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2024-2025学年山东省青岛市青岛第五十八中学高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知在中，，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知直线与平面，下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
4.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.已知中，，则此三角形为( )
A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为、、，内部装有毫升墨水将墨水瓶倾斜，使其一条长边置于水平地面，高边所在直线与水平地面成度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的说法中其中为虚数单位，正确的是( )
A.
B. 复数的虚部为
C. 复数为实数的充要条件是
D. 已知复数满足，则复数对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象，则为奇函数
11.如图，在棱长为的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则( )
A. 动点的轨迹是一条线段
B. 直线与的夹角为
C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D. 若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆台上底面半径为，下底面半径为，母线，在上底面上，在下底面上，从中点拉一条绳子，绕圆台侧面一周到点，则绳子最短距离为
13.菱形中，，，，，点在线段上，且，则 ．
14.的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，当的周长取最大值时，求的面积．
16.本小题分
如图，在中，，，，为内一点，．
若，求；
若，求．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为菱形，点在线段上，且为的重心，点在棱上，且，点在棱上，且．
证明：平面平面；
若，，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知在平面四边形中，，，将沿翻折至，，点在线段上，且，．
求证：面；
求三棱锥外接球的半径；
求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为．
已知，，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围；
已知，设，且的“和谐函数”为，其最大值为，求．
已知，，设中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
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14.
15.解：因为，由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，且，所以，
又因为，，
所以，即．
在中，由余弦定理，
得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为，
此时面积．

16.解：由已知得，
所以，从而．
在中，由余弦定理得，
所以．
设，由已知得，
在中，由正弦定理得，
化简得，所以．

17.解：如图，设交于点，连接．
因为底面为菱形，为的重心，
所以．
又，所以，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
在直四棱柱中，，且，
又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
如图，过点作于点，交于点．
因为平面，平面，所以，
又为菱形，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，所以平面．
因为平面平面，所以平面，
所以平面．
因为，，所以，为正三角形，
所以，，
所以．
故点到平面的距离为．

18.解：，，是等边三角形．
又，，即，．
，，由勾股定理得，．
又，面，，面．
过等边三角形的外心作直线面，
设球心，连接，，过点作，交于．
设球的半径为，，则，，解得，．
由得，面，，
而在中，，得，，
由题意，所以，
所以，
设到面的距离为，则，
，，得．
在中，由余弦定理，得．
设与平面所成角为，
则，
，，．

19.解：
，
所以函数的“和谐向量”向量，
，
因为，所以，
所以的取值范围为；
设，
则，
所以
，
此时存在，满足，当且仅当时取等号，其中，
所以，即，所以，
所以的最大值，
所以；
由知，当时，最小，此时，
所以，
设，令，
则，
因为，
所以，即，
所以，所以，即，
而，则，当且仅当时，等式成立，
所以在的图象上存在一点，使得．

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