB//CD，故C符合题意；
D、若 ∠B=∠DCE，则有 AB//CD，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A、根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断；
B、根据“内错角相等，两直线平行”可判断；
C、根据“内错角相等，两直线平行”可证明AD//BC，无法证明AB//CD；
D、根据“同位角相等，两直线平行”可判断.
4．（2025七下·长沙期中）下面是二元一次方程2x-y=5的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、将代入原方程，左边为2×4-3=5，右边为5，左边=右边，故A选项符合题意；
B、将代入原方程，左边为2×2-1=3，右边为5，左边≠右边，故B选项不符合题意；
C、将代入原方程，左边为2×1-3=-1，右边为5，左边≠右边，故C选项不符合题意；
D、将代入原方程，左边为2×5-4=6，右边为5，左边≠右边，故D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】将每个选项中的x和y值代入方程，验证等式是否成立，成立的即为正确选项.
5．（2025七下·长沙期中）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2=40°，则∠1的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】角的运算；邻补角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如下图，
∠3=180°-∠2-90°=180°-40°-90°=50°.
∵平行，
∴∠3+∠4=180°，且∠1与∠4为邻补角
∴∠1=50°.
故答案为：C.
【分析】根据三角尺的直角以及∠2度数，先算出∠3，然后利用平行、以及邻补角，得到∠1与∠3度数相同.
6．（2025七下·长沙期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．-4
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意；
B、是无理数，故B符合题意；
C、，而3属于有理数，故C不符合题意；
D、-4是负整数，属于有理数，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 无理数的定义是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比，根据此定义判断各选项.
7．（2025七下·长沙期中）在平面直角坐标系中，已知点P(-5，m）在第三象限，则m的值可能为（　　）
A．-1 B．4 C．0 D．
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： P(-5，m）在第三象限，则有m＜0，只有选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】在各象限的点（a，b）有如下特点：
第一象限：a＞0，b＞0；
第二象限：a＜0，b＞0；
第三象限：a＜0，b＜0；
第四象限：a＞0，b＜0.
8．（2025七下·长沙期中）我国明代数学家程大位（1533-1606）所著《算法统宗》中记录了“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱。试问甜苦果各几个？共大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据“ 共买了一千个苦果和甜果 ”可得，根据“ 九百九十九文钱 ”以及“ 十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果 ”可得，联立得.
故答案为：B.
【分析】根据题意直接列出方程组即可.
9．（2025七下·长沙期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，点A到达点B的位置，点B表示的数为（　　）
A．π B．-π C．-π+1 D．π或-π
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：滚动一周，则A到B的距离为π，由于是向数轴负方向滚动，故B表示的数为-π.
故答案为：B.
【分析】首先计算滚动距离，然后根据滚动方向判断是正负性.
10．（2025七下·长沙期中） 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)，，，，. 按照此规律，点的坐标为（　　）
A．(3036，1013) B．(3038，1013)
C．(3036，1012) D．(3038，1012)
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：设，由题意可总结出规律为，（n为奇数）. 因此，代入n=2025，有，，即.
故答案为：D.
【分析】 观察已知点的坐标变化，寻找横纵坐标随序号变化的规律，进而建立通项公式，代入n=2025求解.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.)
11．（2025七下·长沙期中）4的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
12．（2025七下·长沙期中）若2xm-1+3y2n-1=1是关于x，y的二元一次方程，则m-2n的值为　 　.
【答案】0
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解： 若是关于x，y的二元一次方程，则有，上式减下式，得.
故答案为：0.
【分析】根据二元一次方程的定义，x和y的指数都必须为1，因此需要分别令x和y的指数等于1，解出n的值，进而计算m-2n.
13．（2025七下·长沙期中）方程（x+1)3＝-8的解是　 　.
【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】根据立方根的定义，先求出，再求出.
14．（2025七下·长沙期中） 如图，已知AB//CD，如果∠1=65°，∠2=120°，那么∠3的大小是　 　.
【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】根据平行性质得到度数，然和运用外角和定理计算出.
15．（2025七下·长沙期中）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行。如图，将本次运动会的会微放入正方形网格中，若点A的坐标为(-1，2)，点 C的坐标为(3，-1)，则点 B 的坐标为　 　.
【答案】(2，2)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由图可知，B点横坐标比C横坐标小1，即3-1=2，而纵坐标与A点的纵坐标相同，即为2.
因此B的坐标为（2，2）.
