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2024-2025学年广东省汕头市金山中学高一下学期期中测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B.
C. D.
2.若复数满足其中为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知角，向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知某圆台的轴截面是等腰梯形，，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足：已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据为
A. B. C. D.
7.图中的左图为等大的个灰色正方体和个白色正方体所组成的多面体，其可以切割为、和三个小多面体，则代表的多面体可能是( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A. B. 与方向相反的单位向量是
C. 与的夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量为
10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是( )
A. B.
C. D.
11.“阿基米德多面体”也称半正多面体，又多个不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称之美．如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去个三棱锥，得到个面为正三角形、个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )
A. 该半正多面体的表面积是
B. 直线与平面所成的角为
C. 该半正多面体有外接球，且它的表面积为
D. 该半正多面体有内切球，且它的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，若，，，则
13.若，则 ．
14.已知平面向量，，，对任意实数，都有，成立．若，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
求证：平面；
若为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，，边上的中线，相交于点．
(ⅰ)求；
(ⅱ)求．
17.本小题分
如图，圆的内接四边形中，，，为圆周上一动点，．
若为直径，求四边形的面积；
求四边形的周长的最大值．
参考结论：圆的内接四边形对角互补．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，．

求证：平面；
若异面直线与所成的角为，求点到平面的距离．
19.本小题分
已知函数是自然对数底数，函数的图象与函数的图象关于直线对称．令，其中，分别为奇函数、偶函数．
求在上的最大值；
求，并证明；
求证：仅有个零点，且．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：连接，交于，连接，由正方体的结构易知为的中点，
又为的中点，则，平面，平面，
所以平面；
平面平面，证明如下：
由为的中点，连接；
为的中点，易知，
所以为平行四边形，则，
由平面，平面，则平面，
由平面，且，平面，
所以平面平面．

16.解：由题设及正弦定理可得，
所以，
整理得，且，
可得，故，
又，则，可得．
由，则；
令且，又，则，
由共线，则，即，
而，则，
所以．

17.解：设圆的半径为，则，由，则，
所以，故，可得，
四边形的面积．
由，
又，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
综上，四边形的周长．

18.解：由，，，，即为直角梯形，
所以，，
所以，即，
又平面，平面，则，
由平面，故平面；
若是的中点，则，故为平行四边形，

所以且，故异面直线与所成的角，即为，
由平面，平面，则，
又，易知，则，
所以，则，
由平面，平面，则，
由平面，平面，则，
由，，则，而平面，
所以平面，平面，则，
故，
所以，而，且，
设点到平面的距离为，
则，即，可得．

19.解：由题设，则，
令，则，，故，
所以在上单调递增，故其最大值为；
由题设，又，分别为奇函数、偶函数，
所以，故，
所以，
故，
由，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，得证；
由题设且，显然在上单调递增，
，而，，所以，
，而，，所以，
综上，仅有个零点，即为，
由，显然，，
故，即，
综上，仅有个零点，且．

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