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2024-2025学年广东省揭阳市揭东区第二中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图斜二测画法是一个底角为、腰和上底长均为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
4.如果直线平面，直线平面，且，则与( )
A. 共面 B. 平行
C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线
5.已知是不共线的向量，且，则( )
A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则能达到最初的倍大约经过( )参考数据：
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
8.已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为，体积为，则该球表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的共轭复数是 B. 对应的点在第二象限
C. 的虚部为 D. 若复数满足，则的最大值是
10.如图，在平行四边形中，下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在正方体中，，分别是的中点，则( )
A. 四点，，，共面
B.
C. 平面
D. 若，则正方体外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则的值为 ．
13.若函数，且的图像恒过点，则点为 ．
14.“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
求与的夹角；
求．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知向量，，函数．
求函数的单调递增区间；
若，时，求函数的最值．
19.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求的值；
判断函数的单调性并证明；
若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】，且，
所以，所以与的夹角为；
．

16.【详解】由正弦定理得．
因为，所以，，．
因为在中，，所以，．
由，及余弦定理．
得，解得或舍
所以，．

17.【详解】
如图，连接交于点，再连接，
在中，为中点，为的中，所以，
且平面，平面，所以平面．
因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于，
所以点到平面的距离等于，
根据等体积法可知．

18.【详解】．
由，，
可得，，
单调递增区间为：．
若．
当时，，
即，则，
所以函数的最大值、最小值分别为：，．
【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．

19.【详解】是上的奇函数，
，即，
解之得；
由知，，
设任意的，，满足，则，，，
，
即，所以在上是增函数；
，
，
为奇函数，
，
由知，在上是增函数，
，即恒成立，
，解得，
综上所述，的取值范围是．

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