故答案为：（2，2）.
【分析】通过分析B点与A点、C点的相对位置关系得出坐标.
16．（2025七下·长沙期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点B落在点B'处，折痕为EF，FB'的延长线交AD于H点。G为CD上一点，连接FG，若∠GFC=18°，FH平分∠GFE，则∠AHF=　 　.
【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴.
∵平分，
∴.
∴.
∵，
∴.
故答案为：.
【分析】根据折叠、角平分等可得出，根据平行，得，然后代入条件计算即可.
三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟.）
17．（2025七下·长沙期中）计算：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：原式=5-1+2=6
（2）解：原式=-1+2-+-3=-2.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）因为，所以. 然后-1＜0，所以. 而因为，所以.最后将-5、-1、2三数相加即可；
（2）1的任何次方均为1，所以. 然后对去括号得.而，因此，所以，即直接可以去绝对值符号得，最后再做加减运算.
18．（2025七下·长沙期中）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：将上式代入到下式，可得，解得.
将代入，解得.
故方程组的解为
（2）解：，将①×2-②，得 ，解得.
将代入①式，得，解得.
故方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）运用代入消元法，将上式代入到下式，先解x，再解y；
（2）运用加减消元法，将①×2-②，先解y，再解x.
19．（2025七下·长沙期中）如图，△A'B'C'由△ABC平移所得，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-4，-1)，B(-5，-4)，C(-1，-3)，将∠ABC先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到△A'B'C'.
（1）请画出平移后的△A'B'C'；
（2）求△ABC的面积；
（3）已知点P为△ABC中任意一点，按照△ABC的平移规则平移后的对应点为P'，若P'的坐标(m，n)，请直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求.
（2）解：
（3）解：P(m-6，n-4)
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）设P(x，y)，根据平移规则，有：
x+6=m，
y+4=n.
即x=m-6，y=n-4.
所以P(m-6，n-4).
故答案为：P(m-6，n-4).
【分析】（1）根据平移规则，先画出A、B、C的对应点A'、B'、C'，然后连接A'B'、B'C'、A'C'即可；
（2）由图可知，△ABC的面积可通过以边长为3、4的矩形面积减去：①直角边为1、3的直角三角形面积；②直角边为2、3的直角三角形面积；③直角边为1、4的直角三角形面积即可；
（3）由题意可知，平移前的点的横坐标加6，纵坐标加4即得到平移后的坐标，因此可反推若平移后的坐标为（m，n），则平移前的坐标应为(m-6，n-4).
20．（2025七下·长沙期中）已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解：
（2）求的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
得：，解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：，
∴这两个方程组的解为：；
（2）解：把代入中，
可得：，
化简得：，
得：③，
得：，解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴．
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，然后利用加减消元法求出方程组的解即可；
（2）将方程组的解代入两个含参方程组成方程组，可得关于字母a、b的二元一次方程组，利用加减消元法解该方程组求出a、b的值，最后将a、b的值代入待求式子按含括号的乘方运算计算可得答案.
（1）解：由题意得：，
得：，解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：，
∴这两个方程组的解为：；
（2）把代入中可得：，
化简得：，
得：③，
得：，解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴．
21．（2025七下·长沙期中）已知：如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.求证：EG//FH.
根据图形和已知条件，请补全这道题的解答过程.
证明：∵AB//CD（　　）
∴∠AEF= ▲ （　　）
又∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠GEF=∠AEF，∠EFH= ▲ （　　）
∴ ▲ （　　）
∴EG//FH（　　）
【答案】证明：∵AB//CD（已知）
∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）
又∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠GEF=∠AEF，∠EFH=∠EFD（角平分线的定义）
∴∠GEF=∠HFE（等式的性质）
∴EG//FH（内错角相等，两直线平行）.
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由线平行得到内错角相等，然后结合角平分可得内错角的一半也依然相等，因此可证明 EG//FH.
22．（2025七下·长沙期中）如图，已知AC//FE，∠1+∠2=180°.
（1）求证：∠FAB=∠BDC.
（2）若AC 平分∠FAD，EF⊥BE于点E， ∠FAD=70°，求∠BCD的度数.
