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2024-2025学年内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点已知则点可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上( )
A. B. C. D.
3.下列命题中，真命题为( )
A. 的解集为
B. 同时满足，的角有且只有一个
C. 若点为角终边上一点，则
D. 如果角满足，那么角是第二象限的角
4.已知，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则下列命题中正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数是偶函数
C. 函数的最小值为
D. 函数的一个单调递增区间是
6.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，
设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
7.在中，若，则是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
8.在中，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列关于的判断正确的是( )
A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是
C. 图象关于直线成轴对称 D. 图象关于点成中心对称
10.已知向量，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若在上的投影向量长度为，则向量与的夹角为
C. 存在，使得
D. 的最大值为
11.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增
D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若，则 ．
13.已知向量的夹角为，且，则 ．
14.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若与共线，求的值．
若与的夹角为，求的值．
求向量在向量上投影的数量．
16.本小题分
已知，且，求的值．
计算：．
17.本小题分
已知将向量绕原点旋转到的位置，
求点的坐标．
求三角形面积．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
求在上的值域；
若函数在上恰有三个零点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间和最小正周期；
填写由函数的图象变换得到的图像的过程；先将图象上的所有点________，得到的图象；再把所得的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标________，得到的图象．
若当时，关于的不等式________，求实数的取值范围．
请选择和中的一个条件，其中，有解；恒成立．补全问题，并求实数的范围．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.解：因为，，
所以，，
因为与共线，所以，解得；
因为，，
又与的夹角为，
则，解得；
因为，，
所以，，
所以向量在向量上投影的数量为．

16.解：因为，又，
又，所以，
又，所以，则，
所以
；
．

17.解：因为，所以，
设，则，，
设，
若绕原点逆时针旋转，
则
，
，
所以；
若绕原点顺时针旋转，
则
，
，
所以；
综上可得或．
因为，，，
所以．

18.解：由函数的图象，可得，，
则，所以．
将点代入函数解析式可得，
解得，因为，所以，
所以；
因为，所以，所以，
所以，
即在上的值域为；
由知，则，
由函数在上恰有个零点，
即在上恰有个解，即在上恰有个解，
因为，所以，
则，解得，故．

19.解：因为
，
所以函数的最小正周期；
由，得，
所以函数的单调增区间为．
先将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象；
再把的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象．
若选择，不等式有解，即，
由，得，
则当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以．
若选择，不等式恒成立，即．
由，得，
则当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．

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