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2024-2025学年内蒙古自治区呼和浩特市回民区高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.下列各角中，与角终边相同的是( )
A. B. C. D.
3.点在平面直角坐标系中位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，且与的夹角是，若，则在方向上的投影向量的坐标是( )
A. B. C. D.
6.已知函数是奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
7.( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递减，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
11.已知函数，则下列说法中正确的是( )
A. 的最大值为
B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称
D. 若，则当时，的图像是单调递增的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知，均为锐角，且，，则的值是 ．
14.记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
化简；
若，求的值；
若为第三象限角，且，求的值．
16.本小题分
函数的部分图象如图所示．
求的解析式和单调递增区间；
若，，求的值．
17.本小题分
单位圆与轴正半轴的交点为，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．
如图，当的长为时，求线段与所围成的弓形阴影部分面积；
记，，当，点的横坐标为时，求点的坐标．
若将延长，取延长线上一点绕原点逆时针旋转到点的位置，求点的坐标．
18.本小题分
如图所示，在平行四边形中，，记．
用向量表示向量和；
若，且，求．
19.本小题分
已知向量，，函数．
求函数的解析式，并求当时，的值域；
若，且，求的值．
将函数的图象横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，且图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由题意可得．
若，
则．
因为，所以，
又为第三象限角，所以，
所以．

16.解：由函数图象可知，该函数的最小正周期满足：，所以．
则，由图象经过点，可得，
又，则，所以．
令，解得．
所以函数的单调递增区间为．
因为，所以．
因为，所以，
则．
．
即．

17.解：由题可得扇形面积为，又为，则，
则三角形面积为：，则弓形面积为：；
设，则，又点的横坐标为，且在单位圆上，则，，
则，，
即；
设，因延长线上一点为，
则，，得．
设与单位圆交于，则，
因，．
又注意到，则，
即．

18.解：由向量加法的平行四边形法则得，
又，所以，所以，
解得．
．
因为，，
所以，
又，
联立解得，，
所以．

19.解：
，
当时，则，所以，
所以的值域为．
由，，即，
又，则，又，
所以，故，
所以，，
．
由题意，可得，
，，所以，
且在上单调递增，在上单调递减，，，，
若函数在上恰有一个零点，即方程恰有一根，
所以的取值范围为．

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