【答案】（1）证明：AC//EF(已知)，
∴∠1+∠FAC=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴∠FAC=∠2(同角的补角相等)，
∴FA//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠FAB=∠BDC(两直线平行，同位角相等)
（2）解：AC平分∠FAD，
∴∠FAC=∠CAD=∠FAD=35°，
由（1）知∠FAC=∠2，
∴∠2=35°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEC=90°，
∵AC//EF，
∴∠ACB=∠FEC=90°，
∴∠BCD=90°-∠2=55°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由条线可知与互补，而又已知与也是互补，根据同角的补角相等可知与相等，根据“内错角相等，两直线平行”可证明，再根据“两直线平行，同位角相等”可证；
（2）由平分及（1）证明可知，然后结合题干条件“”以及小题条件“ EF⊥BE于点E ”，可知，用减去j即可计算出.
23．（2025七下·长沙期中）人教版（2024)七年级下册数学教材第103页有一个这样的探究题：如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连，这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地。已知公路运价为0.5元/（t·km），铁路运价为0.2元/（t·km），且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元。问：这家纺织厂购进的长绒棉和制成的纺织面料各多少t
小郡同学在看到这个探究题后，设购买t长绒棉，制成yt纺织面料。
根据题中数量关系列出了以下表格：
xt长绒棉 yt纺织面料 合计
公路运费/元 0.5x·10=5x ____ ____
铁路运费/元 0.2x·120=24x ____ ____
（1）请完成表格的填写（4空都需填写含有x或y的表达式).
（2）请帮小郡同学完成接下来的解题过程，
【答案】（1）解：如下所示
xt长绒棉 yt纺织面料 合计
公路运费/元 0.5x·10=5x 0.5y·20=10y 5x+10y
铁路运费/元 0.2x·120=24x 0.2x·110=22y 24x+22y
（2）解：依题意得
解得
答：这家纺织厂购进长绒棉400t，制成的纺织面料320t.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】（1）根据题意等量关系“运费=运输单价×吨数×里程数”补充运输yt纺织面料的公路、铁路运费表达式以及合计即可；
（2）由题意可知5x+10y=5200，24x+22y=16640，联立成方程组并求解即可.
24．（2025七下·长沙期中）对于关于 x，y 的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组.
（1）下列方程组是“开心”方程组的是　 　（只填写序号)
①②③
（2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值；
（3）若对于任意的有理数m，关 于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值.
【答案】（1）②
（2）解：
①+②得：7x+7y=3k+8，
解得
是“开心”方程组，
∴|x+y|=1，
∴
解得：k=-或 k=-5.
（3）解：∵对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组，
，
联立得：
或
解得：或
①把代入得：，
整理得，
∵m为任意有理数，
∴，，解得：，，
∴；
②把代入得：，
整理得.
∵m为任意有理数，
∴，，解得：，，
∴；
综上所述，ab的值为或.
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：（1）①由于存在方程，即，不属于“开心”方程组；②存在方程，属于“开心”方程组；③将上下方程相加，得4x+4y=6，整理可得，即，不属于“开心”方程组.
故答案为：②.
【分析】（1）根据“开心”方程组的定义，只要在方程组中能直接找到或整理后找到即为“开心”方程组；
（2）将原方程组的上下方程相加，可得，由于原方程组是“开心”方程组，则必有，根据绝对值定义求出两个不同的k值；
（3）由于方程组属于“开心”方程组，则可联立求出可能得x、y值，再将不同的x、y值分别代入，由于m为任意有理数下均成立，即对整理后，m的系数必然为0，故可以得到关于a、b的方程，解之即可.
25．（2025七下·长沙期中）如图，直线AB//CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD=α(0°<α<90°).小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图1放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，∠P=90°，∠PMN=45°.
（1）若∠PNB=20°，则∠PMD=　 　；
（2）若PN⊥EF，射线NO在∠MNG内交直线CD于点O，如图2，当N，M分别在点G，H的右侧，且∠GNO：∠MNO=3：2，PM//NO时，求α的度数；
（3）小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM//EF，射线NO平分∠MNG，点N，M分别在直线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数(用含α的式子表示).
