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2024-2025学年广东省深圳外国语学校高中园高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，，则( )
A. B. C. D.
2.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. ，， B. ，，
C. ，，， D. ，，，
3.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，为的三等分点且靠近点，为的中点，设，，则向量( )
A. B. C. D.
7.已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为( )
A. B. 且 C. D. 且
8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是三个向量，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D. 若，则
10.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知复数，以下结论正确的是( )
A. 是纯虚数
B.
C.
D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，且，则 ．
13.复数满足，则的最大值为 ．
14.如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足，是虚数单位．
若是纯虚数，求的值；
若在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点．
若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积；
若，，，求四面体外接球的表面积．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，在底面中，，在棱上且．
求证：平面；
线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知向量，，且与的夹角为．
求，；
当实数取何值时，向量与方向相反
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
19.本小题分
在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．
求角；
求的取值范围；
当时，角的平分线交于，求长度的最大值．
参考答案
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10.
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13.
14.
15.【详解】由，得，
若是纯虚数，则有，所以．
复数在复平面内对应的点为，
由在复平面上对应的点在第二象限，得，解得，
所以实数的取值范围为．

16.【详解】若四面体各棱长均为，
则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，
所以，
；
由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点，
所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球，
设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，
则，解得
设长方体外接球的半径为，则，则，
所以外接球的表面积为．

17.【详解】因为，所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面．
下面给出证明：
因为，所以，，
又因为点为上靠近点三等分点，所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为面，面，
所以面，
因为在棱上且，即，
又因为，
所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面．

18.【详解】因为向量，，且与的夹角为，
所以，解得，
所以，
所以，
所以；
因为向量与方向相反，
所以存在，使，
因为与不共线，所以
解得舍去，或
所以；
因为，，
所以，，
因为与的夹角为锐角，
所以，且与的不共线，
由，得，解得，
由与的不共线，得，得，
所以且，
即实数的取值范围为．

19.【详解】因为，
由正弦定理，可得，整理得，
又由余弦定理，可得，
又因为，所以．
由正弦定理，可得
，
因为为锐角三角形，且，可得，
则，可得，则，
所以，即
所以的取值范围．
设长度为，
由，可得，
因为，可得，
所以，可得，
又由余弦定理得，所以，
则，
设
由，可得，
所以长度的最大值为．

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