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2024-2025学年山东省五莲县第一中学高一下学期期中模拟测试（三）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点在平面直角坐标系中位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，那么该弧所对的圆心角是原来的( )
A. B. 倍 C. D. 倍
3.已知向量满足，，且，则与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知均为第二象限角，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.如图，点为单位圆上一点且，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则( )
A. B. C. D.
7.已知，为锐角，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，，点是所在平面内一点，，且满足，若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中错误的是( )
A. 若为非零向量，且，则
B. 对于非零向量、，若，则存在唯一实数使得
C. 在中，若，则与的面积之比为
D. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
10.如图所示，线段是的弦，其中，，点为上任意一点，则以下结论正确的是( )
A.
B. 的最大值是
C. 当时，
D.
11.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 是的一个对称中心
C. 的单调递增区间
D. 若实数，满足．，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与终边相同的最小正角是 ．化简的结果为 ．
13.已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的最大值是
14.如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角的终边过点．
求的值；
若为第三象限角，且，求的值．
16.本小题分
在平行四边形中，．
若与交于点，求的值；
求的取值范围．
17.本小题分
已知向量，．
若，求；
若，函数；
(ⅰ)求的值域．
(ⅱ)当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标．
18.本小题分
在中，已知，，，为的中点，为边上的一个动点，与交于点设．
若，求的值；
求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
求函数的周期和对称轴方程；
若将的图象上的所有点向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象若方程在上的零点从小到大依次为，求的值；
若方程在上的解为，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.或
15.解：因为，
又因为角的终边过点，所以，
所以；
因为且为第三象限角，所以
又因为，
所以．
16.解：设，则
设．
根据平面向量基本定理得解得，
所以，则，所以．
因为，
，
，
所以．
．
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为，
当时，取得最大值，且最大值为．
故的取值范围为．

17.解：因为，，且，
则，
即
整理得，所以．
因为，则，，
可得
设，
因为，则，
可得，，
(ⅰ)设，
因为的图象开口向上，对称轴为，
由二次函数性质可得：，
所以的值域为；
(ⅱ)当取最小值时，即，此时，
设，由题意可得，解得或
所以或．

18.解：因为，，三点共线，所以有，
即，得，
同理可设，
所以得，，解得．
所以，即．
解：
，
由可知，，所以，
所以，
令，则，
等号当且仅当，即时，的最小值为．

19.解：依题意，函数，
所以函数的周期；
令，得
所以函数图象的对称轴方程．
依题意，，由，得，
由，得，令，，，
设，直线与函数在上的图象有四个交点，
点关于直线对称，点关于直线对称，
点关于直线对称，则，，，
即，则
所以．
方程在上的解为，则为方程在上的两解，不妨设，
当时，，，，
，，，，
，，则，
，
于是，所以．

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