【答案】（1）
（2）解：延长PN交EF于点K，如图2，
∵∠P=90°，
∴PN⊥PM，
∵PN⊥EF，
∴EF//PM，
∵PM// NO，
∴EF //PM//NO，
∴∠GHM=∠NOM，∠PMN=∠MNO，
∵∠PMN=45°，
∴∠PMN=∠MNO=45°，
∵∠GNO：∠MNO=3：2，
∴∠GNO=∠MNO=×45°=67.5°
∵AB//CD，
∴∠GNO=∠NOM，
∴∠GHM=∠GNO=67.5°，
∴α=67.5°
（3）解：①当N，M分别在点G，H的右侧，如图3，
∵PM//EF，
∴∠EHM=∠PMD=α，
∵∠PMN=45°，
∴∠NMD=45°+α，
∵AB//CD，
∴∠MNG=∠NMD=45°+α，
∵射线NO平分∠MNG，AB//CD，
②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图4，
∵PM//EF，
∴∠EHD=∠PMD=α，
∵∠PMN=45°，
∴∠NMD=45°+α，
∵AB//CD，
∴∠BNM+∠NMD=180°，∠BNO=∠MON，
∵射线NO平分∠MNG，
∴∠MNO=∠BNO=∠MNB，
∴∠MNB=180°-（45°+α)，
；
③当点N在点G左侧，点M在点H右侧时，结果同②.
综上所述，∠MON=22.5°+α或∠MON=67.5°=α
【知识点】平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴，即.
∵，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】（1）由可知，然后代入已知三个角的度数即可计算；；
（2）先由条件证明EF //PM//NO，目的是为了将求∠α的度数转化成求∠GNO的度数，因为∠GNO的度数可通过三角板已知角∠PMN、以及条件 ∠GNO：∠MNO=3：2求得；
（3）分开三种情况讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当点N，M分别在点G，H的左侧；③当点N在点G左侧，点M在点H右侧.
1 / 1湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。)
1．（2025七下·长沙期中）实数-2的倒数是（　　）
A．2 B．-2 C． D．-
2．（2025七下·长沙期中）下列命题中的真命题是（　　）
A．邻补角互补 B．两点之间，直线最短
C．同位角相等 D．同旁内角互补
3．（2025七下·长沙期中）如图，下列条件不能判定AB//CD的是（　　）
A．∠D+∠BAD=180° B．∠1=∠2
C．∠3=∠4 D．∠B=∠DCE
4．（2025七下·长沙期中）下面是二元一次方程2x-y=5的解的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·长沙期中）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2=40°，则∠1的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
6．（2025七下·长沙期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．-4
7．（2025七下·长沙期中）在平面直角坐标系中，已知点P(-5，m）在第三象限，则m的值可能为（　　）
A．-1 B．4 C．0 D．
8．（2025七下·长沙期中）我国明代数学家程大位（1533-1606）所著《算法统宗》中记录了“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱。试问甜苦果各几个？共大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·长沙期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，点A到达点B的位置，点B表示的数为（　　）
A．π B．-π C．-π+1 D．π或-π
10．（2025七下·长沙期中） 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)，，，，. 按照此规律，点的坐标为（　　）
A．(3036，1013) B．(3038，1013)
C．(3036，1012) D．(3038，1012)
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.)
11．（2025七下·长沙期中）4的算术平方根是　 　．
12．（2025七下·长沙期中）若2xm-1+3y2n-1=1是关于x，y的二元一次方程，则m-2n的值为　 　.
13．（2025七下·长沙期中）方程（x+1)3＝-8的解是　 　.
14．（2025七下·长沙期中） 如图，已知AB//CD，如果∠1=65°，∠2=120°，那么∠3的大小是　 　.
15．（2025七下·长沙期中）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行。如图，将本次运动会的会微放入正方形网格中，若点A的坐标为(-1，2)，点 C的坐标为(3，-1)，则点 B 的坐标为　 　.
16．（2025七下·长沙期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点B落在点B'处，折痕为EF，FB'的延长线交AD于H点。G为CD上一点，连接FG，若∠GFC=18°，FH平分∠GFE，则∠AHF=　 　.
三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟.）
17．（2025七下·长沙期中）计算：
（1）
（2）.
18．（2025七下·长沙期中）解下列方程组：
（1）
（2）
19．（2025七下·长沙期中）如图，△A'B'C'由△ABC平移所得，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-4，-1)，B(-5，-4)，C(-1，-3)，将∠ABC先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到△A'B'C'.
（1）请画出平移后的△A'B'C'；
（2）求△ABC的面积；
（3）已知点P为△ABC中任意一点，按照△ABC的平移规则平移后的对应点为P'，若P'的坐标(m，n)，请直接写出点P的坐标.
20．（2025七下·长沙期中）已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解：
（2）求的值．
21．（2025七下·长沙期中）已知：如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.求证：EG//FH.
根据图形和已知条件，请补全这道题的解答过程.
