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2024-2025学年河北省衡水市阜城县阜城实验中学高一下学期5月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一球体的表面积为，该球体的体积为( )
A. B. C. D.
2.在正六边形中，设，则下列向量中与不共线的是( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知的内角的对边分别为，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则( )
A. B. C. D.
7.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.正方体中，与棱异面的棱有( )
A. B. C. D.
10.已知复数，则( )
A. B.
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
11.若，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
13.在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为 ．
14.已知单位向量，满足，则与的夹角为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，．
求该几何体的表面积；
求该几何体的体积．
16.本小题分
已知，若与平行，求；
已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
17.本小题分
已知圆锥的半径，母线长为．
求圆锥的表面积和体积；
如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，．
求角的大小；
若，的面积为，求的周长．
19.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
若函数的零点为，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设是的中点，连接．
因为是边长为的正三角形，
所以，且，
所以该几何体的表面积．
连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高，
则，所以．
又正方体的体积为，
所以该几何体的体积．
16.解：因为，
且与平行，
所以，解得，
所以，
所以．
已知与的夹角为，
所以，
因为与垂直，
所以
所以．
17.解：设圆锥的高为，
由题意得：
圆锥侧面积，
圆锥的底面积，
圆锥的表面积；
圆锥的体积为．
由可得：圆锥的体积为
又圆柱的底面半径为，高母线为
圆柱的体积为
剩下几何体的体积为；
由得圆锥的表面积；
18.解：由题意及正弦定理知，
，，，．
由得，
由余弦定理得得，
，，
的周长为．
19.解：，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
由得，
因为函数的零点为，所以．

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