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2024-2025学年山东省济宁市曲阜夫子学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
5.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中，分别在棱，上，则多面体的表面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，矩形中，，，与相交于点，过点作，垂足为，则 ．
A. B. C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.定义：为向量与的外积，且，其中为向量与向量的夹角，已知在中，若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，是关于的方程的两根，则( )
A. B.
C. D.
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则( )
A. B. 外接圆的面积为
C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为
11.已知平面向量，，则( )
A. B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，则 ．
13.在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 ．
14.在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且，若存在最大值，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，且是纯虚数，其中为实数，是虚数单位．
求的值；
在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数的值．
16.本小题分
在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．
若，求的值；
求的取值范围．
17.本小题分
定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为．
写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值；
求函数的伴随向量的模．
18.本小题分
如图，是圆台下底面圆的内接四边形，，为底面圆周上一动点，，为圆台的母线，，圆台上底面的半径为．
求该圆台的表面积；
求四棱锥的体积的最大值．
19.本小题分
已知村庄在村庄的东北方向，且村庄、之间的距离是，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄、之间的距离是，先要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍．
判断村庄在村庄的什么方向上？并说明理由．
求农贸市场到村庄、的距离之和．
参考答案
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14.．
15.复数，，，
则．
因为是纯虚数，所以，解得．
由得，．
由题意得，点，，的坐标分别为，，，
所以，，因为，
所以，解得或．

16.依题意，，，，
而是边的中点，，则，
因此，又，，
所以．
由知：令，，则，
，
则有，
当时，，当时，，
所以的取值范围是．

17.向量的伴随函数为，
，当，
即时，取得最大值，最大值；
，
故伴随向量，故．

18.
因为，所以，
在中，由余弦定理得，
得，
由正弦定理可知外接圆直径，
所以下底面半径，上底面半径，
圆台侧面积，
，
所以圆台表面积．
在四边形中，，
在中，由余弦定理，
得，
所以，当且仅当时“”成立，
所以的面积，
底面面积的最大值为，
在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得，
所以四棱锥的体积的最大值为．

19.由题意可得，，，
在中，由余弦定理可得，
则，故，
即村庄，之间的距离为干米，
在中，由正弦定理可得，
则，从而，
故村庄在村庄的正西方向；
因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以．
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
解得或舍去，则，
故，
即农贸市场到村庄的距离之和为千米．

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