证明：∵AB//CD（　　）
∴∠AEF= ▲ （　　）
又∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠GEF=∠AEF，∠EFH= ▲ （　　）
∴ ▲ （　　）
∴EG//FH（　　）
22．（2025七下·长沙期中）如图，已知AC//FE，∠1+∠2=180°.
（1）求证：∠FAB=∠BDC.
（2）若AC 平分∠FAD，EF⊥BE于点E， ∠FAD=70°，求∠BCD的度数.
23．（2025七下·长沙期中）人教版（2024)七年级下册数学教材第103页有一个这样的探究题：如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连，这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地。已知公路运价为0.5元/（t·km），铁路运价为0.2元/（t·km），且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元。问：这家纺织厂购进的长绒棉和制成的纺织面料各多少t
小郡同学在看到这个探究题后，设购买t长绒棉，制成yt纺织面料。
根据题中数量关系列出了以下表格：
xt长绒棉 yt纺织面料 合计
公路运费/元 0.5x·10=5x ____ ____
铁路运费/元 0.2x·120=24x ____ ____
（1）请完成表格的填写（4空都需填写含有x或y的表达式).
（2）请帮小郡同学完成接下来的解题过程，
24．（2025七下·长沙期中）对于关于 x，y 的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组.
（1）下列方程组是“开心”方程组的是　 　（只填写序号)
①②③
（2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值；
（3）若对于任意的有理数m，关 于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值.
25．（2025七下·长沙期中）如图，直线AB//CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD=α(0°<α<90°).小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图1放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，∠P=90°，∠PMN=45°.
（1）若∠PNB=20°，则∠PMD=　 　；
（2）若PN⊥EF，射线NO在∠MNG内交直线CD于点O，如图2，当N，M分别在点G，H的右侧，且∠GNO：∠MNO=3：2，PM//NO时，求α的度数；
（3）小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM//EF，射线NO平分∠MNG，点N，M分别在直线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数(用含α的式子表示).
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：实数-2的倒数为
故答案为：D.
【分析】一个非0实数，它的倒数与它自身乘积为1.
2．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；邻补角；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、邻补角互补，故原命题是真命题；
B、两点之间，是线段最短，不是直线，故原命题是假命题；
C、同位角只有在对应的两直线平行下才相等，故原命题是假命题；
D、同旁内角只有在对应的两直线平行下才互补，故原命题是假命题；
故答案为：A.
【分析】A、根据邻补角的定义可判断；
B、根据“两点之间，线段最短”可判断；
C、根据“两直线平行，同位角相等”可判断；
D、根据“两直线平行，同旁内角互补”可判断.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、若 ∠D+∠BAD=180°，则有 AB//CD，故A不符合题意；
B、若∠1=∠2 ，则有 AB//CD，故B不符合题意；
C、若∠3=∠4 ，则有AD//BC，无法证明AB//CD，故C符合题意；
D、若 ∠B=∠DCE，则有 AB//CD，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A、根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断；
B、根据“内错角相等，两直线平行”可判断；
C、根据“内错角相等，两直线平行”可证明AD//BC，无法证明AB//CD；
D、根据“同位角相等，两直线平行”可判断.
4．【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、将代入原方程，左边为2×4-3=5，右边为5，左边=右边，故A选项符合题意；
B、将代入原方程，左边为2×2-1=3，右边为5，左边≠右边，故B选项不符合题意；
C、将代入原方程，左边为2×1-3=-1，右边为5，左边≠右边，故C选项不符合题意；
D、将代入原方程，左边为2×5-4=6，右边为5，左边≠右边，故D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】将每个选项中的x和y值代入方程，验证等式是否成立，成立的即为正确选项.
5．【答案】C
【知识点】角的运算；邻补角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如下图，
∠3=180°-∠2-90°=180°-40°-90°=50°.
∵平行，
∴∠3+∠4=180°，且∠1与∠4为邻补角
∴∠1=50°.
故答案为：C.
【分析】根据三角尺的直角以及∠2度数，先算出∠3，然后利用平行、以及邻补角，得到∠1与∠3度数相同.
6．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意；
B、是无理数，故B符合题意；
C、，而3属于有理数，故C不符合题意；
D、-4是负整数，属于有理数，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 无理数的定义是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比，根据此定义判断各选项.
