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2024-2025学年广东省深圳市第七高级中学高一下学期期中质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则( )
A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线
6.在中，，则是
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7.已知矩形的长，宽点在线段上运动不与两点重合，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设，，，则有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A.
B. 若满足，且与同向，则
C. 若，则
D. 若是等边三角形，则
10.有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是( )
A. 横坐标变为原来的纵坐标不变，再向左平移个单位长度
B. 横坐标变为原来的纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的纵坐标不变
D. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的纵坐标不变
11.数书九章是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是( )
A. 的周长为 B. 三个内角，，满足
C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的共轭复数为，则 ．
13.已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标 ．
14.圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣．索菲亚教堂的高度约为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若为纯虚数，求实数的值；
若在复平面内对应的点在直线上，求．
16.本小题分
如图，在菱形中，．
若，求的值；
若，，求．
17.本小题分
分别为内角的对边，已知．
求；
若，，求的面积．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期
若，求函数的值域；
若且，求的值．
19.本小题分
定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
若向量的“伴随函数”为，求与向量方向相同的单位向量；
在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知；
(ⅰ)求周长的最大值；
(ⅱ)求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若为纯虚数，则，解得．
由题意可得，
解得，
所以，所以．

16.解：因为在菱形中，．
故，
故，所以．
显然，
所以
，
因为菱形，且，，
故，．
所以．
故式．
故．

17.解：因为，
所以，
即，
又，所以．
由余弦定理得，
即，解得或舍去．
因为，，
所以，
所以的面积．

18.解：由题意可得：
，
所以函数的最小正周期为．
因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为．
因为，则，
且，即，
可得，
所以
，
所以．

19.解：因为
所以
所以与向量方向相同的单位向量为
由于函数的“源向量”为，所以，
又因为，所以，又因为，所以
在中，，由余弦定理得：
即
又由基本不等式得：
所以，即
所以，当且仅当时取等号．
所以，
所以周长的最大值为
，
又，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
即的最大值为．

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