7．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： P(-5，m）在第三象限，则有m＜0，只有选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】在各象限的点（a，b）有如下特点：
第一象限：a＞0，b＞0；
第二象限：a＜0，b＞0；
第三象限：a＜0，b＜0；
第四象限：a＞0，b＜0.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据“ 共买了一千个苦果和甜果 ”可得，根据“ 九百九十九文钱 ”以及“ 十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果 ”可得，联立得.
故答案为：B.
【分析】根据题意直接列出方程组即可.
9．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：滚动一周，则A到B的距离为π，由于是向数轴负方向滚动，故B表示的数为-π.
故答案为：B.
【分析】首先计算滚动距离，然后根据滚动方向判断是正负性.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：设，由题意可总结出规律为，（n为奇数）. 因此，代入n=2025，有，，即.
故答案为：D.
【分析】 观察已知点的坐标变化，寻找横纵坐标随序号变化的规律，进而建立通项公式，代入n=2025求解.
11．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
12．【答案】0
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解： 若是关于x，y的二元一次方程，则有，上式减下式，得.
故答案为：0.
【分析】根据二元一次方程的定义，x和y的指数都必须为1，因此需要分别令x和y的指数等于1，解出n的值，进而计算m-2n.
13．【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】根据立方根的定义，先求出，再求出.
14．【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】根据平行性质得到度数，然和运用外角和定理计算出.
15．【答案】(2，2)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由图可知，B点横坐标比C横坐标小1，即3-1=2，而纵坐标与A点的纵坐标相同，即为2.
因此B的坐标为（2，2）.
故答案为：（2，2）.
【分析】通过分析B点与A点、C点的相对位置关系得出坐标.
16．【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴.
∵平分，
∴.
∴.
∵，
∴.
故答案为：.
【分析】根据折叠、角平分等可得出，根据平行，得，然后代入条件计算即可.
17．【答案】（1）解：原式=5-1+2=6
（2）解：原式=-1+2-+-3=-2.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）因为，所以. 然后-1＜0，所以. 而因为，所以.最后将-5、-1、2三数相加即可；
（2）1的任何次方均为1，所以. 然后对去括号得.而，因此，所以，即直接可以去绝对值符号得，最后再做加减运算.
18．【答案】（1）解：将上式代入到下式，可得，解得.
将代入，解得.
故方程组的解为
（2）解：，将①×2-②，得 ，解得.
将代入①式，得，解得.
故方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）运用代入消元法，将上式代入到下式，先解x，再解y；
（2）运用加减消元法，将①×2-②，先解y，再解x.
19．【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求.
（2）解：
（3）解：P(m-6，n-4)
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）设P(x，y)，根据平移规则，有：
x+6=m，
y+4=n.
即x=m-6，y=n-4.
所以P(m-6，n-4).
故答案为：P(m-6，n-4).
【分析】（1）根据平移规则，先画出A、B、C的对应点A'、B'、C'，然后连接A'B'、B'C'、A'C'即可；
（2）由图可知，△ABC的面积可通过以边长为3、4的矩形面积减去：①直角边为1、3的直角三角形面积；②直角边为2、3的直角三角形面积；③直角边为1、4的直角三角形面积即可；
（3）由题意可知，平移前的点的横坐标加6，纵坐标加4即得到平移后的坐标，因此可反推若平移后的坐标为（m，n），则平移前的坐标应为(m-6，n-4).
20．【答案】（1）解：由题意得：，
得：，解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：，
∴这两个方程组的解为：；
（2）解：把代入中，
可得：，
化简得：，
得：③，
得：，解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴．
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，然后利用加减消元法求出方程组的解即可；
（2）将方程组的解代入两个含参方程组成方程组，可得关于字母a、b的二元一次方程组，利用加减消元法解该方程组求出a、b的值，最后将a、b的值代入待求式子按含括号的乘方运算计算可得答案.
（1）解：由题意得：，
得：，解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：，
∴这两个方程组的解为：；
（2）把代入中可得：，
化简得：，
得：③，
得：，解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴．
21．【答案】证明：∵AB//CD（已知）
∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）
又∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠GEF=∠AEF，∠EFH=∠EFD（角平分线的定义）
∴∠GEF=∠HFE（等式的性质）
∴EG//FH（内错角相等，两直线平行）.
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由线平行得到内错角相等，然后结合角平分可得内错角的一半也依然相等，因此可证明 EG//FH.
22．【答案】（1）证明：AC//EF(已知)，
∴∠1+∠FAC=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴∠FAC=∠2(同角的补角相等)，
∴FA//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠FAB=∠BDC(两直线平行，同位角相等)
（2）解：AC平分∠FAD，
∴∠FAC=∠CAD=∠FAD=35°，
由（1）知∠FAC=∠2，
∴∠2=35°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEC=90°，
∵AC//EF，
∴∠ACB=∠FEC=90°，
∴∠BCD=90°-∠2=55°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由条线可知与互补，而又已知与也是互补，根据同角的补角相等可知与相等，根据“内错角相等，两直线平行”可证明，再根据“两直线平行，同位角相等”可证；
（2）由平分及（1）证明可知，然后结合题干条件“”以及小题条件“ EF⊥BE于点E ”，可知，用减去j即可计算出.
23．【答案】（1）解：如下所示
xt长绒棉 yt纺织面料 合计
公路运费/元 0.5x·10=5x 0.5y·20=10y 5x+10y
铁路运费/元 0.2x·120=24x 0.2x·110=22y 24x+22y
（2）解：依题意得
解得
答：这家纺织厂购进长绒棉400t，制成的纺织面料320t.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】（1）根据题意等量关系“运费=运输单价×吨数×里程数”补充运输yt纺织面料的公路、铁路运费表达式以及合计即可；
（2）由题意可知5x+10y=5200，24x+22y=16640，联立成方程组并求解即可.
24．【答案】（1）②
（2）解：
①+②得：7x+7y=3k+8，
解得
是“开心”方程组，
∴|x+y|=1，
∴
解得：k=-或 k=-5.
（3）解：∵对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组，
，
联立得：
或
解得：或
①把代入得：，
整理得，
∵m为任意有理数，
∴，，解得：，，
∴；
②把代入得：，
整理得.
∵m为任意有理数，
∴，，解得：，，
∴；
综上所述，ab的值为或.
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：（1）①由于存在方程，即，不属于“开心”方程组；②存在方程，属于“开心”方程组；③将上下方程相加，得4x+4y=6，整理可得，即，不属于“开心”方程组.
故答案为：②.
【分析】（1）根据“开心”方程组的定义，只要在方程组中能直接找到或整理后找到即为“开心”方程组；
（2）将原方程组的上下方程相加，可得，由于原方程组是“开心”方程组，则必有，根据绝对值定义求出两个不同的k值；
（3）由于方程组属于“开心”方程组，则可联立求出可能得x、y值，再将不同的x、y值分别代入，由于m为任意有理数下均成立，即对整理后，m的系数必然为0，故可以得到关于a、b的方程，解之即可.
25．【答案】（1）
（2）解：延长PN交EF于点K，如图2，
∵∠P=90°，
∴PN⊥PM，
∵PN⊥EF，
∴EF//PM，
∵PM// NO，
∴EF //PM//NO，
∴∠GHM=∠NOM，∠PMN=∠MNO，
∵∠PMN=45°，
∴∠PMN=∠MNO=45°，
∵∠GNO：∠MNO=3：2，
∴∠GNO=∠MNO=×45°=67.5°
∵AB//CD，
∴∠GNO=∠NOM，
∴∠GHM=∠GNO=67.5°，
∴α=67.5°
（3）解：①当N，M分别在点G，H的右侧，如图3，
∵PM//EF，
∴∠EHM=∠PMD=α，
∵∠PMN=45°，
∴∠NMD=45°+α，
∵AB//CD，
∴∠MNG=∠NMD=45°+α，
∵射线NO平分∠MNG，AB//CD，
②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图4，
∵PM//EF，
∴∠EHD=∠PMD=α，
∵∠PMN=45°，
∴∠NMD=45°+α，
∵AB//CD，
∴∠BNM+∠NMD=180°，∠BNO=∠MON，
∵射线NO平分∠MNG，
∴∠MNO=∠BNO=∠MNB，
∴∠MNB=180°-（45°+α)，
；
③当点N在点G左侧，点M在点H右侧时，结果同②.
综上所述，∠MON=22.5°+α或∠MON=67.5°=α
【知识点】平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴，即.
∵，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】（1）由可知，然后代入已知三个角的度数即可计算；；
（2）先由条件证明EF //PM//NO，目的是为了将求∠α的度数转化成求∠GNO的度数，因为∠GNO的度数可通过三角板已知角∠PMN、以及条件 ∠GNO：∠MNO=3：2求得；
（3）分开三种情况讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当点N，M分别在点G，H的左侧；③当点N在点G左侧，点M在点H右侧.
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